构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第12讲构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系

（3类核心考点精讲精练）

12.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

构造函数、用导数判断或证明比较指数幕的大小

2022年新I卷，第7题,5分

函数的单调性比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分

【备考策略】1会结合实际情况构造函数

2能用导数证明函数的单调性

3能求出函数的极值或给定区间的最值

4能结合单调性进行函数值大小比较

【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想

方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得

到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习

知识点1构造函数的重要依据

知识讲解

1.构造函数的重要依据

(1)[/(X)土g(x)]'=/'(x)土g'(x).(可推广到多个函数)

(2)[/(X)•g(x)]'=/'(x)g(x)+g'(x)/(x).(可推广到多个函数)

(3)[■--]=--------7--；-------

g(x)g-(x)

2.常见构造类型

(1)若条件是/«应0)+8口)/(%)30,可构造尸(%)=，(》应0),则/(X)单调递增;

⑵若条件是/'(x)+/(x)NO,可构造尸(x)=e"(x),则尸(x)单调递增：

(3)若条件是矿(x)+件(x)NO,可构造％x)=#(x),则〃(x)单调递增：

(4)若条件是/'(X)—/(x)N0,可构造"x)=£甲，则尸(x)单调递增；

e

(5)若条件是xf\x)+nf(x)>0,可构造尸(x)=xnf(x),

则尸(乃=》2口6(x)+〃/、(x)]N0,若x，i>0,则尸(x)单调递增；

(6)若条件是/'(x)g(x)-/(x)g'(x)20,则构造尸(x)=[今f(xT)，

g(x)

则尸⑺J(x)g(x)7(x)g'(x)20,说明爪X)单调递增

g(x)

3.常见的指对放缩

]X

ex>x+1,ex>ex,1——<Inx<x-1,lnx<—

xe

4.常见的三角函数放缩

.(兀)

smx<x<tanx,xGI0,-1

5.其他放缩

Inx<-\[x—~r=(x>1)Inx〉-\[x--<=(0<x<1)

Inx<—(x--)(x>1)Inx>—(x--)(0<x<1)

2x,2x,

1313

lnx>—x9+2%—(x>1)Inx<—x9+2x—(0<x<l)

22,22

2(x—1),、2(x—1)

1Inx>---------(x>1)1Inx<---------(0<x<1)

x+1,x+1

放缩程度综合

2(x—1)12G3/、

^<lnx<-------<——x+2x——<x-l(0<x<l)

x+122

1--<--x2+2x-<InX<y[x—<一(x—)<x-1(1<X<2)

x22x+1Vx2X

3+2—

<—(%-—)<x-l(x>2),-=a+l

22xx+12x

x+1<e"<](x<1),]<x+1<e"(x>1)

1—x1—X

1a

方法技巧

1构造相同函数，比较不同函数值2构造不同函数，比较相同函数值

3.构造不同函数，比较不同函数值，这个时候，不等式放缩就是首选之道了!

4.先同构，再构造，再比较，题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时,

往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.

考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系

典例引领

1.（2022•全国•统考高考真题）设。=0.卜°1,6=，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.（2021•全国•统考高考真题）设a=21nl.01,6=lnl.O2,C=VH）4-1.则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

即时检测

2

1.（2024•吉林长春•模拟预测）已知。=6°/-1力=,c=lnl.l,则（）

721T

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

2022I

2.(2024•全国•模拟预测)已知〃-痂，6=ln2024—M2023,c=sin^^,贝Ij()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

（1012Y023（1013Y°25

3.（2024•山西•二模）设。=］上，6="，则下列关系正确的是（）

Uoii）（io⑵

A.e2<a<bB.e2<b<aC.a<b<金D.b<a<e2

4.（2024•安徽•三模）已知Q=e71-3,b=ln(e7t-2e).,c=71-2,则（：)

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

21A111i1

5.（2024•安徽芜湖•三模）取。=——,/?=In——,c=--e11,则()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

设Q=1,6=2In(sin,1)616

6.（2024•湖北武汉•二模）+COS——=—In—，则见仇c的大小关系是（

以5I10loj55

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

考点二、不等式放缩判断函数值大小关系

典例引领

1.(2022•全国•统考高考真题)设a=0.1e°」,6=g,

c=-ln0.9,贝1]()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

31

2.(2022・全国,统考IWJ考真题)已知=;-,c=4sin-，贝U()

44

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

即时便测

1.(2024・甘肃陇南•一模)若Q=3，b=7°」,c=e°2,

则()

4

A.c>b>aB.a>b>cC.(?>a>bD.a>c>b

、2-2

2.(2024•辽宁•一模)设〃=—,b=2-e3,c=l-e「号则()

3

A.a<b<cB.(?<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

设Q,6=lnl.21,c=10sin」—，贝lj()

3.(2024•山东威海•二模)='

10100

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

6=lnl.01,。=木，则下列关系正确的是()

4.(2024・贵州遵义•三模)设〃=tan0.01,

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

5.(2023•河南•模拟预测)实数》,z分别满足/22=e,2022^=2023,20222=2023,则x,》，z的大

小关系为()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

考点三、构造函数解决其他综合问题

典例引领

1.(23-24高二下•广东东莞•阶段练习)已知f'(x)为函数/(尤)的导函数,当x>0时,有〃x)-矿(x)>0

恒成立，则下列不等式一定成立的是(

2.(23-24高三下,陕西西安•阶段练习)已知。，b为正数，且2a<6,则()

A.a2>bB.b2<a

C.a+b>6D.a+b<6

3.(2024・广东深圳•模拟预测)己知函数〃无)=四、+111'=-2,若/(x)>0恒成立，则正实数。的取值范

x+2

围是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

4.23-24高三上•河北•阶段练习)已知函数/(x)及其导函数f(x)的定义域均为(0,”)，且矿(x)>(x-l)/(x)

恒成立，/(3)=e,则不等式(》+4)/"+4)<36"2的解集为()

A.(-4,-1)B.(-1,1)C.(-1,2)D.(-1,+℃)

即时检测

1.23-24高二下•天津•期中)已知定义在R上的奇函数“X)满足，〃-2)=0,当x>0时，xf'(x)-f(x)<Q,

贝U/（x）＞0的解集为（）

A.(-a),-2)U(O,2)B.(-co,-2)u(2,+oo)

C.(-2,O)u(O,2)D.(-2,0)U(2,+8)

ba

2.（2024•辽宁・模拟预测）已知a,Z?GR,若24a＜b,a=b,则b的可能值为（）

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

3.（2024・湖南邵阳•二模）已知函数〃无）的定义域为RJ'（x）为的导函数.若〃l）=e,且

r（x）+e、＜〃x）在R上恒成立，则不等式〃x）＜（2-x）e*的解集为（）

A.(-叫2)B.(2,+oo)

C.D.(1,+<»)

4.（2024•广东广州,模拟预测）已知定义在R上的函数〃x）的导函数为了'（X）,且/（x）+〃r）=0.对于任

意的实数x,均有f（x）〈彳g成立,

若〃-3）=-16,则不等式的解集为（）

A.(-<»,-3)B.(-8,3)C.(-3,+co)D.(3,+oo)

12.好题冲关

基础过关

1221

1.（22-23高三下•全国•阶段练习）已知。=,+ln],Z）=-+ln-,则（）

A.c>a>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

2.（2024•云南贵州•二模）已知。=ln（J5e）,b=-------—bl,则a也c的大关系为（）

e5

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

31

3.（2024•四川•模拟预测）已知a=ln—,b=一,ce-2,则见6,c的大小关系为（）

23

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

、几171n兀

4.（2023•山西•模拟预测）设"五'b=』如3则（)

3

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

5.2023高三・全国•专题练习）若函数V=/（x）在R上可导，且满足力'（x）+/（x）＞0恒成立，常数

则下列不等式一定成立的是（

A.af(a)>bf(b)B.af(b)>bf(a)

C.叭a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)

6.(2024高二下•全国•专题练习)定义在(0,?上的函数〃无)，已知尸(x)是它的导函数，且恒有

COSX•/'(%)+sinx./(%)<0成立，则有()

A.可⑸((IB.同闺>佃

C.71)>同审D.⑸(令<同亨

7.(23-24高三上•陕西•阶段练习)已知函数“X)的定义域是(-5,5),其导函数为/'(x),且

+力。)>2,则不等式(2工-3)/(2X一3)-(》-1)/(工-1)>2》一4的解集是()

A.(2,+s)B.(2,6)C.(-4,6)D.(2,4)

8.(23-24高二上•重庆・期末)已知定义在(0,+功上的函数“X)的导数为/'(x),若/⑴=1,且

x2/(x)+l>0,则下列式子中一定成立的是()

A.0>3B./(1)>7i

C./(log2e)>ln2D./(In3)<log3e

9.(2024•广东•二模)函数/(、)的定义域为RJ(2)=3,若\/x£R,/(x)〉1,则〃x)>x+l的解集为

()

A.(-2,2)B,(2,+oo)C.(-oo,2)D.(-00,+oo)

10.(23-24高二下,安徽亳州，期中)已知函数/(X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,/(0)=0且

/(x)+r(x)>0,则不等式/(一+4%—5)>0的解集为()

A.(-oo,-5)U(l,+oo)B.(-oo,-l)U(5,+co)

C.(-5,1)D.(-1,5)

能力提升

43

1.(2024高三下•全国•专题练习)已知。=T二,b=--,c=e,则下列大小关系正确的是()

ln4ln3

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

2.(2024•浙江宁波•模拟预测)己知。=；+ln2,6=|+当,0=；+^，则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

3.(2023•辽宁鞍山•二模)已知定义在(-2,2)上的函数f(x)满足/(x)+e4"(T)=0,J./(l)=e2,尸(x)

为〃龙)的导函数，当xe[0,2)时，r(x)>2/(x),则不等式e2"(2-x)<e4的解集为()

A.(1,+s)B.(1,2)C,(0,1)D.(1,4)

4.(23-24高二下•江苏常州•期中)若°=5，6=1向c=2,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

173

5.(2024•湖北黄冈•二模)已知a,6,c,d分别满足下列关系：⑹=15,6=1。勖glog^c=s=tan7,则

记17672

a,b,c,d的大小关系为()

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

6.(23-24高二下•江苏常州•期末)已知函数/(x)及其导数/'(x)的定义域均为R,对任意实数x,

〃x)=/(—x)—2x,且当x20时,/'(x)+x+l>0.不等式〃2x-2)-〃x)<-3_+3x的解集为()

A.(-叫2)B.C.2D.

7.(2024•宁夏银川•三模)己知定义在R上的奇函数/(x)的图象是一条连续不断的曲线，/'(X)是〃x)的导

函数，当x>0时，3/(x)+#'(x)>0,且"2)=2,则不等式(x+l)"(x+l)>16的解集为()

A.(1,+co)B.(-CO,-2)U(2,+OO)

C.(fl)D.(-8,-3)O(l,+a?)

8.(2024•陕西•模拟预测)已知函数/(X)=2'+2T+COSX+X2,若a=/(51n4),6=/(41n5"),

c=/(51n7i4),则()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.