四川省成都市某中学2024-2025学年高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市树德中学高三（上）段考

数学试卷（10月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合Z={x|log2x<1},B={%|0<%<4},则ZUB=()

A.{x\x<2}B.{x\x<4}C.{x|0<%<4]D.{%|0<%<2]

2.设五=(-1,2),b=(4,fc),若219，则|a+b|=()

A.5B.2计C.20D.25

3.设甲:｛%｝为等比数列;乙：｛a”a“+i｝为等比数列，则（)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

sin3a—sina

4.已知tana=-3,则,sin（a+方）=（）

A3Bc

A.一4!4

5.已知关于x的不等式a/—2久+3a<0在（0,2］上有解，则实数a的取值范围是（）

4

A.(-8,第B.(-8,今C.（¥，+8）D.©+°°)

6.已知抛物线E：y2=4%的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于48两点，与E的准线交于C,。两点，若

\CD\=29则|训=()

A.3B.4C.6D.8

7.在同一平面直角坐标系内，函数y=/（x）及其导函数y=（（久）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一

个公共点，其坐标为（0,1）,贝1（）

A,函数y=/（%）•e、的最大值为1

B.函数y=f（x）-e工的最小值为1

C.函数y=零的最大值为1

D.函数y=管的最小值为1

.已知函数/)=下设则的大小关系是()

8'(X：2*a=f(0,32),b=/(log20.3),c=f(2Zn2),a,b,c

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A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析

得到，坐公交车平均用时10爪讥，样本方差为9；骑自行车平均用时15nl讥，样本方差为1.已知坐公交车所

花时间X与骑自行车所花时间y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计x,丫分布中的参数，并利用

信息技术工具画出X和丫的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列

判断正确的是()

A.X〜N(10,32)

B.若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到

C.若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车

D.若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车

10.已知函数y=/(久)是定义在R上的偶函数，对于任意xeR,都有+4)=/(%)+/(2)成立.当

xG[0,2)时，/(%)=2，—1,下列结论中正确的有()

A)(2)=0B.函数y=/(久)在(2,4)上单调递增

C.直线x=4是函数y=/(%)的一条对称轴D.关于x的方程/(%)=log2|x|+2共有4个不等实根

11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体n•黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作

用力(S/M)材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图

所示(水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角)，圆法和椭

圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆(长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆

的短半轴长小于圆的半径)的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为好，92,则下列结论

中正确的有()

附：椭圆总+:=l(a>b>0)上一点即%)处的切线方程为翳+贤=1.

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固体材料

A.圆法中圆的半径为尚B.tandx=|

c.0i>02D.&<e2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去4、B两个景区执

勤,要求力景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.

13.已知圆台的下底面半径为6,上底面半径为3,其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为

14.已知函数f(x)=a(x-xi)(x-久2)0-*3)色>0),设曲线y=/(x)在点(符,/(符))处切线的斜率为信

(i=1,2,3),若久1，%2>久3均不相等，且七=一2,则的+4k3的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△A8C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,满足2bcsin4=/(a2+°2-62).

(1)求B的大小；

(2)若b=3,△力BC的面积为竽，求△ABC的周长.

16.(本小题15分)

已知椭圆C：*+f1=l(a>6>0)经过点P为椭圆C的右顶点，。为坐标原点，△OPE的面积为

晅

2・

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)过点。(—1,0)作直线Z与椭圆C交于4B,4关于原点。的对称点为C,若出4|=|BC|,求直线4B的斜

率.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥Q—力BCD中，CD//AB,BC1AB,平面Q4D1平面力BCD,QA=QD,M,N分别是

AD,CQ的中点.

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(1)证明：QM1BD；

(2)若4D=AB=2CD=2,直线MN与平面QBC所成角的正弦值为半，求QM的长度.

18.(本小题17分)

已知函数/(x)=x2—2x+alnx,(aeR).

(1)若a=l,求函数/(x)在点(1)(1))处的切线；

1，%2G00),C12)2f01)2)]>

(2)若对任意的久(0,+X±x2,有。一久・[久一久"(久。恒成立，求实数a的取值范

围.

19.(本小题17分)

2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，

求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于

0态或1态，量子计算机的量子比特(qabit)可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基

于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下

旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠

加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子

的自旋状态有P的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.

(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且p=|,求两个粒子通过第一道逻辑门后

上旋粒子个数为2的概率；

(2)若一条信息有n(n>l,neN*)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为pi，P2,

pn,则称H=/(pi)+/(「2)+…+(其中f(x)=-&。92久)为这条信息的信息焙.试求两个粒子通

过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息燧”；

(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道

逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为丫(丫=1,2,3，…,小…).证明：

当几无限增大时，丫的数学期望趋近于一个常数.

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参考答案

l.c

2.2

3.X

4.C

5.4

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.2C

11.AD

12.35

13.4

14.18

15.解:(1)因为2bcsinA=避(。2+©2-炉),

所以考著WX凉+c2—b2

2ac'

由余弦定理得，bsinA=y^acosB,

由正弦定理得sinBs讥A=y/^sinAcosB,

因为0<4<n,所以sinA片0,

所以sinB=yf^cosB,即tcmB=4，

TT

又。<B<7T,所以B=§.

(2)因为S=^acsinB=2居所以ac=9,

由余弦定理得，b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

因为b=3,所以(a+c)2=b2+3ac=9+3x9=36,解得。+c=6,

所以△ABC的周长为。+b+c=9.

16.解：(1)因为P为椭圆C的右顶点，且△OPE的面积为岑，

所以Jxax*=§,

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解得a=2,

因为E(l*)在椭圆C上，

所以"+白=1'

解得b=1,

则椭圆C的标准方程为《+y=1；

(2)因为因川=\BC\,。为2C的中点,

所以。A1OB,

不妨设直线/的方程x=my-l,^(xi,yi)5(x2,y2)>

，%=my—1

联立旺+y2=「消去％并整理得(而+4)y2_2?ny_3=0,

.4,

由韦达定理得月+及=得下月及二方七，

因为。41OB,

所以瓦？•赤=0,

即久62+%>2=0,

此时(血2+l)y1y2-m(y1+及)+1=。，

所以(小2+1)xx+1=0,

整理得胎誓=°，

1

解得机=±-.

故直线4B的斜率为±2.

17.解：(1)证明：M是4。中点，QA=QD,QM1AD,

•.,平面Q2D1平面ABC。，平面Q4DC平面力BCD=AD,QMu平面QW,

.­.QM1平面ABCD,又BDu平面力BCD,

QM1BD.

(2)取BC中点尸，连接MF,

M,F分另Ij为AD,8c中点，AB“CD,

MF//AB,又BC1AB,：.MF1BC,

以F为坐标原点，~FM,而正方向为x,y轴正方向，过F作z轴〃QM,可建立如图所示空间直角坐标系,

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设QM=a(a>0),

•••MF=^AB+CD)=|,BC=yjAD2-(AB-CD)2=5

M(|,0,0),Q(|,0,a),B(0忠0),C(O-^O),晦,一舞,

zzz，q4■乙

.・•丽=4_*,|)，BC=(0-73,0),&=4，室a),

设平面QBC的法向量五=(%,y,z),

(BC-n=-#y=0

则CQ•ri=3%+—y+az=0，

I"22)

令久=2a,解得y=0,z=-3,

•••n=(2a,0,-3),

\MN-n\_LZ^I--------_屈

\cos<MN,n>

|MN||n|-4a2+9-十

解得a=道或a=I，

故QM的长为平或|.

18.解：(l)/'(x)=2x-2+p当a=1,时，/(I)--1,/(x)=1,

故切线方程为：y+1=x-1,即y=久一2；

(2)不妨设0＜久1＜冷，贝年2人久1)一久"(久2)＜。，同除以孙冷，得等＜竽，

所以G(x)=?=久-2+*在(0,+8)单调递增，

所以GQ)=]+以：产)20.

①若a=0,G(x)＞0恒成立，符合题意.

②若a＞0,则(2包沪恒成立.

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令F(x)=券，则F，Q)=号空，

令F，Q)=3-2fax>0,则o<%<漆，

33

所以F(x)在(0,谟)单调递增，在(岗+8)单调递减,

-131

所以22F(谈)=点，所以ae(0,2e3].

③若a<0,同理，上生沪恒成立，

由②可知，当％—0+时，F(x)->-oo,所以不存在满足条件的a.

综上所述，ae[0,2e3].

19.解：(1)设4="两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个"，i=0,1,2,

B="两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，

则P(&)=0⑶)=(芥=pP(&)=C必2=1；

124

P(BMo)=/，P(B|4)号，P(B\A2)=l，

则P(B)=ELoP(4)P(B|4)=h|+|x|+|x|=|

14

故P(4|B)=%=P再常的=亨茨.

(2)由题知X=0,1,2,

1111

由(1)知P(X=2)=-p2+-p(l-p)+T(1-P)2=P

同理可得P(X=1)=1cp(l-p)+扬2+(l_p)2]+羽p(l-p)=1

4-2Z