广东省肇庆市2024-2025学年高三年级上册9月联考数学试题（含解析）

局二数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合Z={-1,1,3,515={x|x=3左—1,左eN},则改集合=()

A.{-1,5}B.{1,5}C.{-1,3,5}D.{1,3,5)

22

2.已知双曲线上+L=1的上焦点为尸(0,1),则()

mn

A.加+〃=1B.m—n=1C.m+n=-1D.n-m=l

3.已知向量〃二(1,3),b=(-2,x),c=(-x,x),若〃〃则+()

A.-22B.4C.14D.32

4.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，高为3,且该圆台的体积为13兀，则该圆台的母

线长为()

A.2V2B.2V3C.V13D.V15

5.sin18°cos36°=()

3

6.若Q=0.3°',b=0.4°,c=2log83,则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

7.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名(假设测试的成绩两两不同)，且该同学的成绩恰好是该

班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为()

A.36B.41C.46D.51

8.若awO,函数/(%)=,且/(x)20在［0,8］上恒成立，则下列结论正确

的是()

A.〃>0B.Z)<0C.c>0D.b+c>0

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知复数z=/-i+（q+i）i,aeR,则下列结论正确的是（）

A.若z为纯虚数，则。=±1

B.若z在复平面内对应的点位于第二象限，则ae（-1,1）

C.若〃=0,则z=—1—i

D.若〃=0,则目=1

10.已知/（3x+l）为奇函数，且对任意xwR,都有/（x+2）=/（4—x）,/（3）=1,则（）

AJ⑺=-1B./（5）=0C./（ll）=-lD./（23）=0

22

11.己知尸是椭圆C：\+鼻=1（a>6>0）位于第一象限上的一点，片，鸟是C的两个焦点，

ab

2兀

/片尸鸟=3-，点0在/片产鸟的平分线上，/公产鸟的平分线与龙轴交于点河，。为原点，

OQ//PF,,且|。0|=6,则下列结论正确的是（）

A.△尸片鸟的面积为回2B.C的离心率为g

C.点尸到无轴的距离为县D.|（W|=3奥

2115

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上，

12.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且52=8,&=65,则S"=.

13.已知a>0,且x=0是函数/（x）=x21n（x+a）的极大值点，则a的取值范围为.

14.五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备

箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（13分）

某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一

等品、二等品和次品的概率分别为0.7,0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分

为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次

品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.

（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率

(2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘

汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.

16.(15分)

记△48C的内角B,C的对边分别为a,b,c,己知一~-——-=-----.

b~+c~-asin8

(1)求

(2)若b=4,sinB+cosB=42,求△45C的周长.

17.(15分)

如图，在四棱锥尸-48CD中，底面4BCD为菱形，ZDAB=60°,△尸是边长为2的等边三角

形，PB=a.

(1)证明：平面尸40,平面48CD.

(2)若E为尸。的中点，求平面与平面E4D的夹角的余弦值

18.(17分)

已知a>0,函数/(x)=e*—l)x-lna.

(1)讨论的单调性；

⑵若恒成立，求a的取值范围.

19.(17分)

已知曲线C：y=x2,点4(石,必)在C上，C在4处的切线为4,直线外的斜率是直线4斜率的2

倍，经过点4的直线叫与C的另一个交点为4，。在4处的切线为72,直线加2的斜率是直线,2斜率的

2倍，经过点4的直线加2与C的另一个交点为4,照如此方法构造点4(x“J")，”eN*.

(1)证明：直线4的方程为2XR—>—%=0.

(2)若X]=l,证明数列｛%｝为等比数列，并求出｛%｝的通项公式.

(3)若石=1,记S"为△44+14+2的面积，求s“.

高三数学参考答案

1.A依题得8={—1,2,5,…},则4口8={-1,5}.

2222

2.D土+匕=1可化为2--=1,故〃一加二1.

mnn—m

3.B因为"〃九所以x=—6,故%伍+1）=（—2,—6）・（7,—3）=—14+18=4.

4.C依题意，设圆台较大的底面半径为3r,较小的底面半径为尸，贝IJ

V=:（兀/+9兀〃2+3兀/2卜3=13K,解得r=l,故该圆台的母线长为VF+F=V13.

•io。2cos18°sin180cos360

5.Asin18°cos36°=------------------

2cos18°

_sin36°cos36°_sin72°_cos18°_I

2cos1804cos1804cos1804

0433

6.Ca-O.3<0.3°<0.4°=b<1,c=2log83=log89>L所以c>b〉〃.

7.C设班级的人数为x,由题意，x-10<0.8x<x-9,解得45<x<50,又xwN*,所以选C.

8.D因为XE[0,8],所以乌》_乌€[_2,乂].当》6[0,1）时，sin[-x--Lo；

66L66J^66J

当x£(l,7)时，sinfj>0；当XE(7,8]时，sinfj<0.

因为/(x)20在［0,8］上恒成立，所以x=l和x=7是&+尻+o=0的两根,

1+7=--,

a

且Q<0,则vi^Lb=-Sa>0,c=7Q<0b+c=-a>0.

1x7，，

a

9.BC若z为纯虚数，即/一1=0且〃+1。0,则。=1,故A错误；

若Z在复平面内对应的点位于第二象限，贝”"—1＜0'解得一1＜。＜1,即ae(-1,1),故B正确;

若Q=0,贝!］z=-l+i,则z=-l-i,故C正确；

若4=0,贝阳=后，故D错误

10.AB由/（3x+l）为奇函数，可得/（—3x+l）=—/（3x+l）,

则/（x）的图象关于点（1,0）对称.

又〃x+2）=/（4—x）,所以/（x）的图象关于直线x=3对称，

则/（x）是以8为周期的周期函数，所以/⑺二一/⑶二一1,

/（5）=/（1）=0./（ll）=/（3）=b/（23）=/（7）=-1,故选AB.

11.ACD如图，设户用=7〃，|尸闻=〃，延长O0交正用于点N.

由题意知00〃尸耳，。为公鸟的中点，则幺为尸耳的中点

又NQPA=NF/。=NAQP,所以△/0P是等边三角形,

m+n-2a.

m-n=2b,m=a+b,

则11化简得＜即1

b+—n=-m,m+几=2a,n=a-b,

22

在△片尸g中，由余弦定理得加2+/+mn=4c之

所以（a+6/+（。-6）2+（。+6）（。-6）=4c2,即3a2+外=4c2.

因为所以心夜，4心才，所以e=工，故B错误.

5

12兀2

△尸片鸟的面积为5加〃sin3-=—、——1=3-=®2,故A正确.

设点尸到无轴的距离为“，所以工X2C/Z=®2,则场=回，故C正确.

22

因为PM是/公0片的平分线，所以需j=ma+b^J-5+1

na-bV5-1

,则|。叫=争=¥^,故D正确.

所以=2c5

2。5[J

22

12.3n—2n^Sn=An+Bn,由82=8,S5=65,

4A+2B=8,Z=3

可得解得1'故=3〃2—2〃.

252+58=65,[B=-2,"

%a

13.(0,1)/'(x)=2xln(x+a)d-------=x21n(x+a)----------l-l.

XIQXICl

令g(x)=21n(x+a)-----+1,易知g(x)在(一见+⑹上单调递增，g(0)=21na.

x+ci

当ae(O,l)时，则存在加e(0,+oo),使得g(m)=0,符合x=0是函数=/ln(x+a)的极大值

点；当ae(l,+oo)时，则存在以6(一。,0),使得g(机)=0,不符合x=0是函数的

极大值点；当a=l时，g(0)=0,不符合x=0是函数/(x)=x21n(x+a)的极大值点.综上，a的取值

范围为(0,1).

14.第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有2x3x3xA：种情况;

第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有2x(3+2x2)A；种情况.

2x3x3xA；+2x（3+2x2）A；8

故所求的概率为

A；15

15.解：(1)设事件4表示“零件是次品”，B表示“自动检测判断零件为次品”

尸(8)=尸(Z)P(8⑷+尸(二等品)+P(川二等品)+P(一等品)P(川一等品)

=0.1x0.9+0.2x0.05+0.7x0=0.1,

则尸(H止步%3=2

'1'P(B)0.110

(2)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，。表示“人工抽检的零件为一等品”

P(c)=0.7+0.2x0.15=0.73,P(CD)=0.7,

所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为P⑷中常L氏塔

sinCc

16廨：（1）在△48C中，由正弦定理得-----二—

sin5b

/sinCc2c

因为———2——T二二——'所以——2——T=

b1+c-asmBb1+C1-c^b

化简得〃+。2—/=尻.

方2%2_21

在△4BC中，由余弦定理得cosZ=--------------=-

2bc2

jr

又因为0<2<兀，所以Z=

3

(2)由sin8+cos8=J^,可得sin15+卫］=1,则5+工=四，即3=二,

I4J424

于是C=7T—Z—5=—,

12

sinC=sin(7i-/-5)=sin(/+8)

血+遥

=sinAcos5+sin8cosA=

4

由正弦定理得‘一=—也=即，一b

sin4sin5sinC•兀.兀5兀

sm—sm—sm——

3412

解得a=2指，c=2&+2,

故AABC的周长为6+2指+20.

17.(1)证明：取/£)的中点。，连接50,PO.

因为40=48=2,4045=60°,所以△408为等边三角形.

因为。为40的中点，所以。8，幺£>,8。=正-F=6

因为△P4D是边长为2的等边三角形，所以尸。=6，

则PB2=PO-+OB2,所以08，。尸.

又40nop=。，所以08_L平面尸40,

因为。u平面ABCD,所以平面PAD±平面ABCD.

(2)解：因为OP,0A,。8两两垂直，所以以0为坐标原点，OP,0A,0B

所在直线分别为龙轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

(V3,o,o),B(0,0,⑹,C(o,-2,V3),£>(0,-1,0),

则尸122J

所以丽=G),DE

设〃=(x,y,z)为平面E8Z)的法向量,

BD-n=~y-也z=0,

取x=1,

5E-«=—x+—z=0,

22

易知浣=(0,0,1)是平面尸4D的一个法向量.

设平面EBD与平面PAD的夹角为。，

所以平面E8D与平面R4D的夹角的余弦值为

5

18.解:⑴/(x)的定义域为R,/,(x)=er-(a-l).

当0<aWl时，f'(x)>0,则/(x)在R上单调递增；

当a>l时，令/<x)〉0,解得令/>x)<0,解得—

所以/(x)在(in(a-1),+00)上单调递增，在(―叫In(a-1))上单调递减.

(2)由/(x)»lnx,可得Inx+lna+ax<e*+x,即e仄"")+ln(ax)Ve*+x.

令g(x)=e*+x,易知g(x)单调递增.

由冽"“+ln(ax)<eA+x,可得g(in(ax))<g(x),

,、In(ax)1

则In(ax)<x,即一-~-<一.

axa

令/z(x)=g,贝配(耳=匕学.

JCX

当x>e时，<0,为(x)单