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文档简介
专题12双变量不等式类能成立、恒成立问题
【方法点拨】
I.VXI^D,V%2£E,均有加1)>g(%2)恒成立,则危)min>gWmax;
Vxi£D,3X2£E,使得y(Xl)>g(%2)成立,则兀0加n>g(x)min;
3X1eD,3X2£E,使得加1)>g(%2)成立,则危)max>g(%)min.
记忆方法:都任意,大小小大(即对于两个变量都是“任意”的,不等式中较大者的最小
值大于不等式中较小者的最大值),存在换任意,大小应互换.
2.双元型不等式恒成立、能成立问题一般应遵循“双元化一元,逐一处理”的策略,即选择
主次元的方法,一般应”先独立后分参”,即先处置独立变量(所谓独立变量''是指与所求参数
无关的变量),再处置另一变量,而解题过程中往往采取分参方法.
【典型题示例】
例1已知a>0,〃£尺,若I〃二3一以2+。兀区+(〃++〃对任意;,2都成立,
则2的取值范围是—
a
【答案】|,+ooj
【分析】不等式化为无一?+工2+1,令广尤+1,可得
axaax1ax\_2
2产分别讨论2=o,2<o,和。>o时,求最值可得出.
aaaaa
【解析】不等式两边同时除以初2得x_2+_L<^X2^._L.^1,
axa+axz+2a+
整理得综+广+1/+—
ayx)xa
A11小则te2,-,则2d>-2
=--,XG—,2+1
x|_22aa
由于对任意元e-,2都成立,则有2"+iN--对任意te[2,2]恒成立,
2aa2
(I)当2=0时,12/不成立,不符合题意;
a
(2)当2<o时,则当/=9时,不等式左边取到最小,右边取到最大,满足题意,
a2
则”上-解得229,与2<o矛盾,不符合;
4a2aa29a
(3)当。>0时,
①当时,则当/=2时,不等式左边取到最小,右边取到最大,满足题意,
a2
则4.。+122_2,解得.•心三;
aaaa2
,,,",—_L_L
②当0<生2时,有*2+1之厂生即厂/工一1,则当r=2时,1取得最大值
aaat+-t+-
>/,2rn.rb22b八
为一,则一N—,..—<—<2;
5a55a
③当2<。<』时,2/+i>]>”2恒成立,满足题意,
a2aa
综上所述,2的取值范围是[2收].
aL5)
故答案为:g,+oo).
例2已知函数/(%)=loga(af且awl),若对V%]e[2,3],总
3X2e[3,4],使得/(%1)>log(8-x2),则实数a的取值范围是.
J.号0|,+8
【答案】
259
【分析1即/(无。>[10ga(8-切1nto.
当时,[loga(8-x)]min=log°4,故只需/(X)>loga4,所以(62-x),>4即OT?-%>4
对Vxe[2,3]恒成立,分参得a>-+4,令-=?(-<?<-),a>4r+t,
XXXDZ
3,故
a>
22
当Ovavl时,[logfl(8-x)l.=log5,故只需/(%)>log”5,所以(如2_1)<4,且
Jmin
L\/max
(a^-x\>0,即0<a?-x<5对Vxe[2,3]恒成立,分参得令
\/minXXX
t<a<5t2+t,g=fmax<a<(5/+心n=(5/+"=g'故;<若;
X
综上,实数。的取值范围
4X-1
例3已知函数/(x)=,若对任意王e[1,2],都存在x2e[1,2]使-2bxi>f(x2)
2X
成立,则实数6的取值范围是.
2
【解析】由条件可知(x-2to)min>/(x)min
因为/(x)=2'-2T,且y=2*、y=—2-x在[1,2]上单调递增
3
所以函数/(x)在[1,2]上单调递增,/(x)min=/(l)=-,
2
所以(犬2—2Mmin23,BPx-2bx>-^xe[1,2]恒成立,
33
即2b«x-3在xe[1,2]恒成立,记/z(x)=x——,xe[1,2],
2x2x
易证/z(x)在[1,2]上单调递增,
所以,,从而只需,即—.
、/inmin=h(、V,)=—222Z?«—4
点评:
3
为避免求函数y=x2-2bx最小值时的含参讨论,逆向转化为犬-2法2]在
xe[l,2]上恒成立,再利用分离参数求解.此种处理手段太重要,意味深长!!
例4已知函数/(x)=2"g(x)=/(尤)+/(凶),若e(0,+8),3x2e[-1,0],
使得g(2%)+ag(xJ+2g(X2)>0成立,则实数。的取值范围是.
【答案】(-9,+oo)
【解析】双变量问题,逐一突破,这里先处理不含参部分
由题意得,Va;iG(0,+ex)),g(2C1)+agQi)>[-2g(g)]mM,
当xe[—l,0]时,g(z)=2,+0
令力=2,则沙=%+,w4,1-y'=1-^2<0,
irii5
即沙=1+了在5,1上为减函数,故(g(2:2))mw=5
所以[/。(引、…―,
所以2・(2软)2+2-2%>-5恒成立,
即a>-(贵+2')恒成立,
又得?+2初三2、/|=同,当且仅当为二口8?手时取等号,
所以实数a的取值范围为(-,m,+°°)-
点评:
存在性和恒成立混合问题注意理解题意,不等关系转化为最值的关系.
例5若对任意再eR,存在/e(l,2],使不等式x;+xxx2+x^>2xl+mx2+3成立,
则实数m的取值范围是___________.
【答案】(—oo,g]
【解析一】先视为以“国”为主元的二次不等式的恒成立,
即不等式X;+(%2-2)再+%2-侬2-32。在玉£尺上恒成立,
所以A=(%2—2)2—4(%2—rnx2—3)«0,
E
即-(4m-4)X2-16>0,存在%(1,2],使不等式-(4m-4)x2-1620成立,
再视为以"超”为元的二次不等式的存在性问题,即能成立,
,791
设h(x2)=3X2-(4m-4)X2-16,则只需/z(l)>0或h(2)>0,即加〈一^或加
所以实数加的取值范围为(—8,g].
【解析二】先视为以“再”为主元的二次不等式的恒成立,
即不等式X;+(12-2)七+%2一侬2-32。在国wR上恒成立,
所以A=(x2—2)2—4(%2—ivx2—3)«0,
即-(4m-4)X2-16>0,存在马£(1,2],使不等式-(4m-4)x2-16>0成立,
再视为以"超”为元的二次不等式的存在性问题,即能成立,
即3%2—(4wt—4)%2—1620在/£(L2]能成立
分离变量得4〃2-4<3々—3
x2
设g(x)=3x—3,则g(x)=3x—3在区间(1,2]上单增,
XX
所以g(x)max=g(2)=-2,故4加一4W—2,即加
所以实数加的取值范围为(—℃,—].
点评:
1.二元存在性、恒成立问题应考虑“主次元”思想;
2.解法二用到了“分离参数”构造函数的方法,一般来说,求参变量范围问题,应尽量做
到“能分则分”,以避免参数参与运算带来的分类讨论等不必要的麻烦.
例6设a>0,函数/'(x)=x+《,g(x)=x—Inx+4,若对任意的e],存在无2G口,
e],都有/(尤i),g(X2)成立,则实数。的取值范围为.
【答案】[|,+£)
【分析】问题可转化为/(X)min》g(X)min,函数g(x)不含参,易求得ga)min=g(D=5,接下来
的思路有二,一是直接分类讨论求/(尤)min,二是将/(X)min,g(X)mi转化为/。)=尤+1》5
恒成立,通过分离参数再解决
【解析】问题可转化为/(X)min(尤)min.
当XG[1,e]时,g'(无)=1—故g(x)在[1,e]上单调递增,则g(x)min=g(l)=5.
/—“2
思路一:又(x)=l—丁=/,令/'(%)=0,易知是函数/(%)的极小值.
当时,/(X)min=l+〃2,则1+/25,不成立;
当l<〃We时,/(x)min=/(□)=2〃,则2a25,得产〃We;
当a>e时,/(x)min=/(e)=e+-^5显然成立,得«2>5e—e2,所以〃>e.
综上所述,实数a的取值范围为e,+8)
思路二:故有了(X)min25,即/(X)=x+:,5恒成立,分离参数得(5—%),
nr5
易得[x(5—X)]max=T,又〃>0,故
所以实数a的取值范围为[|,+8).
例7已知函数2亦+1,g(x)=*其中。>0,xHO.
(1)对任意的工£[1,2],都有/。)>虱工)恒成立,求实数〃的取值范围;
【解析】由题意知,/(x)—g(x)>0对入£[1,2]恒成立,即%2—2依+1—£>0对入£[1,2]恒成立,
即〃<2.2+]对工£[1⑵恒成立,令9(%)=2$+],只需tz<^(x)min(x^[l,2]).
由于9’(x)=>0,故9(尤)在⑵上是增函数,
2X2+12
9(x)min=9(l)=|,所以。的取值范围是(0,I).
(2)对任意的苞引1,2],存在检母1,2],使得/(xi)>g(尤2)恒成立,求实数。的取值范围.
【解析】由题意知X2—2依即a<岑/对xd[l,2]恒成立.
XA/乙T-XI1
人2(X2+1)8(^—l)+4x「上、
令9a)=一生曰_],则ea)=(4X+1)2>°对.金“⑵怛成立,
4
则夕⑴在[1,2]上是增函数,9(x)min=9(l)=m,
所以a的取值范围是(0,
点评:
防止误将均有月入)>g(X)恒成立,转化为7(%)min>ga)max,一般应作差构造函数
F(X)=f(X)—g(X)f转化为F(X)min>0恒成立.
例8已知函数/(司="+%2-xlna(a>0且awl),若对任意的%,马㊂口⑵,
不等式/(X)—/(々)0/—。+1恒成立,则实数0的取值范围为.
【答案】值+8)
【分析】求导/'(%)=(优T)lna+2x,分0<a<l,a>l,求得[/(石)一/(九2)]1mx,
再根据对任意的e[l,2],不等式。+1恒成立求解.
【解析】因为函数/(%)="+三—xlna(。>0且awl),
所以广(x)=(a"-l)lna+2x,
当0<a<l,xw[l,2]时,优一1<0,lna<0,
则/'(x)>0在[1,2]上成立,
所以/(可[1,2]上递增,
所以/("厘"⑵=>+4—21114"⑺勒=/(l)=a+l-lna,
2
所以"(%)-/(尤2)]11ax=«-a+3-lna,
因为任意的/,e[l,2],不等式/(石)一/(马)</一。+1恒成立,
所以〃2—〃+12〃2一a+3-ln”,即ln〃N2,
解得6?>e2»
当a>l,xw[l,2]时,优—l>0,ln〃>0,
则/'(x)>0在[1,2]上成立,
所以“X)在[1,2]上递增,
2
所以/(Ma=/(2)=fl+4-21na,/(x)min=/(l)=a+l—Ina,
所以"(石)-/(%2)11ax=/-a+3-Ina,
因为任意的e[l,2],不等式/(%)—/(々)</一。+1恒成立,
所以a?—a+3-lna,Wln«>2,
解得a>e2>
综上:实数a的取值范围为卜2,+8),
故答案为:,2,+8)
【巩固训练】
1.已知函数於LV—Zx+B,g(x)=log2x+机,对任意的为,入2£[1,4]有危1)"(%2)恒成立,
则实数m的取值范围是.
2.已知函数/OOulnCF+l),g(x)=O一m,若对Hxi£[O,3],3%2e[1,2],使得犬为后以及),
则实数m的取值范围是.
,
41-
3.已知函数«x)=x+1,ga)=2*+4,若2_,3X2[2,3],使得於1回3),则实数
a的取值范围是.
4.函数段)=必一12x+3,g(x)=y~m,若对VXI£[—1,5],3X2E[0,2],f(xi)>g(x2)9则实数机
的最小值是.
、2
5.已知函数g(x)=x_].若对任意的为£[0,3],总存在%2仁[2,3],使得
府1)|可。2)成立,则实数。的值为.
6.已知函数本)=$2+x,g(x)=lna+l)—Q,若存在为,%2e[0,2],使得危i)>g(X2),则
实数〃的取值范围是.
7.已知函数/(x)=x+:g(x)=2x+a,若1],A2G[2,3],使得於1)&(忿),则实
数a的取值范围是.
8.若对于Va«T'l],不等式/+(。一4)"+4—2a>0都成立,则x的取值范围是
9.若关于X的不等式f—如+3机—220在区间[1,2]上有解,则实数加的取值范围是
10.关于X的一元二次方程X2+(机+1)%+;=0(m62)有两个根%1、X],且满足
0<再<1<%2<3,则实数机的值是().
A.—2;B.—3;C.—4;D.-5.
11.设函数=g3=x",若对任意%,/e(°,e],不等式’(々)恒
xk+1k
成立,则正数上的取值范围为()
12.已知大于1的正数。,〃满足坐,则正整数”的最大值为()
A.7B.8C.9D.11
【答案或提示】
[【答案】(-8,0)
【解析】八%)=/一2x+3=(%—1>+2,当X£[1,4]时,y(X)min=/Q)=2,g(%)max=g(4)=2+m,
则1%)min>ga)max,即2>2+m,解得根<0,故实数机的取值范围是(一8,0).
2.【答案】由+J
【解析】当、引0,3]时,»mln=y(0)=0,当XG[1,2]时,g(A')rain=g(2)=1-/77,由於)mm
>g(X)min,得0>^—OT,所以”号.
3.【答案】(—00,1]
【解析】由题意知,/(x)min(xelJ)>g(X)mm(xG[2,3])>因为段)=x+],所以/(X)=L
ri-I
所以於)在E,1」上单调递减,所以/(x)min=/(l)=5,又因为g(x)在[2,3]上的最小值为g(2)
=4+〃,所以5%+〃,即〃31.
4.【答案】14
【解析】由了(劝=3/—12,可得加0在区间[—1,2]上单调递减,在区间[2,5]上单调递增,
.7/U)1111n=<2)=-13,
g(X)=3"一根是增函数,g(X)min=1—,
要满足题意,只需兀V)minNg(X)min即可,解得W>14,
故实数m的最小值是14.
5.【答案】
6.【答案】《,+8)
【解析】依题意知八X)max〈g(X)max.
•.•本)=犬+:在1上是减函数,.7Ax)max=/Q)=¥
又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,...g(尤)max=8+a,
171
因此WW8+a,则
7.【答案】a>-4
【分析】问题可转化为«r)max>g(X)min,易得7(X)max=4,g(X)min=—。,由7(尤)max>g(»min得:
4>-a,故〃>一4即为所求.
点评:
理解量词的含义,将原不等式转化为[«X)]maxW[g(X)]max;利用函数的单调性,求八X)与
g(X)的最大值,得关于。的不等式求得。的取值范围.
8.【答案】(7,1)D(3,+<»)
9.【答案】[-2,+8)
X2-2
【解析】对不等式V—如+3m—2之0分离参数得:相~-
x—3
尤2_2r1
设g(%)=-----(%目1,2]),则加
x-3
令3_%=.(1W/W2),则g⑺=(3一/—2="1)+6
—tt
函数/+工在区间让[1,2]单减,故1+1=8,g(0^=1?(1)=-2
tV/max
所以加2—2,即实数加的取值范围是[—2,”).
10.【答案】BC
11
【解析】将方程/+9(加+l)x+—=0分离参数得:—(祖+1)=%+一
22x
1319255
设如图,则一<—(加+1)〈一,所以——<m<——
2x2662
11.【答案】D
【分析】转化为[与等]],求出/(%)在(0,e]上的最小值与g(xj在(o,e]
1化+1/max\化7min
上的最大值代入可解得结果.
4
【解析】因为/(%2)=%+一在(。,2)上递减,在(2,0上递增,
X2
所以当%=2时,/(%)取得最小值/(2)=4,
因为g(xj=石],所以g'(xj=e否+芭/'=(1+玉)―,当/e(0,e]时,g'(xj>0,
所以g(xj=石]在(0,e]上单调递增,所以g(xj的最大值为g(e)=e/,
因为对任意芯,马€(0,耳,不等式丛人1<工@恒成立,
人+1k
所以[智KFL因为Q°,所以解得°%二・
故选:D
12.【答案】C
2a122x
r八*4b"坐人工In2b
【分析】「一〈一等价于----<J令〃x)=*Ag(x)=[,分别求/⑴,
/aanbnaxx
可求得了(X)有最大值/:)_〔〃1,g(x)有最小
g(x)的导数,判断函数的单调性,
/e=~^~
\7匕
pT〃
gm/
值"丫,根据题意,即:我小心"⑺”代入为2V,、,,等价于
,(J
-
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