197课题学习选择方案（原卷版）

八年级下册数学《第十九章一次函数》19.7课题学习方案选择知识点知识点一次根函数的应用方案的选择与设计◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；③结合实际需求,选择最佳方案.◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.题型一租车方案题型一租车方案【例题1】（2022春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．【变式11】（2022春•东洲区期末）某公司需要租赁货车运回一批货物，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运载力和租金如下表：型号运载力（箱/辆）租金（元/辆）大货车40380小货车30300（1）（2）在（1）的条件下，若这批货物共290箱，所租用的8辆货车可一次将货物全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【变式12】（2022秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车载客量（座/辆）6045租金（元/辆）1080900（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②【变式13】（2021春•渠县校级月考）2020年由于疫情发生，某市伸出友爱之手，现计划把甲种医疗物资1240吨和乙种医疗物资880吨用一列货车运往某地支援，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批医疗物资的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式（2）如果每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）上述方案中，哪个方案运费最少？最少运费为多少万元？【变式14】（2021秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：AB载货量（箱/辆）4530租金（元/辆）800550设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含有x的式子填写下表：车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？【变式15】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．题型二选择方案题型二选择方案【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【变式21】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【变式22】（2022秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【变式23】（2022秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【变式24】（2022•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．（1）（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【变式25】（2022春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？题型三购买方案题型三购买方案【例题3】（2022秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？【变式31】（2022春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？【变式32】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．【变式33】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x【变式34】（2021秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【变式35】（2021秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．x（件）81012A种文具费用（元）120150bB种文具费用（元）640a560（1）将表格补充完整：a＝；b＝；（2）求y关于x的函数表达式．（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．题型四采购方案题型四采购方案【例题4】（2022秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？【变式41】（2022春•黄陵县期末）暑假过后将迎来新学期，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换，已知在供应商处购买，一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元．若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把．（1）因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式；（2）若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用．【变式42】某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【变式43】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【变式44】（2022春•江津区期末）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元．套装购进价格（元/套）售出价格（元/套）A1215B1620（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？题型五利润方案题型五利润方案【例题5】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：时装布料甲乙A种（米）0.61.1B种（米）0.90.4若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？【变式51】（2022秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？【变式52】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【变式53】（2022秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：黄瓜西红柿卷心菜每辆汽车载货量（吨）765每吨蔬菜获利（万元）0.150.20.1（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．【变式54】（2022春•茌平区期末）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【变式55】某书店决定用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为20元/本、14元/本，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购买甲种图书，其购买本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）列方程求解：甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了促销，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，设甲种图书进货数量为n本，两种图书全部售完后，所获总利润为W元．①求W与n的函数关系式．②书店应该如何进货，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大？题型六进货方案题型六进货方案【例题6】（2022秋•泰兴市期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．（1）求篮球和足球的进价；（2）篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式，并直接写出w最大时的进货方案．【变式61】（2022秋•敦煌市期中）进入8月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王在进货数量上作出调整，8月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：鲅鱼价格带鱼价格第一周8元/千克18元/千克第二周10元/千克20元/千克（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，且购进的鲅鱼千克数是带鱼的2倍，求老王第一周购进的鲅鱼和带鱼分别是多少千克？（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，且购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为．（3）【变式62】（2021秋•仪征市期末）某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：普通口罩/个N95口罩总销售额/元50040050006003004200（1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？（2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．设购买普通口罩x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该药店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【变式63】（2021秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．（1）求每只A型、B型体温枪的价格；（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．①求y关于x的函数关系式；②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．【变式64】（2022•东坡区校级模拟）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500餐椅a﹣11070（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？题型七调运方案题型七调运方案【例题6】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设A城运往C乡的肥料量为x吨，总运费为y元．（1）写出总运费y元关于与x之间的关系式；（2）当总费用为10200元，求从A、B城分别调运C、D两乡各多少吨？（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？【变式71】（2021•雨花区校级开学）2021年是中国“十四五”开局之年，站在“两个一百年”奋斗目标的历史交汇点上，优先发展农业农村、全面推进乡村振兴是重中之重．湖南为了落实党的“中央一号”文件，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A，B两城共有肥料1000吨，其中B城肥料比A城肥料多200吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为10元/吨和1