第16讲指数及指数运算（原卷版）

第16讲指数及指数运算【知识点梳理】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．(6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点：①，且；②当是奇数，则；当是偶数，则；③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零．⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：例：；．⑥指数的逆运算过程：．2.指数运算中的平方差、立方和差公式,【典型例题】题型一：根式指数式的运算【例1】化简求值:（1）；（2）．【例2】.【例3】（多选题）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）已知，，，且，则______．2.（2022·全国·高一课时练习）计算：（1）______；（2）______．3.设，，求的值．4．（2022·全国·高一专题练习）求值.5．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）______；（2）______．题型二：平方差、立方差（和）公式运用【例1】已知求的值．【例2】若则.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则＝（

）A．12 B．14 C．16 D．202.（2022·全国·高一单元测试）（1）已知，计算：；

题型三：指数式运算应用题【例1】（2022·河南开封·高二阶段练习（文））企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【例2】（2021·安徽宣城·高一期中）某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（

）A．15h B．30h C．40h D．60h【例3】（2022·北京房山·高一期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【例4】（2021·四川省南充市白塔中学高一期中）Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（

）A．60 B． C． D．【例5】（2021·全国·高一课时练习）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（

）A．5 B．9 C．6 D．8【题型专练】1.（2022·浙江·杭十四中高二期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（

）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍2.（2020·全国·高三专题练习）毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（

）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天3.（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（

）小时.A． B． C． D．4．（2021·四川·成都外国语学校高一期中）国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（

）A． B． C． D．5．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是144小时，在的保鲜时间是36小时，则该食品在的保鲜时间是（

）A．16小时 B．18小时 C．20小时 D．24小时6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（

）A．50 B．53 C．60 D．667．（2021·江苏省镇江中学高一期中）核酸检测在新冠疫情防控核中