第三章圆锥曲线的方程章末检测

第三章圆锥曲线的方程章末检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共0分)1．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由题意，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选C．2．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即，又，所以，由，所以.故选A.3．已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为A． B．C． D．3【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选C．4．动点P，Q分别在抛物线和圆上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，圆化简为，即圆心为（0,4），半径为，所以点P到圆心的距离，令，则，令，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以的最小值为，所以，所以的最小值为.故选B.5．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】在椭圆中，，，.易知.又，所以为等边三角形，即，所以，即.故选C.6．已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.【答案】B【解析】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选B.7．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，则．由点P在第一象限，知，即，即，即．故选B.8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得.故选D.二、多选题(共20分)9．已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确.故选ACD.10．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（

）A．开口向上，准线方程为y＝－B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－1【答案】AB【解析】由题设，抛物线可化为，∴开口向上，焦点为，准线方程为.故选AB.11.在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（

）A． B．直线过点C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是【答案】BCD【解析】设：，，消可得.，得，，∴，则或∵，∴，∴，，故A错；：过，故B对；设定点，，当且仅当时，取等号，故C对；又，不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对.故选BCD.12．已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（

）A．的最小值为2 B．面积的最大值为C．直线的斜率为 D．为钝角【答案】BC【解析】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，则四边形为平行四边形，，，当且仅当时等号成立，A错误；对于B，由得，，的面积，当且仅当时等号成立，B正确；对于C，设，则，，故直线的斜率，C正确；对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，则，又点和点在椭圆上，①，②，①②得，易知，则，得，，，D错误.故选BC.三、填空题(共20分)13．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．【答案】【解析】由题可得，所以，所以离心率.14．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．【答案】6【解析】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，解得，则，故短轴长为.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．【答案】3【解析】由已知得．在中，设，则或．当时，由余弦定理，得，解得，所以．当时，由余弦定理，得，无解．故．16．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.【答案】

【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，设，，，因为动点满足，所以，即，，所以，，因为，所以，所以，即的轨迹方程为.四、解答题(共70分)17．已知1，当k为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x轴上的双曲线；(3)表示焦点在y轴上的双曲线．【解析】（1）∵1，即，方程表示双曲线，∴(k－1)(|k|－3)＜0，可得k＜－3或1＜k＜3；（2）∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，则，∴1＜k＜3；（3）∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，则，∴k＜－3．18．已知椭圆：的离心率为，过的下顶点作直线交圆于､两点，直线交于另一点.（1）求的方程；（2）求面积的最大值.【解析】（1）由题意，直线过椭圆的下顶点，可得，又由椭圆的离心率为，即，可得，因为，可得，解得，所以椭圆的方程是.（2）由圆，可得圆心坐标为，可得圆心到直线的距离，直线被圆所截的弦，又由，整理得，设，则，，且，所以点，所以，令，，则，，可得，因为，，当且仅当时等号成立，所以面积最大值为.19．已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.【解析】（1）由题意，可得，即，∴抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，，，联立抛物线有，消去x得，则，∴，，又，.∴.∴为定值.20．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．【解析】（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为.（2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或.21．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【解析】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）[方法一]：设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.[方法二]【最优解】：设．当时，同解法1．当时，直线的方程为，即．由直线与相切得，化简得，同理，由直线与相切得．因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．所以直线与相切．综上所述，若直线与相切，则直线与相切．22．在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：．(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与