2025届重庆某中学校高三年级上册10月质检数学试题及答案

重庆市高2025届高三第二次质量检测

数学试题

注意事项：

1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。

2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求.

1.已知集合4={“lu=sinc},B={g|u=3e},则403=

A.(0,l]B.[0,l]C.[-l,0)D.[-1,0]

2.函数/(c)=/c3c,的定义域为

-x—x

A.(—oo,—2)U(1,+oo)B.(-2,1)

C.(—oo,-2]U[1,+oo)D.[—2,1]

1+cos2a

3.已知tana=2,则

sin2a

A.3B.|c.2D.1

o/

4.已知命题p:角a与角的终边关于直线沙=①对称,命题q:a+0=卷，贝1Jp是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知/(c)=e"—e~x—2x,若不等式/("sine)+/(cosc-a)<0对一切ceR恒成立,则实数a的

取值范围是

A.(-2,+oo)B.(X),—2)

C.(2,+oo)D.(-oo,2)

6.人教A版《数学必修第二册》第102页指出，“以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,

其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆(circularcone).”若一个直角三角形的斜边

长为通，则按以上步骤所得到圆锥的体积的最大值为

A.B.C.^-7TD.2TT

7.如图,直线g=能与函数/(/)=2sin(GN+/)(G>0)的图象相交,为相邻的三个交点,且

|—|NP|=,，若常为/㈤的一个零点,则/(力的解析式可以为

y

A______N>P

T/\/\

A.=2sin(c+m

B.f(x)=2sin(2c+看)

C.f(t)=2sin,re+小

D./(a;)=2sin^4：x+

8.已知锐角a满足cos(a+70。)+sin(a+40。)+cos(a+50。)=0,则sina的值为

A—B—C遮D

,3232

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分.

9.关于函数〃z)=ln(e，+e-0—2),以下说法正确的是

A./(/)为奇函数B./&)为偶函数

C./(⑼在区间(0,+oo)单调递增D./(力)在区间(0,+oo)单调递减

10.已知以/?£(0,5卜an2Q=—泉tan(a+/?)=7,则以下说法正确的是

A.tana=2B.tan。=羡

O

C./5=&+4口.[3=ex.一,

11.已知直线/=苧是函数〃M=sin(s，+三|(9>0)图象的一条对称轴,则下列结论正确的是

A.3的最小值为看

y

B.7T不可能是/(2)的零点

C.若八。)在区间仁开,万)上有且仅有2个对称中心,则“=?

D.若“力在区间(再2力上单调递减,则3=£

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.一个扇形的周长为4,面积为1,则其圆心角的弧度数为一.

13.已知直线g=A:工一2与曲线g=z—"I■相切,贝!)％=_

14.在△AB。中，AB^2AC.

(1)若3。=3,则△48。面积的最大值为一；

⑵若点M、N满足:加=而，而=2冠,则黑的取值范围为__.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知△48。中，角4星。的对边分别为a@,a,且满足a=2b—2ccos4.

(1)求角。；

(2)右c=4,sin/sin5=—,求△48。的面积.

o

16.(15分)

在减肥界,碳水化合物一直是个备受争议的角色.俗话说,减肥八分靠吃,两分靠动.而在吃上，“少

吃碳水”被奉为圭臬,米饭、馒头、面条……这些传统主食，早已成了减肥人士眼中的洪水猛兽.

相对应地，在谈及身边肥胖情况越来越普遍时,主食也就理所当然被归成了“罪魁祸首”.世界卫

生组织的标准中,BMI值大于等于28kg/m2的成人属于肥胖人群.某健身机构为研究碳水化合物与

肥胖是否有关联,在该机构的健身学员中随机抽取200名学生调查,列表如下：

碳水

肥胖不控制碳水摄入控制碳水摄入合计

肥胖4060

不肥胖

合计135200

⑴完善列联表,根据概率值a=0.05的独立性检验,分析不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风

险；

(2)以样本频率估计概率,从该健身机构肥胖的学员中随机抽取5名学生，用P0)表示这5名学生

中恰有£名不控制碳水摄入的概率,求P⑹取最大值时£的值.

附:参考公式:X?，其中/=a+"c+d.

一(,a,+人b)(/c，+需d)(号a+;c),(一b+小d)

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

3.841

Xa2.7066.6357.87910.828

17.(15分)

已知函数/(⑼=述sin等•cos等+能cos2等一g(3>0),其图象中两条相邻的对称轴之间

的距离为丁

⑴求函数/(⑼的解析式,并求出它的单调递减区间;

⑵将函数9=/(1)的图象向左平移蠡个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数沙=g®的图象，当CG0,与'7T时,求方程g(c)+l=sin2；r的所有根之

和.

18.(17分)

已知双曲线C:%—%=l(a>0,6>0)的实轴长为4,渐近线方程为学=士卜.

(1)求双曲线。的标准方程；

(2)双曲线的左、右顶点分别为4、4,过点3(3,0)作与多轴不重合的直线,与。交于P、Q两点,

直线4P与4Q交于点S,直线4Q与42P交于点T.

⑴设直线4P的斜率为自，直线4Q的斜率为居，若自=扉2,求人的值；

(ii)求△4S7的面积的取值范围.

19.(17分)

若函数/(2)对其定义域内任意的卢2(/1/做)满足:当/(的)=/(立2)时,有工"2为同一常数,则称函数

/3)具有性质k

(1)请写出一个定义域为(0,+8)且具有性质/的函数/(⑼；

(2)已知a,bGR+,函数g(2)=aa；+！(2>0),当g(%)=g(灰)(为丰灰)时，证明：+立2>；

(3)设函数无3)=」一出四九(g)=八(①2)3>的>0),

(i)判断函数九3)是否具有性质V；(ii)证明：电源V2.

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数学试题参考答案与评分细则

题号1234567891011

选项ABDBCBCDBCABDABD

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

1.A【解析】=[-l,l],B=(0,+oo),.-.^nB=(0,l].

2.B【解析】由解得“e(

QnrAoj.nl1+cos2g2cos2a]1

3.D[解析];~—「.—~—彳.

sin2aZsinacosatana2

4.B【解析】若角a与角尸的终边关于直线y=%对称，贝I」里=LIT+于,人eZ,

故a+万=2k7T+.让2,当4=0时,有0!+0=.故0是9的必要不充分条件.

5.C【解析】•；/(-x)=-/(%),.•・/(%)为R上的奇函数，

・；/，(％)=e*+e"-2'0,；./(%)为R上的单调递增函数，

故原不等式等价于/(有sin%)<-/(cosx-a)=/(a-cos%)，艮|1/sinx<a-cos%,

故a>v^~sinx+cosx=2sin(%+,易得a>2,

6.B【解析】设直角三角形的两条直角边分别为r,机则/+配=3,二.圆锥体积厂二十"/九="仃(3-/?)

=3-3状,易得/(九)在(0」)单调递增,

(1,⑶单调递减,;./g)W/(l)=2,故/”六

7.C【解析】设函数/(%)的周期为7=功,由图象可得IMVI=3\NP\,\MN\+\NP\=—\MN\-\NP\=

“coco

卫=/,，①=3,则/(")=2sin(3x+W),又/(-寻=2sin(w=0,得中一=kiT(keZ),

o)3\V/\3/5

取卬=1即可.

8.D[解析】由题意，有cosacos70°-sinasin70°+sinacos40°+cosasin40°+cosacos50°-sinasin50°=0,

ain200+2sin40°

即sinasin70°=cosa(cos700+sin400+cos50°)=cosa(sin200+2sin40°),得tana=----；~~——.....二

sin70

数学试题参考答案第1页（共6页）

geos10°-gsin10°+2(£COS10°+gsin10°1-cos100+gsin10°

sin(300-10。)+2sin(30。+10。)22

sin70°sin70°sin70°

^■sin10°+"^-cos10°10°4-^-cos10°]r-...i—..

22_\22/_73(sin10cos60+cos10sin60)_75sin(10+60)

sin70°=sin70°=sin70°=sin70°

M；：a为锐角,sina=—.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求

全部选对得6分，部分选对得部分分,有选错得0分.

9.BC【解析】•."(-%)=ln(e-*+e、-2)=/(比)，.•./(%)为偶函数，故A错误,B正确；

1

当％〉0时，函数"e">l且单调递增，函数〃=力+十-2>0且单调递增，函数y=ln〃单调

递增，，函数y=/(%)在(0,+8)单调递增，故C正确,D错误.

10.ABD【解析】：a,3e(0,系，由tan2a=2tan?=解得tana=2或tana=-)(舍)，故A

正确；由tan(a+3)=A:+t：ng=7,解得tan3=；,故B正确；由tan(a-jB)=

1-tanatanp3

=1,且a-即(-会口,.•.a-0=^，故C错误,D正确.

1+tanatanp\22/4

11.ABD【解析】直线/=F是函数图象的一条对称轴，则+(=而eZ,解得

①=12及9+2,1ceZ,又①>0,则①的最小值为"I■，故A正确；

假设IT是/(%)的零点，贝I]IT。+[=机K,meZ,解得a)=Tn-^-=91n03,祖,eZ,与3=I.+2,

LeZ矛盾，假设不成立，故B正确；

设函数/(%)的周期为7=红：直线％=空是函数图象的一条对称轴，/(%)在区间

0)4

(9,上有且仅有2个对称中心，；.-率W彳，即:,—<y,竺解得

\4/4444to44必

工一八TV12L+277627486口「上在、口

6<GW10,又①=---,keZ,・•・①二K，K，K，故C错扶；

yyyy

•."(")在区间(TT,2TT)上单调递减，则必有=K，即0〈/wl,.=春，

2co9

此时/(%)=sin停/+]),：.尤+ye[咨,1任,券),；./(%)符合题意，故D正确.

数学试题参考答案第2页(共6页)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分

12.2【解析】设扇形的半径为r,弧长为/,则27+/=4,5=：〃=1,解得「=1,，=2,

其圆心角a=—=2.

r

13.2【解析】/'（%）=1+',设切点横坐标为线,

X

'''曲线y=x在出处的切线方程为I:y-（3-1）=（1+；）（比-3）,

将#=0,y=-2代入，得-2-卜0-=（1+J（-&），解得3=1,则4=1+A-=2.

14.（1）3（2）（0,1）

【解析】（1）设角4,8,C的对边分别为，有a=3,c=26,

••・由余弦定理，可得cos4==纥总

，；2（•?6）•;26；’4b

则面积S=j-bcsinA=^-b-2bll-(VUj=1+1062-9,

当F=5时,S取得最大值3,此时a=3,6=5,c=25符合题意.

0

⑵由题意,4M=6,4N=＞，由余弦定理，可得

CM2=b2+b2-2•b*bcosA=2b2(1-cosA),

BN2=(26产+停)2一2・26•j6cosA=^(5-3cosA),

.CM291-cos4CM

cosA(，即Bn丽

,前="5-3cosAee

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

j22_2

解：（1）由余弦定理可得：。=2b-2ccosA=2b-2c太一里，即。6=b2-c+a,

2bc

・•・cosC=aC=Ce(0,b),・,・C=y................................................................6分

(2)由正弦定理可得：2A=),则sinAsinB二0•=1~,

sinC2K2K8

",日i40。1一c140/10#m八

解得。6=了,一・S二亍质smCXjx了二^—..................................13分

数学试题参考答案第3页（共6页）

16.(15分)

⑴碳水

肥胖合计

不控制碳水摄入控制碳水摄入

肥胖4060100

不肥胖2575100

合计65135200

设心：不控制碳水化合物摄入与肥胖无关，

2

2200x(40x75-60x25),ino°o/11

1=-65x135x100x100-'>'，

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为不控制碳水化合物摄入与肥胖

有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05,

根据表中的数据计算，不控制碳水化合物摄入中肥胖和不肥胖的频率分别为黑。.615和卜。.385,

0.615

控制碳水化合物摄入中肥胖和不肥胖的频率分别为需Q0.444和黑~0.556,由于。1.4,

0.444

可见，在被调查者中,不控制碳水化合物摄入中肥胖的频率是控制碳水化合物摄入中肥胖的频率的

1.4倍,根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为不控制碳水摄入会增加变肥胖的风险8分

(2)从肥胖的学员中任意抽取1名学生为不控制碳水的概率P=薛40=|2■，贝IJ§~对5.

1005

4

%=0)=图5=243%=i)=唱侍=810

3125'3125'

用浙r3108022720

P6=2)=产皖=3)=

3125'3125'

45

%=4)=或回(|)=:摆,"=5)=232

3125,

1080

.•.§=2时P(§)有最大值;3125,..........15分

17.(15分)

解：(l)/(%)=76sin竿•cos等+^cos2竽一,="sin(ox+衣•1+COSCDXJ2总惶sin5+

22

1

-cos(OX5sin(①%+^-:图象中两条相邻的对称轴之间的距离为?.•片=(八工』,

由切>0,=2,/(%)=72sin2X+6)-

令2kr++乎(4eZ),得W上TT+孕(4eZ),

2o263

.・./(%)的单调递减区间为[%r+7](^eZ)...................

6分

数学试题参考答案第4页(共6页)

（2）y=/（%）图象向左平移为个单位长度得y二"sin（2%+半卜再将所得图象上各点的横坐标变为

原来的2倍（纵坐标不变），得g（九）二"sin（%+-^j=sin%+cos%.

由g（%）+1=sin2%,sinx+cosx+1=2sin%cos%,令力=sinx+cos%,贝！j2sin%cos%=P-1,

丁./一力一2二0,.•・力二一1或力二2（舍）.

由％e0,^TT，二光+于er，4ir，令〃=%+：,贝ljyn^sin〃=-1,

结合图象对称性可得所有根之和U1+U2+U3+W4=^X2+-^X2=IOTT,

%1+%2+比3+%4=10lT-4X孑=9ir.15分

18.（17分）

解:（1）由题意知：2a=4,口=）,解得a=2,6=1,双曲线方程为£-/=1...............3分

a24

（2）因为直线，斜率不为0,设直线，方程为4=4+3,

2

联立\-y=1得：（/_4）y+64+5=0,

P一4#0

△=16?+80>0

71+%=-要7，且为先="1：(Ji+%)•

设4(%1,71),42(久2,%),；♦，

力一4

5

(j)A=—=%..-2=%.(%+3)-2=阴％+%

A%i+2y2(%+3)+2%"2+5%

一看(力+%)+乃为_5y21

10分

得3+%)+5%-5%+25兆5

（ii）由题可得出。：夕=加2（%-2）,A1P：y=ki（x+2）.

2g+自）

g,二s博学)，即s(*,.同理4£ioy2\

联立可得:43，3%2+21

人2一人13/\33xr+2)\

5(%一%)

%%10%了210

\ST\=y=

x+2x+23ty+5T

121ty2+5一1“%+先)+5“%+先)+25

=4—3：）［产=—，故/小小2,

t'0且t7^4,.,.SA4ST=E17分

数学试题参考答案第5页（共6页）

19.(17分)

解：(1)((%)=lgl(a>0且a#l)(答案不唯一).3分

b

axx+——=n

町

(2)令g(叼)=g(%2)=n,：.

b

ax2+—=n

%2

%],%2是a#-nx+b=0的两个不等实根,xx=—

r2a

又%]〉0,%2〉0且%1片%2，「•X1+%2......................................................................................................7分

(3)(i)设％1尹％2，％1%2=7/1>°，且血为常数,由八(％1)=八(％2)得为(％1)=力(7)，

即九1-In的二㈣-In攻=项-Inzn+In2Inxv-xr+—-Inm=0对任意xr>0成立,

x1x1%1的

即21n%]-%]+理-In万恒为常数0,显然矛盾,.•・函数九(％)不满足性质%.............10分

(ii)函数九⑷在(0,1)上单调递减,(1,+8)上单调递增，由无(%)=乂”2),有0<血<1,%2>1