2024-2025学年江西省宜春市某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省宜春市丰城九中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中

心对称图形，也是轴对称图形的是（）

d

A.母七）“三叶玫瑰线

B.（四叶:现线

心形线D.—nr—>笛卡尔叶形线

2.小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的

某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（）

AA.-3段R-3Q。-9T）-9

3.如图，△ABC绕点/按顺时针方向旋转57。后与△/夕。重合，连接89，贝ikcac'=（）

A.45°

B.47°

C.51°

D.57°

B

4.如图，ZB为。。的直径，点C,。在O。上.若NBC。=100。，则N&。。的度数是（）

A.25°e

B.22.5。

C.20°

D.15°

5.关于％的方程一2%-1=0有实数根，则Q的取值范围是（）

A.CLN-1B.a>—1C.CL之一1且aH0D.CL>—1且aW0

6.如图，抛物线y=a/++c（a力0）的对称轴为直线久=1,与久轴的一个交点坐标为（一1,0）,其部分

图象如图所示，下列结论：①炉-4ac<0；②方程a/+bx+c=0的两个根是/=-1,x2=3；

(3)3a+c=0；④当y>0时，久的取值范围是一1<久<3；⑤当x>0时，y随x增大而减小.其中结论正

确的个数是()

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

7.已知关于久的一元二次方程--3x-a=0有一个根为一1,贝1Ja的值为

8.将抛物线y=2(%-1)2+3向右平移1个单位，向上平移2个单位所得到

的新抛物线解析式为,

9.某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地48CD上修建三条同

样宽的甬路，使其中两条与4B平行，另一条与垂直，其余部分种草，

若使每一块草坪的面积都为144米2,则甬路的宽度为米.

10.如图，四边形力BCD内接于。。，4B是直径，过C点的切线与ZB的延长线交

于P点，若NP=40。，则ND的度数为.

11.如图，已知矩形48CD中，AB=4,AD=3,P是以CD为直径的半圆上的一个动

点，连接BP,贝IBP的最大值是.

12.已知，正六边形A8CDEF的边长为2,点P在它的边上，当△4BP为等腰三角形时，4P的长为

三、计算题：本大题共1小题，共8分。

13.已知关于x的一元二次方程——(2k+l)x+4fc-3=0.

(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)当RtA48c的斜边长a=，五，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求小4BC的周长.

四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.(本小题6分)

已知：如图，。4、。8为。。的半径，C、。分别为。4、OB的中点.求证：AD=BC.

CD

AB

15.(本小题6分)

先化简，再求值：(？―詈)+匿黑，其中a是一元二次方程/一％—1=。的根.

16.(本小题6分)

如图，在5X4网格中(每个小正方形的边长都是1),线段4B的两个端点都在格点上，力(1,4),B(3,l),将

线段4B绕点B顺时针旋转90。，得到线段BC.

(1)旋转过程中点4运动的路径长为；

(2)在网格中用无刻度直尺作图：(不写作法，保留作图痕迹)

①画出线段BC,则点C的坐标为；

A

②作由△RBC的外心0.

17.(本小题6分)

一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同.

(1)判断事件”从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率；

(2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白

球的概率是全则取走了多少个白球？

18.(本小题6分)

如图，在RtAABC中，ABAC=90°,以点力为圆心，4c长为半径作圆，交BC于点D,交于点E,连接

DE.

(1)若乙4BC=20°,求NDE4的度数；

(2)若力C=3,AB=4,求CD的长.

19.（本小题8分）

由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每

包16.9元.

（1）求出这两次价格上调的平均增长率；

（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可

以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包.当销售额为315元时，为让顾客获得更大的优惠，应该降价多

少元？

20.（本小题8分）

如图，点E是正方形48CD的边延长线上一点，且=连接2E交CD于点。，以点。为圆心，。。为

半径作O。，。。交线段4。于点尸.

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若4B=2/1+2,求阴影部分的面积.

21.（本小题9分）

九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：

22

定义:如果二次函数y=arx+brx+。式的丰0,瓦,q是常数）与y=a2x+b2x+c2（a2#0,a2,b2,c2是

常数）满足的+口2=。，b1=b2,ct+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2/—3x+l的

“旋转函数”.

小组同学是这样思考的，由函数y=2/—3%+1可知，a1=2,瓦=—3,q=1,根据a1+a2=0,

br=b2,+c2=0,求出a2，b2,C2就能确定这个函数的"旋转函数".

请参照小组同学的方法解决下面问题：

(1)函数y=/—4x+3的“旋转函数”是；

(2)若函数y=5x2+(m—l)x+n与y=—5x2—nx—3互为"旋转函数"，求(m+n)2。22的值；

(3)已知函数y=2。—l)(x+3)的图象与无轴交于4B两点，与y轴交于点C,点4,B,C关于原点的对称

点分别是4,B],G，试求证：经过点4,Q的二次函数与丫=2(久一1)(久+3)互为“旋转函数”.

22.(本小题9分)

九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动.

操作探究：

(1)如图1,△048为等腰三角形，0A=OB,^AOB=60°,将△04B绕点。旋转180。，得到△0DE,连接

AE,尸是4E的中点，连接。/，贝U/BAE=°,OF与DE的数量关系是；

迁移探究：

(2)如图2,(1)中的其他条件不变，当AOAB绕点。逆时针旋转，点D正好落在N40B的角平分线上，得到

△ODE,求出此时NB4E的度数及。F与DE的数量关系；

拓展应用：

(3)如图3,在等腰三角形O4B中，。4=:0B=4,N40B=90。.将AOaB绕点。旋转，得至IUODE,连接

AE,F是4E的中点，连接。凡当==15。时，请直接写出。F的长.

B\

/、

应K

OA0A

E

图1图2图3

23.(本小题12分)

已知抛物线y=x2-2ax+3a顶点在第三象限，顶点纵坐标为-4.

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)若图象与x轴的交点为4、B,与y轴的交点G,求A/IBG的面积；

(3)在对称轴上找一点Q,使BQ+GQ的值最小，求满足条件的点Q坐标；

(4)在抛物线上是否存在一点P,使得A/IGP是以力G为直角边的直角三角形？存在，求出点P坐标；不存

在，说出理由.

参考答案

1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.4

8.y=2(x-2)2+5

9.2

10.115°

11.713+2

12.2或2门或

13.解：(1)关于x的一元二次方程/-(2k+l)x+4fc-3=0,

△=(2k+l)2-4(4k-3)=4k2-12k+13=4(fc-|)2+4>0恒成立,

故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)根据勾股定理得：炉+°2=a2=31①

因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，

则6+c=2k+1②，be=4k—3③，

因为(b+c)2-2bc=b2+c2=31,

即(2k+l)2-2(4k—3)=31,

整理得：4k2+4fc+1—8k+6—31=0,即1—k—6=0,

解得：=3,k2=-2,

12

vb+c=2fc+1>0即/c>--.bc=4k-3>0即k>

L4

k2=—2(舍去)，

则b+c=2k+1=7,

又因为a=V31,

则aABC的周长=a+b+c=V31+7.

14.证明：・・・。4。8为。。的半径，C,。分别为。4。8的中点,

0A=OB,0C=0D.

在△A。。与△8。。中，

0A=0B

丁乙。=乙。,

0D=0C

•••△/01HZk80C(S/S).

•••AD—BC.

15B.(---2a2-a

2glaa+lJ,Q2+2Q+I

_a2—1—a2+2a(a+1)2

a(a+l)a(2a—l)

a+1

•••a是一元二次方程/-%-1=0的根,

a2=a+1,

则原式=^=L

16.(1)手7T；

(2)①如图所示，线段BC即为所求:

•••2(1,4),5(3,1),

••”(6,3)；

②如图点。即为所求:

•・•△2BC是直角三角形，即乙48c=90°,

AABC的外心。即为AC的中点,

・•.如图中所示，点。即为所求

17J?：(1)因为口袋中装有3个红球和9个白球，

所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件,

所以它发生的概率是0.

(2)设取走了％个白球.

由题意，得太^=

解得％=5.

故取走了5个白球.

18.解：(1)如图，连接ZD.

v^BAC=90°,^ABC=20°,

/.Z-ACD=70°.

-AC=49,

・•・乙4CD=AADC=70°,

・•・/.CAD=180°-70°-70°=40°,

・•・^DAE=90°-40°=50°.

又•・•AD=AE,

・•・乙DEA=乙ADE=1(180°-50°)=65°.

(2)如图，过点/作AFICD,垂足为F.

•••^BAC=90°,AC=3,AB=4,

BC=5.

11

Xv^-AF-BC=^AC-AB,

•,"昨)32一尊2屋.

•••AC=AD,AF1CD,

：.CD=2CF=y.

19.解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x,

依题意得：10(1+x)2=16.9,

解得：%1=0.3=30%,%2=一2.3(不符合题意，舍去).

答：这两次价格上调的平均增长率为30%；

(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10-zn)元，每天可售出(3。+5zn)包，

依题意得：(10-m)(30+5m)=315,

整理得：m2-4m+3=0,

解得：nt】=1,m2=3.

又•••要让顾客获得更大的优惠，

•••m的值为3.

答：每包应该降价3元.

20.(1)证明：过。作。H14C于H,

••・四边形4BCD是正方形，

^ADO=AAHO=90°,AD//BE,

•••Z-DAO=乙CEO,

•・•AC=CE,

•••Z.E=Z-CAO,

・•・乙DAO=Z.CAO,

OD=OH,

•・•4C是。0的切线;

(2)解：•••四边形ABCD是正方形,

•••^ACD=Z.DAH=45°,

.•.△COH是等腰直角三角形,

・•・OC=^20D=71。”，

AB=2，^+2,

OD+yJ~20D=2A/-2+2,

OD=2,

1

•・•乙DAO=^HAO=^ADAH=22.5°,

・•・乙4。。=90°—22.5°=67.5°,

・•・阴影部分的面积=A4)。的面积一扇形DOF的面积=1x(2/2+2)X2-丝舒-=+2-苧

21.y=—x2—4%—3

【解析】(1)解：由函数y=/一4%+3知，at=1,瓦=一4,q=3,

•••+。2=°，瓦=%，Q.+0=0，

•••。2=—1，力2=­4，C2=—3,

•••y=—x2—4%—3,

故答案为：y=—x2-4%—3；

(2)解：根据题意得：｛6―；=1巴解得｛爪=[2,

In-3=0⑺=3

2022

(m+n)=(3-2产22=1;

(3)证明：化简y=2(%—1)(%+3)得y=2x2+4x-6,

则4、B、C三点的坐标分别为4(1,0),8(-3,0),C(0,-6),

.••4、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为4(一1,0),/(3,0),Q(0,6),

.•.经过41、Bl、G三点的函数解析式为y=-2%2+4x+6,

y——2x2+4x+6与原函数y=2(%-1)(%+3)是旋转函数.

22.解：(1)90；DE=20F.

(2)由旋转的性质，可知△OABgAODE,

•••△04B为等边三角形，。。平分N40B,△ODE为等边三角形，

1

・••乙DOE=60°,乙AOD=^AOB=30°,

・•・Z.AOE=Z.AOD+乙DOE=90°,

0A—0E,

・•.Z,OAE=45°,

・•・△AOE是等腰直角三角形，4BAE=^OAB-AOAE=15°,

•・•F是AE的中点，

•••OF1AE,

・•.△OEF是等腰直角三角形，

・..DE=OE=V2OF.

(3)273或2.

23.解：(1)y=x2—2ax+3a=(%—a)2—a2+3a,

又抛物线顶点纵坐标为-4,

**•-a2+3d=-4,

解得：a=-1或a=4(此时顶点不在第三象限，舍去)，

••・抛物线的函数表达式：3/=产+2%-3,

•・•y=久2+2%-3=(%+I)2—4,

・•・顶点坐标为(一1,一4)；

(2)令y=x2—2ax+3a=0；

解得：x-1或％=-3,

・