2024-2025学年高中数学第1章数列4数列在日常经济生活中的应用讲义教案北师大版必修5

PAGE10-§4数列在日常经济生活中的应用学习目标核心素养1．驾驭单利、复利的概念．(重点)2．驾驭零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点)3．驾驭数列在日常经济生活中的应用．(难点)1．通过数列在日常生活中的应用，提升数学建模素养．2．通过数列在经济生活中的应用，提升数学运算素养．数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：(1)三种常见的应用模型①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，假如储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内根据肯定的要求，分期付清．(2)常用公式①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n．②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x．③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．思索：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？[提示]单利和复利两种方法．(2)建立数学模型的关键是什么？[提示]正确选取变量，并精确建立变量之间的数量关系．1．现存入银行10000元钱，年利率是3．60%，那么根据复利，第5年末的本利和是()A．10000×1．0363 B．10000×1．0364C．10000×1．0365 D．10000×1．0366C[由复利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10000×1．0365．]2．某产品安排每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是()A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3C．eq\f(a,1－q%3) D．eq\f(a,1＋q%3)C[设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a．∴x＝eq\f(a,1－q%3)．故选C．]3．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1，最长弦长为末项ak，若公差d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，则k的取值不行能是()A．4 B．5C．6 D．7A[x2＋y2＝10x化简得(x－5)2＋y2＝25过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，则由题意d＝eq\f(10－8,k－1)＝eq\f(2,k－1)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，5≤k≤7．]4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2．25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0．001)6．246[10年后的本息：a10＝5×(1＋0．0225)10≈6．246(万元)．]等差数列模型【例1】某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月起先算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[解]因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}．则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59．5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58．5，…所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．所以{an}是以60为首项，－eq\f(1,2)为公差的等差数列．所以a10＝60－9×eq\f(1,2)＝55．5．所以第10个月应付55．5(万元)．a20＝60－19×eq\f(1,2)＝50．5．所以S20＝eq\f(1,2)×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1105．所以实际共付1105＋150＝1255(万元)．1．按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．2．按单利分期付款问题的三个关键问题(1)规定多少时间内付清全部款额．(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．eq\o([跟进训练])1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到其次年的元月10日，此项存款一年的利息之和是()A．5(1＋2＋3＋…＋12)元B．5(1＋2＋3＋…＋11)元C．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元D．1000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A．]等比数列模型【例2】某家庭准备以一年定期的方式存款，安排从2024年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2031年年初将全部存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？[解]设从2024年年初到2031年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)．则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝eq\f(1,1＋p)为公比的等比数列．所以2031年初这个家庭应取出的钱数为S10＝eq\f(a1＋p10\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋p10))),1－\f(1,1＋p))＝eq\f(a,p)[(1＋p)11－(1＋p)](元)．1．复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n．2．解决等比数列应用题的关键(1)细致审题抓特点，细致视察找规律．(2)等比数列的特点是增加或削减的百分数相同．(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．eq\o([跟进训练])2．某住宅小区安排植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则须要的最少天数n(n∈N＋)等于________．6[每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6．]分期付款问题[探究问题]1．复利与单利的区分是什么？[提示](1)复利在其次次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将起先的本金作为本金计息．(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？[提示]按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1．1万元；按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1．104万元．3．在实际问题中，涉及一组与依次有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？[提示]在实际问题中，若涉及一组与依次有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，其关键是①弄清晰是什么数列；②分清首项、项数；③是求和还是求项等问题．【例3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，运用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1．110≈2．594,1．310≈13．786)思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．[解]方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝eq\f(1.310－1,1.3－1)≈42．62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(万元)，甲方案净获利42．62－25．94≈16．7(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为eq\f(1,2)，前10项和为T10＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2×\f(1,2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋9×\f(1,2)))＝eq\f(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)＋1)),2)＝32．50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1．1×eq\f(1.110－1,1.1－1)≈17．53(万元)，乙方案净获利32．50－17．53≈15．0(万元)．比较两方案可得甲方案获利较多．1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1．5万元，两种方案运用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．(参考数据：1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？[解]方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列，且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10，收入S丙＝eq\f(41－1.2510,1－1.25)＝eq\f(49.3－1,0.25)＝132．8(万元)．净获利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1．5，n＝10，收入S丁＝10×3＋eq\f(1,2)×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(万元)．净获利：W丁＝97．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(万元)所以方案丙净获利更多．2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．(参考数据：1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)[解]设根据甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前n项和为Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝eq\f(1.3n－1,1.3－1)＝eq\f(10,3)(1．3n－1)，又贷款本息总数为10(1＋10%)n＝10×1．1n，则甲方案的净获利为eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n，由题意知eq\f(10,3)(1．3n－1)－10×1．1n＞100，阅历证，当n＝14时，eq\f(10,3)(1．314－1)－10×1．114＝eq\f(10,3)(39．374－1)－10×3．798＝127．913－37．98＝89．933＜100，当n＝15时，eq\f(10,3)(1．315－1)－10×1．115＝eq\f(10,3)(51．186－1)－10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，所以n的最小值为15．1．等差、等比数列的应用题常见问题产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列学问解决问题．2．将实际问题转化为数列问题时应留意(1)分清是等差数列还是等比数列．(2)分清是求an，还是求Sn，特殊要精确确定项数n．(3)递推关系的发觉是数列建模的重要方式．1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列学问解决问题．2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P(1＋nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P(1＋r)n．(其中P为本金，r为利率，n为期数)3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．1．推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息． ()(2)定期自动转存模型是等差数列． ()(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．2．闻名物理学家李政道说：“科学和艺术是不行分割的”．音乐中运用的乐音在高度上不是随意定的，它们是根据严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12)).若某一半音与D#的频率之比为eq\r(3,2)，则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A．F#B．GC．G#D．AB[依题意可知an>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝1，2，…，13)).由于a1，a2，…，a13满意log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up24(12)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，12))，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))eq\s\up12(12)＝2，∴eq\f(ai＋1,ai)＝2eq\s\up12(12)，所以数列a1，a2，…，a13为等比数列，公比q＝2eq\s\up12(eq\f(1,12))，D#对应的频率为a4，题目所求半音与D#的频率之比为eq\r(3,2)＝2eq\s\up12(eq\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2eq\s\up24(eq\f(1,12))))eq\s\up24(4)，所以所求半音对应的频率为a4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al