2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质学案含解析北师大版必修2

PAGE6.2垂直关系的性质考纲定位重难突破1.理解直线与平面垂直和平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言精确地描述定理．2.能够敏捷地运用两个垂直性质定理证明相关问题．3.理解并驾驭“平行”与“垂直”的相互转化，以及垂直关系之间的相互转化.重点：线面垂直和面面垂直性质定理的应用．难点：常与线面、面面垂直的判定定理结合命题，考查多个定理应用的相互转化．疑点：要证明的结论简单被当成已知运用.授课提示：对应学生用书第21页[自主梳理]一、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b二、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形表示符号语言假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,aα,a⊥l,))⇒a⊥β[双基自测]1．假如一条直线平行于一个平面，那么这条直线和这个平面的垂线()A．垂直B．相交C．平行D．异面解析：设m∥α，n⊥α，则α内肯定有一条直线l，使得m∥l，且有l⊥n，所以m⊥n.答案：A2．在空间中，下列结论正确的是()①平行于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一条直线的两条直线相互平行；③平行于同一个平面的两条直线相互平行；④垂直于同一个平面的两条直线相互平行A．②B．①④C．①D．①②③④解析：由公理4知①对；垂直于同一条直线的两条直线可以异面、相交、平行；平行于同一个平面的两条直线可能异面、相交、平行；由线面垂直的性质知④正确．答案：B3．两个平面相互垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面()A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内解析：若这条直线平行于交线则它平行于另一个平面；若这条直线与交线相交则它与另一个平面也相交；若这条直线就是交线则它在另一个平面内．答案：D4．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，EC⊥平面ABC，EC＝12cm，则ED＝______cm.解析：连接CD，则CD＝5，又EC⊥平面ABC，所以EC⊥CD，所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.答案：135．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有________条．解析：连接PD(图略)，∵PO⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PO⊥AC.又AC⊥BO，PO∩BO＝O，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，∴图中共有4条直线与AC垂直．答案：4授课提示：对应学生用书第21页探究一线面垂直的性质的应用[典例1]如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.[证明]连接DE.∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC.又BC平面ABC，∴AD⊥BC.又AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE.∵AF＝AG，D为FG的中点，∴AD⊥FG.同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，∴FG⊥平面ADE.∴BC∥FG.1．线面垂直的性质给我们供应了证明线线平行的方法．2．证明线线平行的方法：(1)a∥c，b∥c⇒a∥b.(2)a∥α，aβ，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理，BD1⊥B1C.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.探究二面面垂直的性质的应用[典例2]如图，四棱椎P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.[证明]设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定供应了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，常常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要留意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不行．2.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的随意一点，平面PAC⊥平面ABC.(1)推断BC与平面PAC的位置关系，并证明；(2)推断平面PBC与平面PAC的位置关系．解析：(1)BC⊥平面PAC.证明如下：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的随意一点，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，所以BC⊥平面PAC.(2)因为BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.探究三平行与垂直关系的综合应用[典例3]如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面相互垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.[证明](1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)如图，取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊eq\f(1,2)AB∥PC，所以四边形PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN平面BCE，PM平面BCE，所以PM∥平面BCE.以空间几何体为载体，综合考查空间线线、线面、面面的平行关系与垂直关系是考试的热点，解决这类问题的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系是解决这类问题的关键．3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，∠(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．解析：(1)证明：由AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B.由AB＝BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，知∠C1BC＝90°，即C1B⊥CB.又CB∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.由棱柱的性质，知平面ABC∥平面A1B1C1，所以C1B⊥平面A1B1C1.(2)因为AB⊥侧面BB1C1C，所以平面ABB1A1⊥过点C1作C1P⊥BB1交BB1于点P，连接AP(图略)，则C1P⊥平面AA1B1B.又C1P平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.在▱BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，所以B1P＝eq\f(1,2)B1C1＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2).平行与垂直的综合应用[典例](本题满分12分)如图，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．求证：(1)GF∥平面ABC；(2)平面EBC⊥平面ACD.[规范解答](1)如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.①2分又因为四边形ADEB为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又HF∩HG＝H，HF，HG平面HGF，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.6分(2)因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC.又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.②从而平面EBC⊥平面ACD.12分[规范与警示](1)解决本题的2个关键点：①处证明线线平行时，找中点，作协助线得平行关系，是解题的关键．②处证明垂直时，往往是通过对已知条件得出的结果进行推断，故立体几何的有关证明可采纳作图、计算、证明的混合模式．(2)解决该类问题一般思路a．线面垂直与平行的相互转化：空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行起先转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．b．转化关系：线线垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(定义))线面垂直eq\o(,\s\up7(性质定理),\s\do5(判定定理))线线平行．(3)在解决平行和垂直的综合问题时，肯定要把线面垂直、面面垂直的性质和判定方法驾驭精确，应用时所具备的条件要排列清晰，明确题目中的关键点，为后面的计算或解答明确目标．[随堂训练]对应学生用书第23页1．已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定解析：因为l⊥AB，l⊥AC，ABα，ACα且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.答案：C2．在下列四个正方体中，满意AB⊥CD的是()解析：设平面CBD内的另一个顶点为E，则CD⊥AE，CD⊥BE，所以CD⊥平面ABE，所以CD⊥AB.答案：A3．下列几种说法正确的有________．(只填序号)①平面