2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练三十七数列的概念及其表示课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练三十七数列的概念及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.不能作为数列2,0,2,0,…的通项公式的是 ()A.an=1+(-1)n+1 B.an=1-(-1)nC.an=1+(-1)n D.an=1-cosnπ【解析】选C.验证易知,只有C选项中的式子不能作为已知数列的通项公式.2.在数列{an}中,a1=-2,an+1=QUOTE,则a2014= ()A.-2 B.-QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选B.因为a1=-2,an+1=QUOTE,所以a2=-QUOTE,a3=QUOTE,a4=3,a5=-2.可知数列{an}是以4为周期的数列,所以a2014=a2=-QUOTE.3.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则{an}的通项公式为 ()A.4n-5 B.4n-3C.2n-3 D.2n-1【解析】选A.因为Sn=2n2-3n,所以当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1),两式相减可得an=Sn-Sn-1=4n-5,又当n=1时,a1=S1=-1,满意上式.4.如图,给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式是 ()A.2n+1 B.3nC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由an-an-1=n+1,再依据累加法得an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=3+3+4+5+…+n+1=QUOTE.5.已知数列QUOTE满意a1=28,QUOTE=2,则an= ()A.n2 B.n2+nC.n2-n+28 D.n2-n【解析】选C.由an+1-an=2n知,a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2QUOTE,相加得:an-a1=n2-n,所以an=n2-n+28.6.已知数列QUOTE满意an+2=an+1-an,若a1=1,a3=3,则a17= ()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】选A.因为数列QUOTE满意an+2=an+1-an,故有an+3=an+2-an+1=QUOTE-an+1=-an,所以an+6=-an+3=an,故数列QUOTE是以6为周期的周期数列,所以a17=a5=-a2,又因为a1=1,a3=3,a3=a2-a1得a2=4,故a17=a5=-a2=-4.7.已知数列QUOTE的通项公式为an=QUOTE(n∈N*),则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为QUOTEB.QUOTE是该数列中的项C.数列中的各项都在区间QUOTE内D.数列QUOTE是单调递减数列【解析】选C.an=QUOTE=QUOTE=QUOTE.令n=10,得a10=QUOTE,故选项A不正确;令QUOTE=QUOTE,得9n=300,此方程无正整数解,故QUOTE不是该数列中的项,故选项B不正确;因为an=QUOTE=QUOTE=1-QUOTE,又n∈N*,所以数列QUOTE是单调递增数列,所以QUOTE≤an<1,所以数列中的各项都在区间QUOTE内,故选项C正确;选项D由上面分析知不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)8.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+Sn-1=2n-1(n≥2,n∈N*),且S2=3,则a1的值为________.

【解析】因为Sn+Sn-1=2n-1(n≥2,n∈N*),令n=2,得S2+S1=3,由S2=3得a1=S1=0.答案:09.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来探讨数,如图所示.他们探讨过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律接着下去,第n个五角形数an=________.

【解析】视察图形,发觉a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,揣测当n≥2时,an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=QUOTEn2-QUOTEn.答案:QUOTEn2-QUOTEn10.设数列QUOTE满意nan=n2+λ,若数列QUOTE是单调递增数列,则实数λ的取值范围是________.

【解析】因为nan=n2+λ,所以an=n+QUOTE,由于数列QUOTE是单调递增数列,则an+1>an,即n+1+QUOTE>n+QUOTE,整理得λ<n2+n,令bn=n2+n,所以bn+1-bn=QUOTE-QUOTE=2n+2>0,所以,数列QUOTE单调递增,则数列QUOTE的最小项为b1=12+1=2,所以λ<2.因此,实数λ的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE【加练备选·拔高】(2024·石家庄模拟)设数列QUOTE的前n项和为Sn,若a1=QUOTE且当n≥2时,an=-Sn·Sn-1,则QUOTE的通项公式an=________.

【解析】当n≥2时,an=-Sn·Sn-1,则Sn-Sn-1=-Sn·Sn-1,所以QUOTE-QUOTE=1,因为a1=QUOTE,所以S1=QUOTE,即QUOTE=2,所以QUOTE=2+QUOTE×1=n+1,所以Sn=QUOTE,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=QUOTE-QUOTE=QUOTE,当n=1时a1=QUOTE,不满意上式,故an=QUOTE答案:QUOTE1.(5分)已知数列QUOTE满意an=QUOTE(n∈N*),则数列QUOTE的最小项是第________项 ()

A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.因为an=QUOTE,-6=a5<a4=-QUOTE,-6=a5<a6=QUOTE,所以数列QUOTE的最小项是第5项.2.(5分)在数列{an}中,其前n项和为Sn,且Sn=QUOTEan,则QUOTE的最大值为()A.-3 B.-1 C.3 D.1【解析】选C.当n≥2时,Sn=QUOTEan,Sn-1=QUOTEan-1.两式作差可得an=Sn-Sn-1=QUOTEan-QUOTEan-1,则QUOTE=QUOTE=1+QUOTE,据此可得,当n=2时,QUOTE取到最大值3.3.(5分)在数列{an}中,a1=1,an+1-an=sinQUOTE,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2021= ()A.0 B.2020C.1011 D.2021【解析】选C.由a1=1及an+1-an=sinQUOTE,得an+1=an+sinQUOTE,所以a2=a1+sinπ=1,a3=a2+sinQUOTE=0,a4=a3+sinQUOTE=0,a5=a4+sinQUOTE=1,a6=a5+sinQUOTE=1,a7=a6+sinQUOTE=0,a8=a7+sinQUOTE=0,…,可见数列{an}为周期数列,周期T=4,所以S2021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=1011.4.(5分)已知数列QUOTE中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2(n∈N*),则a101= ()A.-5150 B.-5151C.5050 D.5051【解析】选D.由题意,数列QUOTE中,a1=1,an+1=an+(-1)n·n2QUOTE,则a2-a1=-12,a3-a2=22,a4-a3=-32,…,a101-a100=1002,各式相加,可得a101-a1=-12+22-32+42-…-992+1002=(-1+2)·(1+2)+(-3+4)·(3+4)+…+(-99+100)·(99+100)=1+2+3+…+100=QUOTE=5050,所以a101=a1+5050=5051.【加练备选·拔高】数列QUOTE满意QUOTEa1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=2n+1,则QUOTE的通项公式为an=________.

【解析】因为QUOTEa1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=2n+1,所以QUOTEa1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan+QUOTEan+1=2QUOTE+1,两式相减得QUOTEan+1=2,即an=2n+1,n≥2,又QUOTEa1=3,所以a1=6,不满意上式,因此an=QUOTE答案:QUOTE5.(10分)已知函数f(x)=QUOTE,设an=f(n)(n∈N*),(1)求证:an<1;(2){an}是递增数列还是递减数列?为什么?【解析】(1)an=f(n)=QUOTE=1-QUOTE<1.(2)因为an+1-an=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,所以an+1>an,所以{an}是递增数列.6.(10分)已知数列QUOTE的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=2an+1.(1)求数列QUOTE的通项公式;(2)当bn=QUOTE(3an+1)时,求数列QUOTE的前n项和Tn.【解析】(1)因为Sn=2an+1,所以Sn-1