浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期1月期末考试 数学 含答案

2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，4} B．{2，3} C．{1，4} D．{0，1，4}2．已知（2+i）z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（）A．15 B．13 C．553．已知平面向量a→=(2，0)，b→=(−1，1)，且（ma→A．﹣1 B．0 C．1 D．1±4．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)左，右焦点分别为F1（﹣c，0），A．[6，+∞） B．（1，6] C．[2，+∞） D．[4，+∞）5．已知2cos2θ﹣cosθ＝1，θ∈（0，π），则|sinθ|＝（）A．0 B．12 C．32或0 6．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx+γ（A．ln30 B．ln3 C．﹣ln3 D．﹣ln307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知圆C：x2﹣2x+y2＝0与直线l：y＝mx+2m（m＞0），过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A和B，若线段AB长度的最小值为2，则实数m的值为（）A．277 B．77 C．14二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，则（）A．x＝7 B．这组数据的中位数为4 C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5 D．这组数据的第70百分位数为5.5（多选）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝5，b＝6，c＝7，下面说法正确的是（）A．sinA：sinB：sinC＝5：6：7 B．cosA：cosB：cosC＝5：6：7 C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC的最大内角是最小内角的2倍（多选）11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=23，点E是棱PB上一点（不包括端点），F是平面PCDA．一定不存在点E，使AE∥平面PCD B．一定不存在点E，使PB⊥平面ACE C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面PAD的交线长为π3D．|AE|+|EF|的最小值16（多选）12．已知函数f(x)=xx−1−ex(x＞1)，g(x)=xA．x1＝lnx2 B．1xC．x1+x2＞4 D．x1x2＜e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过P(1，3+1)，Q(3，3314．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AC=23，BC＝4，AA1＝8，则该直三棱柱的外接球的表面积为15．已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω＞0)在[0，π]上的值域为[3216．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）；（1）求函数y=f(x+π（Ⅱ）求函数y＝f（x）在[0，π18．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN→=12AC→，BM→（1）求|AM（Ⅱ）求证：AM⊥PN．19．树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；（Ⅱ）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；（Ⅲ）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥AD，AE＝2EF＝2，∠EAD＝120°，平面ADFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥CF；（Ⅱ）求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值．21．如图，在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，且满足|PD|=2|MD|．当点P在圆上运动时，M的轨迹为（1）求曲线Ω的方程；（Ⅱ）点A（2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交曲线Ω于点B，交y轴于点C．已知G为AB的中点，是否存在定点Q，对于任意k（k≠0）都有OG⊥CQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g（x1）＝f（x0）（其中，i＝1，2，…，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．（Ⅰ）判断g（x）＝x2﹣2x+1，（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+4（x∈[0，5]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值：如果