苏科版八年级数学上册重难点突破训练：全等三角形性质与判定（原卷版+解析）

专题01全等三角形性质与判定

聚焦考点

考点一全等图形识别考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和

考点三全等三角形的概念考点四全等三角形的性质

考点五用SSS证明三角形全等考点六用S4S证明三角形全等

考点七用ASA证明三角形全等考点八用44S证明三角形全等

考点九用证明三角形全等

考点一全等图形识别

例题：（2022•湖北省直辖县级单位•八年级期末）下列说法正确的是（）

A.两个面积相等的图形一定是全等图形B.两个全等图形形状一定相同

C.两个周长相等的图形一定是全等图形D.两个正三角形一定是全等图形

【变式训练】

1.（2021.山东.东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（）

2.（2022.河北沧州.八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（）

考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和

A.30°B.45°C.60°D.135°

【变式训练】

1.（2022・山东.济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4x4的正方形网格中，求______度.

2.（2020•江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中,

Zl+Z2+Z3=________度.

考点三全等三角形的概念

例题：（2021•福建・福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的

对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的说法有（）

A.1个8.2个C.3个D4个

【变式训练】

1.（2022・上海.七年级专题练习）如图，在AA3C和AA0。中，已知AB=A0,=AC^A'C,那

说理过程如下：

把AABC放到"EC上，使点A与点4重合，由于=,所以可以使点8与点9重合.又因

为=,所以射线能落在射线上，这时因为=,所以点_

与重合.这样AABC和重合，即AABC丝

考点四全等三角形的性质

例题：（2021•重庆大足•八年级期末）如图，△ABC和△DEF全等，且NA=ND,AC对应。石.若AC=6,

BC=5,AB=4,则。方的长为（）

A.4B.5C.6D.无法确定

【变式训练】

若NA=80。,/尸=30。，则pg的度数是（)

A.80°B.70°C.65°D.60°

2.（2022・上海•七年级专题练习）如图所示，D,A,£1在同一条直线上，BD_LDE于D,CE_LDE于E,且及4瓦）

之△CAE,AD=2cm,BD=4cm,求

（1）。石的长；

（2）/84。的度数.

考点五用SSS证明三角形全等

例题：（2022・河北・平泉市教育局教研室二模）如图，BD=BC,点E在BC上,且B£=AC,DE=AB.

A

E

(1)求证：AABCgAEDB；

(2)判断AC和的位置关系，并说明理由.

【变式训练】

1.(2021•河南省实验中学七年级期中)如图，在线段8C上有两点E,F,在线段C8的异侧有两点A,D,

且满足AB=CD,AE=DF,CE=BF,连接AB

(1)E»与NC相等吗？请说明理由.

(2)若NB=4O。，ZDFC=20°,AF平分44E时，求NBA歹的度数.

2.(2022•山东济宁•八年级期末)如图，在四边形A8CD中，CBLAfi于点8,。0，4。于点。，点E,F

分别在AB,A。上，AE=AF,CE=CF.

(1)若AE=8,CD=6,求四边形AECP的面积；

(2)猜想/DAB,ZECF,/DEC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

考点六用SAS证明三角形全等

例题：（2022.福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点。是线段AB的中点，0£>〃3。且8=3。.求证:

AAO庠鼠）BC.

【变式训练】

1.（2022・云南普洱•二模）如图，AABC和AEFD分别在线段AE的两侧，点C,。在线段AE上，AC=DE,

AB//EF,=求证：BC=FD.

2.（2022•四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点8、C、E、尸共线，AB=DC,NB=NC,BF=CE.

求证：AABE义ADCF.

考点七用AS4证明三角形全等

例题：（2022・上海•七年级专题练习）已知：如图，ABLBD,EDLBD,C是80上的一点，AC±CE,AB

CD,求证：BC=DE.

【变式训练】

1.（2022・广西百色・二模）如图，在AABC和ADC8中，ZA=Z£>,AC和08相交于点。，。4=。。.

(1)AB=DC；

(2)AABC^A£»CB.

2.（2022•贵州遵义・八年级期末）如图，已知AB〃DE,ZACB=ZD,AC=DE.

（1）求证：“SC三血⑷.

⑵若N3CE=60。，求的度数.

考点八用AAS证明三角形全等

例题：（2022•上海•七年级专题练习）如图，已知8E与C。相交于点O,且BO=CO,ZADC=ZAEB,那

么△8。。与ACEO全等吗？为什么？

【变式训练】

1.（2022•福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,/ABE=/

CDF,AF=CE.求证：AB^CD.

2.（2022•全国•九年级专题练习）如图，。是AABC的边AB上一点，CFUAB,。/交AC于E点，DE=EF.

(1)求证：4ADEmACFE；

(2)若AB=5,C尸=4,求的长.

考点九用证明三角形全等

例题：（2022•四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图,AB=C£）,AE，BC于8c于尸，且即=CE.

⑴求证尸；

（2）判定A8和C£＞的位置关系，并说明理由.

【变式训练】

1.(2022•安徽安庆・八年级期末)如图，AD,BC相交于点AD=BC,ZC=ZD=90°.

(1)求证：及4。20△BZM；

(2)若/CA8=54。，求NCAO的度数.

2.(2022.江西・永丰县恩江中学八年级阶段练习)如图，在AABC中，BC=AB,ZABC=90°,B为AB延长线

上一点，点E在BC上，MAE=CF.

⑴求证：RtxABE义RmCBF；

(2)若/C42=30。，求NACP的度数.

i课后训练

一、选择题

1.（2022•河北石家庄•八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）

A.3组8.4组C.5组D6组

2.（2022・辽宁大连•八年级期末）如图，4Aoe%ADOB,AO=3,则下列线段长度正确的是（）

C.DB=3D.DO=3

3.（2022・吉林长春•八年级期末）如图，点8、F、C、E在一条直线上，ZA=ZD=90°,AB=DE,添加下

列选项中的条件，能用乩判定“BC刍△。跖的是（）

A.AC=DFB.ZB=ZEC.ZACB=ZDFED.BC=EF

4.（2022・重庆长寿•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，AO〃3C,点M是的中点，且

若AO=4,AB=6,BC=8,则四边形ABC。的周长为（）

A.24B.26C.27D.28

5.（2022・湖北随州•八年级期末）如图，AABC中，P为A8上一点，。为8C延长线上一点，且尸A=CQ,

过点尸作PMLAC于点过点。作QN,AC交AC的延长线于点N,且尸M=QN,连接尸。交AC边于

点D则以下结论：①PD=DQ；②AB=BC;③AABC为等边三角形；@DM^AC.其中正确的结论

是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题

6.（2022.黑龙江佳木斯•八年级期末）如图，点。在A3上，点E在AC上，AB^AC,添加一个条件

使△ABE/△ACD（填一个即可）.

7.（2022.福建泉州.八年级期末）已知AABC会AB+AC=12,若/48C的周长为22,则8C'的长为

8.（2021.江苏镇江.八年级期中）如图，若"BC会ADEB,点。在线段A3上，若。E=7,AC=5,贝UAD

9.（2022•福建福州•八年级期末）如图，已知/C£）E=90。，ZCAD=90°,BELADB,且。C=Z）E,若

BEK4B=4,则8。的长为.

E

D

10.（2022•江西萍乡•七年级期末）如图，在长方形A8C。中，AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,

连接。E,动点尸从点B出发，以每秒2个单位的速度沿8C—CO—D4向终点A运动，设点P的运动时间

为/（秒），当AIBP和ace全等时，，的值为

解答题

11.(2022•江苏•八年级)如图，已知ZA=85°,ZB=60°,AB=8,EH=2

（1）求角尸的度数与。8的长;

(2)求证：AB//DE.

12.（2022•湖北省直辖县级单位.八年级期末）如图，已知：AB=AC,BD=CD,£为A。上一点.

(1)求证：AABOg△AC。；

(2)若48即=50。，求NC即的度数.

13.(2022•山东东营•七年级期末)如图，已知/A=90。，ZADE=120°,8。平分/AOE,AD=DE.

(1)A84。与ABED全等吗？请说明理由;

(2)若DE=2,试求AC的长.

14.(2022•辽宁辽阳•七年级期末)如图，在AABC和ADEF中，A,F,C,。在同一直线上，且AF=CD,

ZA=ZD.

(1)请你添加一个条件：,使△ABC也△DEF；(只添一个即可)

(2)根据(1)中你所添加的条件，试说明2△DEF的理由.

15.(2022•黑龙江哈尔滨•八年级期末)如图，已知点£C在线段B尸上，BE=CF,AB//DE,ZACB=ZDFC,

⑴求证：AABC安△DEF；

⑵设AC与DE交于点G,当NB=50。，/P=70。时，求NAGD的度数.

16.（2021.河南洛阳・八年级期中）如图，在AABC中，。是边BC上的一点，AB=DB,BE平分NABC,交

AC边于点E,连接。E.

(2)若/A=100。，ZC=50°,求的度数.

17.（2022.贵州铜仁.八年级期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等

腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，连接QC.

（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）;

（2）试说明：0c与8E的位置关系.

18.(2022•湖南湘西•八年级期末)(1)如图1,已知：在AA8C中，ZBAC=90°,AB^AC,直线机经过点A,

80,直线机，CEL直线机，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线相上，并且有

ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意钝角，请问结论。E=B£)+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成

立，请说明理由.

专题01全等三角形性质与判定

聚焦考点

考点一全等图形识别考点二利用全等图形求正方形网格

中角度之和

考点三全等三角形的概念考点四全等三角形的性质

考点五用SSS证明三角形全等考点六用SAS证明三角形全等

考点七用ASA证明三角形全等考点八用AAS证明三角形全等

考点九用证明三角形全等

考点一全等图形识别

例题：（2022•湖北省直辖县级单位•八年级期末）下列说法正确的是（）

A.两个面积相等的图形一定是全等图形B.两个全等图形形状一定相同

C.两个周长相等的图形一定是全等图形D.两个正三角形一定是全等图形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全等图形的定义进行判断即可.

【详解】

解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；

B：两个全等图形形状一定相同，故2正确，符合题意；

C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；

D：两个正三角形不一定是全等图形，故。错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形''是本题的关键.

【变式训练】

1.（2021•山东•东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（）

【答案】。

【解析】

【详解】

解：4不是全等图形，故本选项不符合题意；

8、不是全等图形，故本选项不符合题意；

C、不是全等图形，故本选项不符合题意；

。、全等图形，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】

本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题

的关键.

2.（2022•河北沧州•八年级期末）以下四组图形中，与如下图形全等的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

认真观察图形，可以看出选项中只有2中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它

三个形状与题干中已给的图形不一致.

【详解】

解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、。中图形形状与题干中已给的图形不一致，故

不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转90。得到.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基

础题.

考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和

例题：（2021.全国.八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则/1+N

3-/2=（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】

首先利用SAS定理判定“BCgADBE,根据全等三角形的性质可得N3=/AC8,再由/

ACB+Z1=Z1+Z3=9O°,可得/1+/3-N2.

【详解】

:在AABC和△£)8E中

AB=BD

<ZA=ZD,

AC=ED

：.(SAS),

：.Z3=ZACB,

'：ZACB+Z1=90°,

.1.Zl+Z3=90°,

VZ2=45°

.,.Zl+Z3-Z2=90°-45°-45°,

故选艮

【点睛】

此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等.

【变式训练】

1.(2022・山东・济南市槐荫区教育教学研究中心二模)如图，在4x4的正方形网格中，求

a+P=_____度.

【答案】45

【解析】

【分析】

连接A3,根据正方形网格的特征即可求解.

二,图中是4x4的正方形网格

：.AD=CE,ZADB=ZAEC,DB=AE

：.^ADB^CEA(SAS)

：.ZEAC=ZABD=a,AB=AC

•/ZABD+ZBAD^90°

：.ZEAC+ABAD=90°,即Z.CAB=90°

ZACB=ZABC=45°

'：BD//CE

：./BCE=ZDBC=0

'：ZABC=ZABD+ZDBC=a+j3

：.a+尸=45°

故答案为：45.

【点睛】

本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三

角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征.

2.(2020•江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习)如图，由4个相同的小正方形组

【答案】135

【解析】

【分析】

首先利用全等三角形的判定和性质求出Z1+Z3的值，即可得出答案;

【详解】

如图所示，

在AACB和AOCE中，

'AB=DE

AC=DC

丛ACB=4DCE（S4S）,

，ZABE=Z3,

/.Z1+Z2+Z3=（Z1+Z3）+45°=90°+45°=135°；

故答案是：135。.

【点睛】

本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键.

考点三全等三角形的概念

例题：（2021•福建・福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②

全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相

等.其中正确的说法有（）

A.1个8.2个C.3个D4个

【答案】。

【解析】

【分析】

先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.

【详解】

①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；

②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；

③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；

④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；

故四个命题都正确，

故D为答案.

【点睛】

本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相

等、面积周长均相等.

【变式训练】

1.（2022•上海•七年级专题练习）如图，在AABC和△AEC中，已知ZA=ZA\

AC=A'C,那么△ABCgzXA'B'C'.

说理过程如下：

把AABC放到AA®。上，使点A与点4重合，由于=,所以可以使点B与

点9重合.又因为=,所以射线能落在射线上，这时因为

=，所以点与重合.这样AABC和AAEC重合，即“BC四

【答案】AB,A'B',ZA,N4,AC,A'C,AC=A'C,C,C

【解析】

【分析】

直接利用已知结合全等的定义得出答案.

【详解】

解：把AABC放到上，使点A与点4重合，由于所以可以使点B与点e

重合.又因为NA=/4,所以射线AC能落在射线AC上，这时因为AC=AC,所以点C与

C重合.这样ZkABC和重合，即AABC四△ABC.

故答案为：AB,A'B',NA,AC,A'C,AC=A'C,C,C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空.

考点四全等三角形的性质

例题：（2021.重庆大足•八年级期末）如图，AABC和△£＞印全等，且Z4=",AC对应OE.若

AC=6,BC=5,AB=4,则。尸的长为（

【答案】A

【解析】

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可.

【详解】

•.•△ABC和ADEF全等，ZA=ZD,AC对应OE

4ABe三ADFE

：.AB=DF=4

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指

两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步

推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及

面积相等③全等三角形有传递性.

【变式训练】

1.（2022•云南昆明•三模）如图，AABC^ADEF,若NA=80。,/F=30。，则B8的度数是

A.80°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

由AABC^ADEF根据全等三角形的性质可得NC=NF=30°,再利用三角形内角和进行

求解即可.

【详解】

AABC二ADEF,

.'.ZC=ZF,

•.•ZF=30°,

ZC=30°,

•.-ZA=80°,ZA+ZJB+ZC=180°,

ZB=1800-ZA-ZC=10°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

2.(2022・上海•七年级专题练习)如图所示，D,A,E在同一条直线上，BIUDE于D,CE

于E,且△42。之△CAE,AD=2cm,BD—4cm,求

⑴DE的长;

(2)/A4C的度数.

【答案】⑴DE=6cm；

(2)NBAC=90°

【解析】

【分析】

(1)根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据垂直的定义得到/。=90。，求得/。54+/54£>=90。，根据全等三角形的性质得

到/DBA=/CAE等量代换即可得到结论.

(1)

解：VAABD^ACA£,AD=2cm,BD=4cm,

,,.AE=BD=4cm,

DE=AD+AE=6cm.

⑵

•：BD1DE,

：.ZD=90°,

：.ZDBA+ZBAD=90°,

,/△ABD四△CAE,

NDBA=/CAE

：.ZBAD+ZCAE=90°,

：.ZBAC=90°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

考点五用SSS证明三角形全等

例题：(2022.河北・平泉市教育局教研室二模)如图，3。=及7,点E在2C上，且3E=AC,

DE=AB.

⑴求证：AABC'EDB；

(2)判断AC和2。的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)AC||8。，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)运用SSS证明即可；

(2)由(1)得ZDBE=NBCA,根据内错角相等，两直线平行可得结论.

(1)

在AABC和AEE©中，

BD=BC

<BE=AC,

DE=AB

：.AABCMAEDB(SSS)；

(2)

AC和2。的位置关系是AC||BD,理由如下：

AABCsA£DB

NDBE=NBCA,

/.AC\\BD.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关

犍.

【变式训练】

1.(2021•河南省实验中学七年级期中)如图，在线段上有两点E,F,在线段的异

侧有两点A，D,且满足AB=CD,AE=DF,CE=BF,连接AF；

(1)DB与NC相等吗？请说明理由.

⑵若N3=4O。，/DFC=20°,AP平分44E时，求NBA尸的度数.

【答案】(1)N3=NC,理由见解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)由“SSS'可证"£8名△。尸C,可得结论；

(2)由全等三角形的性质可得/AEB=/DFC=20。，可求/胡8=120。，由角平分线的性

质可求解.

(1)

解：ZB=ZC,

理由如下：

CE=BF

：.BE=CF

在AAEB和ADPC中

AB=CD

<AE=DF

BE=CF

AAEB心DFC(SSS)

：.NB=NC

⑵

解：*/VAEB^DFC

ZAEB=NDFC=26。

：.ZEAB=1800-ZB-ZAEB=120°

,：AF平分NfiAE

/.ZBAF=-ZBA£=60°

2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键.

2.(2022・山东济宁•八年级期末)如图，在四边形A3。中，于点3,CDLAD于

点、D,点、E,尸分别在A8,4。上，AE=AF,CE=CF.

(1)若AE=8,CD=6,求四边形AECE的面积；

(2)猜想/D48,ZECF,NOFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】⑴48

(2)ZDAB+ZECF=2ZDFC,证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连接AC,证明AACE^AACF,则S/ACE=S」AC/，根据三角形面积公式求得S/AC尸

与S^ACE,根据S^AECF=SAACF+SAACE求解即可；

(2)由AACEg/XACF可得/FC4=NECA,ZFAC=ZEAC,ZAFC=ZAEC,根据垂直

关系，以及三角形的外角性质可得ZDFC+ZBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC=Z

DAB+ZECF.可得Nr>AB+NECb=2NOPC

(1)

解：连接AC,如图，

AE^AF

SAACE和AACF中-CE=CF

AC=AC

：.AACE^AACFCSSS).

：.SAACE=SAACF,ZFAC=ZEAC.

•：CB±AB,CDLAD,

：.CD=CB=6.

：.SAACF^SAACE^；AECB=；x8x6=24.

...S基形AECF=SAACF+SAACE=24+24=48.

(2)

ZDAB+ZECF=2ZDFC

证明：AACE^AACF,

J.ZFCA^ZECA,ZFAC^ZEAC,ZAFC^ZAEC.

•.•/OFC与NAbC互补，NBEC与/AEC互补，

：.ZDFC=ZBEC.

'：ZDFC=ZFCA+ZFAC,ZBEC=ZECA+ZEAC,

：.ZDFC+ZBEC=ZFCA+ZFAC+ZECA+ZEAC

=ZDAB+ZECF.

：.ZDAB+ZECF=2ZDFC

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定

是解题的关键.

考点六用SAS证明三角形全等

例题：（2022•福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点。是线段的中点，OD〃BC且

OD=BC.求证：AAOD^AOBC.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据线段中点的定义得到40=30,根据平行线的性质得到NA0D=/03C,根据全等三

角形的判定定理即可得到结论.

【详解】

证明：••,点。是线段的中点，

AO^BO,

•：OD//BC,

：.ZAOD=ZOBC,

在△A0D与AOBC中，

AO=BO

<ZAOD=ZOBC,

0D=BC

^AOD^^OBC(SAS).

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022•云南普洱•二模)如图，AABC和分别在线段AE的两侧，点C,。在线段AE

上，AC=DE,AB//EF,=求证：BC=FD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用AB〃£F,得到ZA=NE,再用AC=£>E,AB=EF,得到AABCg△*£>(SAS),然

后用三角形全等的性质得到结论即可.

【详解】

证明：-.-AB//EF,

:.ZA=ZE,

在AABC和/XEFD中

AC=DE

<ZA=ZE,

AB=EF

..△ABC/AEFD(SAS),

:.BC=FD.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键.

2.(2022•四川省南充市白塔中学八年级阶段练习)如图，点8、C、E、F共线，AB=DC,

ZB=ZC,BF=CE.

求证：&ABE乌4DCF.

AB

【答案】证明见解析；

【解析】

【分析】

根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边''或"SAS”）；即可证明;

【详解】

证明：：点8、C、E、尸共线，BF=CE,

：.BF+EF=CE+EF,

：.BE=CF,

△ABE和△£）（7尸中：BA=CD,ZABE=ZDCF,BE=CF,

:.△ABE/4DCF（SAS）；

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键.

考点七用ASA证明三角形全等

例题：（2022.上海•七年级专题练习）已知：如图，AB1BD,EDLBD,C是8。上的一点,

ACLCE,AB=CD,求证：BC=DE.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等.

【详解】

证明：-：AB±BD,EDLBD,AC_LCE（己知）

/.ZACE=ZB=ZD=90°（垂直的意义）

VZBCA+Z£>CE+ZACE=180°（平角的意义）

ZAC£=90°（已证）

ZBCA+ZDCE=90°(等式性质)

VZBCA+ZA+ZB^180°(三角形内角和等于180°)

ZB=90°(已证)

：.ZBCA+ZA=9O°(等式性质)

：.ZDCE^ZA(同角的余角相等)

在△ABC和△CUE中，

ZA=ZDCE

，AB=CD,

NB=ND

：./\ABC^ACDE(ASA)

：.BC=DE(全等三角形对应边相等)

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022・广西百色・二模)如图，在AABC和AOCB中，ZA=ZD,AC和。B相交于点O,

OA=OD.

(1)AB=DC；

(2)AABC会ADCB.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)证明△AB。gAOCO(ASA),即可得到结论；

(2)由AABO四△〃(%»,得至!!O3=OC,又0A=。。，得到8O=AC,又由=即

可证得结论.

(1)

证明：在及48。与AOCO中，

'ZA=ZD

<OA=OD,

ZAOB=ZDOC

：.^ABO^ADCO(ASA)

：.AB=DC；

(2)

证明：V^ABO^^DCO,

：.OB=OC,

•：OA=OD,

：.OB+OD=OC+OA,

：.BD^AC,

在AABC与△£>CB中，

AC=BD

<ZA=ZD,

AB=DC

:.KABC9&DCB(SAS).

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的

关键.

2.(2022・贵州遵义・八年级期末)如图，已知ZACB=ZD,AC=DE.

⑴求证：“WC三AEAD.

⑵若NBCE=60。，求ZB4O的度数.

【答案】(1)见解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)利用平行线的性质得=禾烟“角边角”即可证明JLBC三/AD；

(2)由邻补角的定义求出NACB=180。-N3CE=120。，进而得到/。=120。，再利用两直

线平行同旁内角互补求出NSW.

由两直线平行得

(1)

证明：

:.ZCAB=ZE,

在AABC和AE4£)中，

ZCAB=ZE

<AC=DE,

ZACB=ZD

:.^ABC=i£AD.

(2)

解：•.•ZBCE=60°,ZACB+ZBCE=180°,

ZACB=180°-ZBCE=120°,

:.ZD=ZACB=nO°,

■.■AB\\DE,

:.ZD+ZBAD=180°,

ABAD=180°-Zr>=180°-120°=60°.

【点睛】

本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质

是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直

线平行，同旁内角互补.

考点八用AAS证明三角形全等

例题：(2022・上海•七年级专题练习)如图，已知BE与C。相交于点O,且8O=C。，ZADC

=/AEB,那么ABDO与ACEO全等吗？为什么？

【答案】△BDO"ACEO(AA5)；原因见解析

【解析】

【分析】

根据A4S证明4BD0与△CEO全等即可.

【详解】

解：XBDO与2CEO全等;

•：ZBDO=1SO°-ZADC,ZCEO=180°-NAEB,

又：ZADC^ZAEB,

：.ZBDO=ZCEO,

ZBDO=ZCEO

,：在ABDO与ACEO中，<ZBOD=ZCOE,

BO=CO

:ABDO空ACEO(A4S).

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,

AAS.HL.注意：AA4、S&4不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

【变式训练】

1.（2022.福建省福州第一中学模拟预测）如图，己知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,

ZABE=ZCDF,AF=CE.求证：AB=CD.

BC

【答案】见详解

【解析】

【分析】

根据全等三角形证明△ABE0ACDE再根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】

证明：'：AB//CD,

二ZACD=ZCAB,

'：AF=CE,

：.AF+EF^CE+EF,

即AE=FC,

在△ABE和△CDF中，

ZACD=ZCAB

<ZABE=ZCDF

AE=CF

MABEACDF（AAS）.

：.AB=CD.

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角

形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些.

2.（2022・全国•九年级专题练习）如图，。是AABC的边A8上一点，CF//AB,DF交AC于E

点，DE=EF.

⑴求证：AADE咨ACFE；

(2)若A8=5,CT=4,求3D的长

【答案】（1）证明见解析

(2)BD=1

【解析】

【分析】

(1)利用角角边定理判定即可；

(2)利用全等三角形对应边相等可得的长，用A8-AQ即可得出结论.

(1)

证明：\-CF//AB,

：.ZADF=ZF,ZA=ZECF.

在垃4。£和ACTE中，

ZA=ZECF

«NADE=NF,

DE=FE

:.AADE咨ACFE(AAS).

(2)

•?AADE^ACFE,

；.A£)=b=4.

：.BD=AB-AD=5-4=1.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键.

考点九用成证明三角形全等

例题：(2022•四川省南充市白塔中学八年级阶段练习)如图，AB=CD,AELBC于E,DF1.

BC于F,且BF=CE.

⑴求证AE=DF；

⑵判定AB和CD的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)AB//CD,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)只需要利用HL证明RdABE丝RSDCF即可证明结论；

(2)根据放AABE之RfADCF即可得到乙B=NC,即可证明AB〃CD.

(1)

解：'：BF=CE,

：.BF-EF=CE-EF,即BE=CF,

'：AE±BC,DFLBC,

：.ZAEB=ZDFC=90°,

又，；AB=DC,

:.RtbABEQRmDCF(HL),

：.AE=DF；

(2)

解：AB//CD,理由如下：

Rt^.ABE=Rth,DCF,

：.ZB=ZC,

：.AB//CD.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条

件是解题的关键.

【变式训练】

1.(2022.安徽安庆.八年级期末)如图，AD,相交于点。，AD=BC,ZC=ZD=90°.

(1)求证：^ACB^ABDA；

⑵若NC4B=54。，求NCA。的度数.

【答案】(1)见解析

(2)18°

【解析】

【分析】

(1)根据HL证明RtAABC出RMBAD；

(2)先求出NABC的度数，即可利用全等三角形的性质求出/BAO的度数，由此即可得到

答案.

(1)

证明：VZD=ZC=90°,

AABC和XBAD都是直角三角形，

在R/A4BC和中，

jBC=AD

[AB=BA'

:.RtAABgR於BAD(HL)；

(2)

解：在RdABC中，ZCAB=54°,ZACB=90°,

：.ZABC=36°,

■:Rt4ABeQRtABAD,

NABC=NBAO=36°,

：.ZCAO=Z.CAB-ZBAD=54°-36°=18°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的

性质与判定条件是解题的关键.

2.(2022.江西•永丰县恩江中学八年级阶段练习)如图，在AABC中，BC=AB,ZABC=90°,

F为AB延长线上一点，点E在BC上，1.AE=CF.

⑴求证：R3ABE义M&CBF；

⑵若NC4B=30。，求乙4cp的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)60°

【解析】

【分析】

(1)由“HL”可证Rt4ABE”Rt4CBF；

(2)AB=CB,乙48c=90。，即可求得NCAB与NACB的度数，即可得NBAE的度数，又

由RtAABE咨RtACBF,即可求得的度数，则由NACF=/BCF+NACB即可求得答案.

(1)

ZABC=90°,

：.ZCBF=ZABE=90°,

在Rt^ABE和Rt^CBF中,

{AE=CF

[AB=BC

:・Rt4ABE"RtxCBF(HL)；

(2)

9：AB=BC,ZABC=90°,

：.ZCAB=ZACB=45°,

：.ZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-30°=15%

•；RtAABEmRtACBF,

：.ZBCF=ZBAE=15°f

：.ZACF=ZBCF+ZACB=15°+45°=60°

【点睛】

此题考查了直角三角形全等的判定与性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

j课后训练j

一、选择题

1.（2022•河北石家庄.八年级期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）

A.3组B.4组C.5组D6组

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全等图形的定义进行判断即可.

【详解】

解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4

组，

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大.

2.（2022•辽宁大连•八年级期末）如图，△49C之△003,A0=3,则下列线段长度正确的

C.DB=3D.DO=3

【答案】。

【解析】

【分析】

根据全等三角形的对应边相等，即可求解.

【详解】

解：•.,△AOC丝△QOB,40=3,

：.D0=A0=3.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题

的关键.

3.（2022・吉林长春•八年级期末）如图，点8、F、C、E在一条直线上，ZA=ZD=9Q°,

AB=DE,添加下列选项中的条件，能用乩判定/的是（）

A.AC=DFB.ZB=ZEC.ZACB=ZDFED.BC=EF

【答案】D

【解析】

【分析】

根据判定定理即可得.

【详解】

解：A、添力口AC=D尸，需用&4s定理判定AABC=ADE/"则此项不符题意;

B、添力口=需用AS4定理判定则此项不符题意;

C、添加NACB=NDEE,需用A4s定理判定“BC=ADEF,则此项不符题意；

D、添加8C=£F,能用HL定理判定AA5C三DEf，则此项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握加判定定理是解题关键.

4.（2022•重庆长寿•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，AD〃BC,点/是AO的中点,

且若4。=4,AB=6,BC=8,则四边形ABCD的周长为（）

A.24B.26C.27D.28

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断之△DMC,从而得出AB=DC,然后代入数据即可求出梯形ABC。的周长.

【详解】

•.,点M是AD的中点，

：.MA=MD,

'：AD//BC,

：.ZAMB=ZMBC,ZDMC=ZMCB,

又

ZMBC=ZMCB,

：.NAMB=NDMC,

在AAMB和△DWC中，

'AM=DM

•：\ZAMB=ZDMC

MB=MC

:.AAMBqADMC(SAS),

：.AB=DC,

四边形ABCD的周长=A2+8C+CD+AZ)=6+6+8+4=24.

故答案为：A.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断之△OMC,得出42=

DC.

5.(2022・湖北随州•八年级期末)如图，AABC中，P为AB上一点，。为BC延长线上一点，

且PA=CQ,过点P作PMLAC于点M,过点。作QNLAC交AC的延长线于点N,且

PM=QN,连接P。交AC边于点D,则以下结论：®PD=DQ-②AB=BC；③AABC为

等边三角形；④。M=gac.其中正确的结论是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

由A4s可证APOM名△QDN,可得PO=D。，进而判断①正确；由“乩”可证放44PM丝

RmCQN,求出NA=NACB,得到AB=BC,进而判断②正确；根据全等三角形的性质求出

MD=DN=CD+CN=CD+AM,可判断④正确；根据题中条件无法得出AABC为等边三角

形，故③错误.

【详解】

解：-JPMLAC,QN±AC,

：.NPMD=NQND=90°,

又<NPDM=NQDN,PM=QN,

：.APDM沿AQDN(A4S),

：.PD=DQ,故①正确；

,：PA.=CQ,PM=QN,且尸M_LAC,QN±AC,

：.ZAMP=ZCNQ=90°,

:.RgAPM/RmCQN(HL)

：.ZA=ZQCN,

'：ZACB=ZQCN,

ZA^ZACB,

：.AB=BC,即②正确；

V^PDM^/\QDN,Rt^APM^Rt^CQN,

:.MD=DN,AM=CN,

MD=CD+CN=CD+AM,

：.DM^^AC,故④正确；

根据题中条件无法得出AABC为等边三角形，故③错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键.

二、填空题

6.（2022.黑龙江佳木斯•八年级期末）如图，点。在A8上，点E在AC上，AB=AC,添

加一个条件,使△ABE/△ACD（填一个即可）.

【答案】AE=AD（CE=BDZAEB=Z