北京中考数学复习训练：一元二次方程 专项练习（含答案）

专题9一元二次方程2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专

用）

一'单选题

1.（2021九上•朝阳期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共

握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（）

1

A.之久（久一1）=1。B.-1）=10

1一

C.+1）=10D.2x（%—1）=10

2.（2021九上•大兴期末）小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小

2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这

三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（）

A.（%+2）（%-1）=130B.（%-2）（%+1）=130

C.%（%-2）=130D.穴久+1）=130

3.（2021九上.北京市月考）下列叙述正确的是（）

A.形如a/+法+c=0的方程叫一元二次方程

B.方程4/+3%=4不含有常数项

C.一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0

D.（3—y）2=0是关于y的一元二次方程

4.（2021九上•燕山期末）在等式①/+久=1；03+2=5；③1+1=0；⑤%+

y-1；⑤久+3=2x中，符合一元二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.④D.①④

5.（2021九上•朝阳期末）若关于x的一元二次方程（a-I）%2+a2x-a=0有一个根是

x=1,则a的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

6.（2021九上•东城期末）一元二次方程2/+无一5=0的二次项系数、一次项系数、

常数项分别是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,

5

7.（2021九上•西城期末）将一元二次方程/一8%+10=0通过配方转化为（久+a）2=b

的形式，下列结果中正确的是()

A.(%—4)2—6B.(久一8)2=6C.(%—4)2=—6D.(%—

8)2=54

8.(2021九上东城期末)用配方法解方程x2+4x=l,变形后结果正确的是()

A.(x+2)2=5B.(x+2)2=2C.(x-2)2=5D.(x-2)2

=2

9.(2021九上•海淀期末)把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较

短一段的长与原绳长的积.设较长一段的长为xm,依题意，可列方程为()

A.%2=2(2—x)B.%2=2(2+x)C.(2—%)2=2xD.x2=

2-x

10.(2021九上•丰台期末)若关于x的一元二次方程(m-l)x2+x+m2-1-0有一

个解为x=0，那么m的值是()

A.-1B.0C.1D.1或-1

二、填空题

11.(2021九上•燕山期末)下面是用配方法解关于x的一元二次方程3/+%—2=0的

具体过程，

3久2+2%—1=0

解：第一步：—^=0

第二步：%2+1%

第三步：x2+jx+(1)=|+(1)

第四步：(X+x+g£2=—1

以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常

数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程

的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1,方程两边都除以二次项系

数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是.

12.(2022九下•北京市开学考)关于x的一元二次方程(巾+1)/+(2m+l)x+m-

1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是.

13.(2022•通州模拟)如果关于x的方程/+6%+m=0有两个相等的实数根，那么m

的值是，方程的根是

14.（2021九上•西城期末）关于x的一元二次方程为2+血支+4=0有一个根为1,则m

的值为.

15.（2022九上,海淀期中）若关于x的一元二次方程/+久+上=0有两个相等的实数

根，则k的值为.

16.（2021九上冻城期末）若关于x的一元二次方程x2—2x+m=0有一个根为1,则

m的值为.

17.（2021九上•东城期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘

扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据了解，某展览中心3月份的参观人数为10

万人，5月份的参观人数增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为x,则可列方

程为.

18.（2021九上•北京市月考）已知m是关于x的方程x2-3x-4=0的一个根，贝13m2

-9m-2=.

19.（2022九上•海淀期中）若1是关于x的方程/一。久=0的根，则a的值

为.

20.（2022九上,海淀期中）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，

宽为18米.停车场内车道的宽都相等.停车位总占地面积为288平方米.设车道的宽

为x米，可列方程为.

三'计算题

21.（2021九上•海淀期末）解方程：X2-6%+8=0

22.（2021九上•西城期末）解方程：x2-2x-2=0.

23.（2021九上•朝阳期末）解方程：2/一9久+10=0.

24.（2022•海淀模拟）关于x的方程/一（26+1）%+m2-0有两个不相等的实数根.

（1）求m的取值范围；

（2）当m取最小的整数时，求此时的方程的根.

四'综合题

25.（2021九上•丰台期末）已知关于x的一元二次方程3k久+2/=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若k>0,且该方程的两个实数根的差为1,求k的值.

26.（2021九上•东城期末）已知关于x的一元二次方程/一（k+4）x+4k=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程有一个根小于2,求k的取值范围.

27.(2021九上•北京市月考)随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国

各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公

共充电桩的数量为2.88万个.

(1)求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；

(2)按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？

28.(2021八上•燕山期末)阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以把多项式为2+bx+C变形为(x+巾)2+n的形式.例如，

%2-4%+3=%2-4%+4-4+3=(%-2)2-1.

观察上式可以发现，当久-2取任意一对互为相反数的值时，多项式%2一以+3的值

是相等的.例如，当无一2=±1,即比=3或1时，/一4久+3的值均为0；当为一2=

±2,即x=4或0时，/一4%+3的值均为3.

我们给出如下定义：

对于关于x的多项式，若当％+加取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相

等，则称该多项式关于％=-血对称，称为=-血是它的对称轴.例如，久2一轨+3关于

x=2对称，％=2是它的对称轴.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)将多项式炉一6%+5变形为(％+m)2+n的形式，并求出它的对称轴；

(2)若关于久的多项式/+2a久一1关于x=-5对称，贝!]a=；

(3)代数式(/+2%+1)(%2-8%+16)的对称轴是％=.

29.(2022八下•门头沟期末)已知关于x的一元二次方程久2一位+36=0有两个不相等

的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m取正整数时，求此时方程的根.

30.用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中EF//4D//BC,设窗框的高

度为力D=久米.

（1）设窗框宽度4B为y米，贝的=米（用含X的代数式表示）；

（2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米

（铝合金条的宽度忽略不计）

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x-1)次，

并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：

0^=10，

故答案为：A.

【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为。-1)次，可得共握手

当也次，根据共握手的次数列出方程即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为(久-2)岁，小刚的年龄为

(%+1)岁，

根据题意即可列方程：(%—2)(%+1)=130.

故答案为：B.

【分析】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为(x-2)岁，小刚的年龄为(％+1)岁，

再根据“小亮与小刚的年龄的乘积是130”列出方程(久-2)(久+1)=130即可。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A.形如a/+b%+c=O(aHO)的方程叫一元二次方程，故A

不符合题意；

B.方程4/+3久=4的一般形式是4/+3x—4=0,常数项是—4,故B不符合题

思；

C.一元二次方程中，二次项系数不能为0,一次项系数及常数项可以为0,故C不符

合题意；

D.(3—y)2=0是关于y的一元二次方程，故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据一元二次方程的定义及相关的量对每个选项一一判断即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：@x2+x=l,是一元二次方程，符合题意；

03+2=5,不是方程，不符合题意；

③]+1=0,不是整式方程，不符合题意；

⑤%+y=l,是二元一次方程，不符合题意；

⑤%+3=2%,是一元一次方程，不符合题意

故符合一元二次方程概念的是①

故答案为：B

【分析】根据一元二次方程的定义以及相关材料判断即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：,・・关于x的一元二次方程(a-l)x2+a2x-a=0有一个根是、=

1

•••CL—1+Cl2-d=0

解得a=±1

一元二次方程(a—l)x2+a2x-a=0

Gt—1H0

二aH1

a=—1

故答案为：A.

【分析】将x=1代入方程求出a值，再根据一元二次方程的定义可得a-1力0,从而

确定a值.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•一元二次方程2x2+x-5=0,

•••二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5,

故答案为：B.

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：—8久+10=0,

♦•/—Qx——10,

Ax2-8%+16=-10+16,即（X—4）2=6,

故答案为：A.

【分析】利用配方法减一元二次方程即可得出答案。

8.【答案】A

【解析】【解答】解：x2+4x=l

%2+4%+4=1+4

即（久+2）2=5

故答案为：A

【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。

9.【答案】A

【解析】【解答】解：设较长一段的长为xm,则较短一段的长为（2-x）m,

由题意得：X2=2（2-%）.

故答案为：A.

【分析】根据题意，设较长一段的长为xm,则较短一段的长为（2-x）m,由此列出

方程。

10.【答案】A

【解析】【解答】解：•••关于x的一元二次方程（m-l）x2+x+m2-l=。有一个解为

x=0,

•'•m2—1=0,m—10

m——1

故答案为：A

【分析】将x=0代入O-I）%2+x+m2-1=0可得m2一1=0,加一1。0,再求出

m的值即可。

1L【答案】④①③②

【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1,方程两

边都除以二次项系数；

第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平

方；

第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；

故答案为：④①③②.

【分析】利用配方法解一元二次方程即可。

12.【答案】加〉一%且m,-l

【解析】【解答】解：由题意知△=(2m+I)2-4x(m+1)x(m—1)>0,且TH+

1W0

解得：m>—,且租W-1

故答案为：租>—辛且mr-l.

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组求解即可。

13.【答案】9；-3

【解析】【解答】解：,・・关于x的方程/+6%+租=0有两个相等的实数根，

可得：A=b2-4ac=0,

即：36-4m=0,

解得：m=9,

则原方程为：%2+6%+9=0,

・♦.(%+3)2=0,

%]—%2=3，

故答案为：m=9,方程的根为-3.

【分析】利用一元二次方程根的判别式可得/=b2-4ac=0即36-4m=0,求出

m=9,所以方程为/+6久+9=0,再求出x的值即可。

14.【答案】-5

【解析】【解答】解：•.•关于x的一元二次方程/+血光+4=0的一个根是1,

l2+m+4=0,

解得：m=-5.

故答案是：-5.

【分析】根据关于x的一元二次方程%2+租％+4=0的一个根是1,即可得出答案。

15.【答案】1

【解析】【解答】:•关于x的一元二次方程/+x+k=0有两个相等的实数根，

二方程的判别式：/=M—4xlxk=0,

.,1

故答案为：

【分析】利用一元二次方程根的判别式求出A=l2-4xlx/c=0,再求解即可。

16.【答案】1

【解析】【解答】解：•.•关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1,

/.l-2+m=0,

解得m=l,

故答案为：1.

【分析】将x=l代入方程x2—2x+m=0求解即可。

17.【答案】10(1+%)2=12.1

【解析】【解答】解：根据题意设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为10(1+

%)2=12.1

故答案为：10(1+%)2=12.1

【分析】根据“当月参观人数=前一个月参观人数又(1+增长率)”列出方程10(1+

%)2=12.1即可。

18.【答案】10

【解析】【解答】解：是关于x的方程x2-3x-4=0的一个根，

/.m2-3m-4=0,

/.m2-3m=4,

/•3m2-9m-2=3(m2-3m)-2=3x4-2=10.

故答案是：10.

【分析】先求出m2-3m-4=0,再求出rtf-3m=4,最后代入计算求解即可。

19.【答案】1

【解析】【解答】解：把1代入方程得乎-a=0,

a=1

故答案为：1.

【分析】根据题意先求出12—Q=0,再求解即可。

20.【答案】(18-x)(30-x)=288

【解析】解:依题意得(18-x)(30-x)=288,

故答案为：(18-x)(30-x)=288

【分析】根据所给的图形求出(18-x)(30-x)=288,即可作答。

21.【答案】解：x2-6%+8=0

(X—4)(X—2)=0

x—4=0或x—2=0

/.xi=4,X2=2

【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。

22.【答案】解：%2-2%-2=0

%2—2x+l—1-2=0

%2—2%+1=3

(%—I)2=3

x=1±V3

**•原方程的解为％1=1+V3,牝=1—V3

【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可。

23.【答案】解：2/一9%+10=0,

(2%—5)(%—2)=0,

2%—5=0或%—2=0,

解得：利=?或久2=2.

【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。

24.【答案】(1)解：,•关于x的方程久2一(26+1)%+62=。有两个不相等的实数

根.

・••其根的判别式4=（2m+I）2-4m2=4m+1>0.

••m>一五；

（2）解：•••加>—5且m为最小的整数，

/.m=0.

此时方程为%2—%=0.

.•・方程的根为%1=0,%2=1・

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；

（2）将m=0代入方程，再求解即可。

25.【答案】（1）证明：%2—3kx+2k2=0

a=1,b=—3k,c=2k2

A=b2—4ac=9k2—8k2=k2

•・,k2>0

4>0

・•,该方程总有两个实数根

（2）解：x2—3kx+2k2=0

bc7

%1%2=19%1+%2=~3k，.%2=—2k

2

又•・•（%i-x2y=（%i+%2）-4%I%2

・•・9k2-8k2=1

・••k=±1

v/c>0

k=1

【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得为1—%2=1，K1+%2=—\=3匕%1-

2

%2-=2k2,再列出方程-X2）=（%1+久2）2-4%1%2求解即可。

26.【答案】（1）证明：・.”2—（k+4）x+4k=0,

.*.A=[-（fc+4）]2—4x4k=卜2-8k+16=（k—4）220,

..•方程总有两个实数根.

(2)解：Vx2-(fc+4)x+4/c=0,

(x—4)(%—fc)=0,

解得：久1=4,久2=k,

•••该方程有一个根小于2,

：.k<2.

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式求解即可；

(2)先利用因式分解法求出一元二次方程，再根据“该方程有一个根小于2”，即可得

到k<2。

27.【答案】(1)解：设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x,

依题意得:2(1+x)2=2.88,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意,舍去).

答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%.

(2)解：2.88x20%=0.576(万个).

答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩.

【解析】【分析】(