人教版四年级上册数学思维训练讲义-第九讲几何计数（含答案）

第九讲几何计数解析几何的产生第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。第二部分：奥数小练【例题1】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。以上各线段长度的总和为L，那么L=a1×(n－1)×1+a2×(n－2)×2+a3×(n－3)×3+…+a(n－1)×1×(n－1)。练习1：1.一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）【例题2】数出下面图中有多少条线段。【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。练习2：1.数出下列图中有多少条线段。

2.如图，线段AB＝5cm，点C、D、E在AB上，且AC＝BE＝1cm，求出图中所有线段的长度和．(先弄清楚共有几条线段，为防止遗漏或重复计数，经常采用按线段连结的数量进行计数，或用线段的一个端点为起点并按一个方向进行计数)3.如图，在线段AB上任取D、C、E三个点，那么这个图中共有几条线段？【例题3】一条直线上有6个点,求几条线段,几条直线,几条射线?【思路导航】假设这6个点依次是A、B、C、D、E、F

有15条线段：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF

有1条直线：AF

有2条射线：端点分别是A和F练习3：1.10个点可以连成几条线段？2.直线过100个点可以画几条线段？3.一个五角星有几条线段？【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。练习4：1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？第三部分：数学史话中国古代数学在几何学中的贡献中国古代数学在几何学中的贡献中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国．在绵延不断的五千年文明史中，中华民族集累了极其丰富的文化遗产．在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠．它在世界数学史上，乃至在整个人类文明发展史上都光彩夺目，具有极其重要的地位和价值．中国古代的数学成就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲．几何是一门古老的学科，它是在人们的生产和生活等实践活动中逐步形成和发展起来的．“几何”是一个翻译名词，由我国明代科学家徐光启首先使用．但是我国古代劳动人民在长期的生产劳动和社会生活中早已积累了大量的几何知识，其成就是十分突出的，如流传至今的《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》等自然科学和数学著作，都记载下了很多几何方面的知识．(1)《墨经》(公元前480年～公元前390年)中，已经出现了最早的几何学理论的雏形．把“圆”定义为“圆，一中同长也”．意思是：圆有而且仅有一个中心，从圆心到圆周上任何一点距离相等．这与欧氏的提法基本一致，但比欧氏要早100多年．(2)《周髀算经》(公元前100年前后)中，记载了勾股定理和开平方法，并用于天文观测和计算．(3)《九章算术》(公元50年～100年或更早)，历代数学家把它尊为“算经之首”．它的计算技术在当时的世界是第一流的，对古代的几何学知识也作了比较系统的总结和阐发，它的成就主要表现在对各种平面图形的面积计算，对各种立体图形的体积计算，以及对勾股形的形容和应用这几个方面．参考答案：练习1：1.(21-1)×4+(21-2)×8+(21-3)×12+.+(21-20)×80=4×(20×1+19×2+18×3+.+1×20)=6160

cm2.34米3.122厘米练习2：1.102.因为相邻两点所连的线段长度之和为5cm，间隔一个点的线段长度之和为5＋CE＝8cm，间隔两个点的线段长度之和为4＋4＝8cm，间隔三个点的线段只有AB，其长度为5cm，所以所有线段的长度之和为26cm，也可以把所有线段写出来，将线段的长度代入，长度不定的线段可以拼成长度一定的线段．3.解：以A为起点的线段有AC、AD、AE、AB四条.以D为起点的线段且与前不重复的有DE、DC、DB三条.以E为起点的线段且与前不重复的有EC、EB二条.以C为起点的线段并且与前不重复的有BC一条.因此图中共有4+3+2+1=10条线段.

提示：只要有一个端点不相同，就是不同的线段.练习3：1.每两个点都可以连一条线段,共有45条线段2.如果学过排列组合就可以直接求解。两点就可以画一条线段。所以在100个点中随便选取两个点的选法个数就是结果。即100选2……C(100，2)=4950

另外可以通过找规律来进行解答。

经过2点……1条

经过3点……3条=1+2

经过4点……6条=1+2+3

经过5点……10条=1+2+3+4

经过6点……15条=1+2+3+4+5

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..

由此可得规律

经过n点可以画线段1+2+3+……