分式（讲义）（原卷版）-2024年中考数学一轮复习

第03讲分式

目录

考点三分式的运算

一、考情分析题型01分式的加减法

二、知识建构题型02分式的乘除法

考点一分式的相关概念题型03分式的混合运算

题型01分式的判断题型04分式的化简求值

题型02利用分式有无意义的条件，求未题型05零指数幕

知数的值或取值范围题型06分式运算的八种技巧

题型03利用分式值为正、负数或0的条技巧一约分计算法

件，求未知数的值或取值范围技巧二整体通分法

题型04约分与最简公式技巧三换元通分法

题型05最简公分母技巧四顺次相加法

考点二分式的基本性质技巧五裂项相消法

题型01利用分式的基本性质进行变形技巧六消元法

题型02利用分式的基本性质判断分式技巧七倒数求值法

值的变化技巧八整体代入法

题型03利用分式的符号法则，将分式恒

等变形

考点要求新课标要求命题预测

在中考，主要考查分

分式的相关概念>理解分式和最简分式的概念.

式的意义和分式值为零

情况，常以选择题、填空

分式的基本性质>能利用分式的基本性质进行约分与通分.题为主；分式的基本性质

和分式的运算考查常以

选择题、填空题、解答

分式的运算>能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.

题的形式命题.

考点一分式的相关概念

f夯基•必备基础知识梳理__________

分式的概念：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子g叫做分式，A为分子，B为分母.

对于分式3来说：①当BWO时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.

②当A=0且BWO这两个条件同时满足时，分式值为0.

③当A=B时，分式的值为1.当A+B=O时，分式的值为-1.

④若9>0，则A、B同号；若，〈。，则A、B异号.

约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.

通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.

约分与通分的联系与区别：

联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.

区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.

2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次鼎的积作为公分母，这样的

分母叫做最简公分母.

确定最简公分母的方法：

类型方法步骤

1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

分母为单项式

2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

1）对每个分母因式分解；

分母为多项式2）找出每个出现的因式的最高次累，它们的积为最简公分母；

3）若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

1.判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简

后再判断，例如：”就是分式.

a

2.分式的值为0,必须保证分母W0,否则分式无意义.

3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式,约分要彻底，使分子、

分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.

4.约分与通分都是根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几

个分式的最简公分母.

.提升-必考题型归纳

题型01分式的判断

【例1】（2。22•湖南怀化•中考真题）代数式|x，i,岛,X-|-%*中，属于分式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-1］（2。22•上海•上外附中校考模拟预测）下列各式中：半，手,婴,思万，子，，+押,

是分式的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-2］（2021•四川遂宁•中考真题）下列说法正确的是（）

A.角平分线上的点到角两边的距离相等

B.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.在代数式\2x,985,-+2b,"y中，。2b是分式

aJia3aTta

D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3,则这组数据的中位数是4

判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如:

4a

一就是分式，而不是整式.

a

题型02利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围

【例2】（2023•江苏镇江•中考真题）使分式会有意义的x的取值范围是.

【变式2-1］（2022•黑龙江哈尔滨•中考真题）在函数y=羔中，自变量x的取值范围是.

【变式2-2］（2023•河南南阳•校联考三模）若代数式上无意义，则实数x的值是—.

【变式2-3］（2023•山东临沂•一模）要使分式交二无意义，则x的取值范围是______.

X+1

【变式2-4］（2023•湖北恩施•一模）函数y=旦的自变量x的取值范围是（）

Jx-3

A.xH3B.x>3C.xZ—1且xW3D.x>—1

方法技巧

1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.

2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.

题型03利用分式值为或负数或0的条件，求东知数的值或取值范围

【例3】（2023•浙江湖州•中考真题）若分式目的值为0,则x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

2

【变式3-1］（2023•四川凉山•中考真题）分式0的值为0,贝收的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

|m|-4

【变式3-2］（2023•河北廊坊•校考三模）若分式•=0,则（）

m2-16

A.m=4B.m=—4

C.m=±4D.不存在m,使得黑=。

【变式3-3］（2021•江苏扬州•中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为。的是（）

A.x+1B.x2-1。击D.(x+I)2

【变式3-4］（202!南充市一模）若分式律的值是负数，则x的取值范围是（）

.、3

A.x>-Bx>C.x<|D.x智

2-l

【变式3-5】分式出的值为负数的条件是（）

A.x<3B.x>0且xW1

C.x<1且xH0D.0<x<3,且xW1

【变式3-6】若分式合的值大于零，则x的取值范围是

（X-

【变式3-71下列关于分式的判断，正确的是（)

A.当x=2时，=的值为零B.当X为任意实数时，岛的值总为正数

x-2

C.无论X为何值，三不可能得整数值D.当x力3时，泞有意义

X+1

方法技巧

1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0,这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.

2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.

3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号.

题型04约分与最简分式

【例4】（2023•甘肃兰州•中考真题）计算：贮二更=（）

a-5

A.a-5B.a+5C.5D.a

【变式4-1］（2022•贵州铜仁•中考真题）下列计算错误的是（

2-3

A.I-21=2B.a-ac.老二=a+1D.(a2)3=a3

11aa-1

【变式4-2］（2023•河北保定•模拟预测）如图，若x为正整数,则表示分式M的值落在（)

①②③④

,―一、〜,-—

/，、、//、、//、、//、、

卜WWWNA

-10123

A.段①处B.段②处C.段③处D.段④处

【变式4-3］（2023•安徽•中考真题）先化简，再求值：士上，其中x=/-1.

x+1

【变式4-4］（2021•河北•模拟预测）下列分式属于最简分式的是（）

A.塔B."C.史叱D,立史

5x2y-xx+yx+3y

方法技巧

分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.

确定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母类型具体方法

单项式1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幕.

多项式先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式

题型05最简公分母

【例5】（2021•河北唐山•一模）要把分式心;与左券通分，分式的最简公分母是（）

2a2babzc

A.2a2b2cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【变式5-1］（2021•内蒙古•二模）分式右，生的最简公分母是______,士+』=_________

—az+laz+a—az+laz+a

考点二分式的基本性质

夯基•必备基础能识

AA«C

分式的基本性质:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于°的整式'分式的值不变.即:后=-（C.0）

或白篝C°），其中A，B，C是整式.

分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个,分式的值不变，即：［=芸=一二

D-DD

A

易易错

运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式;

②隐含条件：分式的分母不等于0.

提升-必考题型归纳

题型01利用分式的基本性质进行变形

【例1】（2023•广东茂名•一模）下列等式中正确的是（）

-aa+a7

A—二--B・/震cD.-=—

*bb+b-bb2

【变式1-1］（2023•福建福州•模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（）

C1ca?—4a—2

AA.—=-B.八生D.---------=------

5c54a4aba2+4a+4a+2

方法技巧

分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式

的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的.

题型02利用分式的基本性质判断分式值的变化

【例2】（2023南通市二模）如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（）

A.扩大到原来的20倍B.缩小到原来的高

C.扩大到原来的2倍D.不变

【变式2-1］如果将分式立片中x,y都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

x+y

A.扩大到原来的2倍B.不变

C.扩大到原来的4倍D.缩小到原来的!.

4

【变式2-2］（2022•河北•一模）如果要使分式二三的值保持不变，那么分式应（）

A.a扩大2倍，b扩大3倍B.a,b同时扩大3倍

C.a扩大2倍，b缩小3倍D.a缩小2倍，b缩小3倍

【变式2-3］（2022武安市中考二模）若m,n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）.

AA.-m-+-3D.—

nB・瑞c・震m-n

题型03利用分式的符号法则，将分式恒等变形

【例3】（2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正

数，则葺$一

【变式3-1］（2023•河北石家庄•二模）若A=A（m丰n）,则A可以是（）

.n—3

A.——B.—c.—D.—

m-3m+3-mm2

【变式3-2］（2022邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式可变形为（）

a-D

a-a-a-a

ABc-FD.--

-启-京b-a

考点三分式的运算

夯基-必备基础知识梳理

分式运算说明

1）同分母：分母不变，分子相加减，即：巴士2=出.

CCC

分式的加减法

2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即：胃土：=喀.

1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：£・（=熟

分式的乘除法

2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：£+5=£・&=等

babeb*c

分式的乘方把分子、分母分别乘方，即：的7号

\bJbn

运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的.灵活运用运算

分式的混合运算

住.话留年里必缔星曷简介忒或塾扰____________________________________________,

1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.

2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

3.分式与分式相乘，

①若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式或整式；

②若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘.

4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.

5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.

6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即：

①正分式的任何次塞都为正；②负分式的偶次幕为正,奇次幕为负.

7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体.

\a-bJ（a-bYa2-b2

8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运

算.

一提升・必考题型幽

题型01分式的加减法

【例1】（2023・天津•中考真题）计算£-看的结果等于（)

D-*

A.-1B.x—1c-a

【变式「1】（2021•黑龙江大庆•中考真题）已知b>a>0,则分式:与含的大小关系是（）

Db+\

a〃+1-aQ+1

A.—<------B..二---------D.不能确定

bb+1bb+1c•公震

【变式「2】（2023•上海•中考真题）化简：£一息的结果为——.

【变式1-3］（2023•吉林•中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单

项式M,并将该例题的解答过程补充完整.

例先化简，再求值：弟一段，其中a=10。.

2

解：原式=a1

a(a+l)a(a+l)

【变式『4】（2023•江苏南京•校联考三模）已知a>0,b>0,证明：-+

aba+b

B2.x—6

【变式1-5］（2021•四川乐山•中考真题）已知£一，求、的值.

X_±2—x(%—l)(x-2)2B

题型02分式的乘除法

【例2】（2023•河北•中考真题）化简/I的结果是（）

A.xy6B.xy5C.x2y5D.x2y6

【变式2-1］（2022•内蒙古•中考真题）下列计算正确的是（）

,iC

A.a3+a3=a6Bn-a+b『a'言一六=2D-O3=£

【变式2-2］（2022•河北石家庄•一模）若百丁y2—x2.运算的结果为整式，则“口”中的式子可能是（）

A.y—xB.y+xC.2xD.-

X

2

【变式2-3】关于式子.X-9喜，下列说法正确（）

X2+6X+9

A.当x=3时，其值为0B.当x=—3时，其值为2

C.当0<x<3时，其值为正数D.当x<0时，其值为负数

【变式2-4］（2023•安徽•一模）计算（一的结果是（）

A.m3B.—mC.m2D.m

【变式2-5］（2023•江苏扬州•中考真题）计算：⑴四+tan6O。；（2）台|+伍-。）.

题型03分式的混合运算

【例3】（2022•山东威海•中考真题）试卷上一个正确的式子（2+々）+*=2被小颖同学不小心滴上

a+ba-ba+b

墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（）

A.义B.㈡C.啖D.

a-baa+b/一从

【变式3-1］（2023•辽宁大连•中考真题）计算：（去+方\卜三.

+3d—y）2,CI+O

【变式3-2］（2023•四川泸州•中考真题）化简：（如F+m-l）+=.

\m+1/m+1

【变式3-3］（2023•江西•中考真题）化简（系+a）.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：

£解：原式=［（优可

甲同学

解：原式=2L•年1+JL•年1*

x+1xx-1X

.•

乙同学

（1）甲同学解法的依据是,乙同学解法的依据是；（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.

题型04分式的化简求值

计算—的值是（）

［例4］（2023•湖北武汉•中考真题）已知/-x-l=0,

A.1B.-1C.2D.—2

2

（AX+X—1廿+/—

【变式4-1］（2023•福建•中考真题）先化简，再求值：1・2，其中X—V2—1.

Vx）x-x

【变式4-2］（2023•北京•中考真题）已知x+2y—1=0,求代数式/二蓝年的值・

【变式4-3］（2023•四川广安•中考真题）先化简，+1土,再从不等式-2＜。＜3中选择一

）a产+2；a+l

个适当的整数，代入求值.

【变式4-4】（2。23•山东滨州•中考真题）先化简，再求值：-鼻）其中。满足

方法技巧

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.在化简的过程中要注意运算顺序

和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺少必要的步

骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=•••”.

2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方

法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能

为0.

题型05零指数塞

【例5】（2023•山东聊城•中考真题）（—2023）。的值为（）A.0B.IC.-1D.一康

【变式5-1］（2022•四川南充•中考真题）比较大小：2-23。.（选填＞，=,＜）

【变式5-2］（2021•重庆•中考真题）计算：1）°=.

【变式5-3］（2023•湖南•中考真题）下列计算正确的是（）

A.^-=a2B.（a2）3=a5

a3

ab/n。

c-7d-（4）=1

【变式5-4］（2022•浙江衢州•中考真题）计算结果等于2的是（）

A.|-2|B.-|2|C.2TD.（-2）°

题型06分式运算的八种技巧

技巧一约分计算法

方法介绍：在通分比较麻烦的情况下，我们可以先将分子、分母因式分解，因式分解后进行约分，最后通

分计算.

【例6】（2022•浙江衢州•中考真题）化简：照+充.

【变式6-1］（2022•广东揭阳•二模）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题.

%2-92x+l

+6%+92x+6

(x+3)(x—3)2%+l

第一步

(%+3)22(x+3)

_x-32x+l

第二步

x+32(%+3)

2(%—3)2x+l

-2(x+3)2(x+3)第三步

2.x—6一(2%+1)

—2(%+3)第四步

_2%—6—2x+l

—2(%+3)第五步

_5第六步

2x4-6

⑴填空：

①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是」

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

（2）请直接写出该分式化简后的正确结果：

技巧二整体通分法

方法介绍：可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体，再进行化简通分得出答案.

【例7】（2023•陕西西安•校考二模）化简：*+空止—2a+b.

2a+b2a+b

2

【变式7-1］（2023•浙江嘉兴•一模）化简：久+1+工.以下是小嘉同学的解答过程：

%2

X+1+-------=(%+1)(%—1)—X2你认为他的解法是否正确？（）

X人

若正确，请在括号内打r”；

=x2—41—X7

=-1若错误，请在括号内打“X”，并写出正确的解答过程.

【变式7-2］（2021•河南信阳•河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）计算.

⑴(1-沙三

小、bb3ab+b1

(2)------+—-----------------+———-

ci—bci—2。h+abb—a

⑶㈡一3+(1。2+庐

\a+ba-bj\a2-2ab+b2

⑷匕-a-l.

技巧三换元通分法

方法介绍：在分式中有相同的复杂项时，可以通过换元的方法，使计算更加简单.注意，整理结束后要将原

式转换回来.

【例8】计算：(3吁2切+黑孺-(3吁2方+靠含

技巧四顺次相加法

方法介绍：当分式项数过多、分母不同，不容易通分时.我们采用顺次相加的方法提高正确率.先把前两个分

式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简.

【例9】计算：二；124

X+1x2+lx4+l*

112x4x3

【变式9-1】计算:---1----1----H----.

x-lx+1x2+l%4+1

技巧五裂项相消法

方法介绍：根据公式把每一项写成两个分式差的形式.分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果.

【例10］观察下面的变形规律：

—=i-i,-=---……解答下面的问题：

1X222X3233X434

(1)若"为正整数，请你猜想/a=.

(2)若w为正整数，请你用所学的知识证明(一^=花扁.

【变式10T】计算：a(a+l)+(a+l)(a+2)+(a+2)(a+3)+…+(a+99)(a+100>

技巧六消元法

方法介绍：用于分式中未知数过多的情况.通过各未知数之间的数量关系化简并达到消元的目的，将含未知

数的代数式代入所求式，化简约分，得到结果.

【例11］已知4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0,且xyz/),求a匚禽?的值，

【变式11T】已知孙z片0,且满足x+3y+7z=O,3x-4y-18z=。，求智学写的值.

Jx2+2y2+8z2

技巧七倒数求值法

方法介绍：当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒.利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化

简后的式子.整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果.(注意：结果要再次颠倒回来)

【例12］已