图形的变化（测试）（解析版）-2025年中考数学一轮复习

第七章图形的变化

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分

1.【原创题】古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美.下面四个花窗图案，既是轴对称图形又

是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后

两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点旋转180。后

能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

【答案】C

【分析】根据主视图的定义判断.

【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小

正方形,

故答案为：C.

【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键.

3.在直角坐标系中，把点2(瓶,2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.若点B的横坐标和

纵坐标相等，则m=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点B的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可.

【详解】解：•••点4(孙2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B,

•••B(m+1,2+3),即B(m+1,5),

•・・点B的横坐标和纵坐标相等，

m+1=5,

•••m=4,

故选C.

【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标

系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.

【新考法】数学与实际生活一一利用数学知识解决实际问题

4.如图，小兵同学从4处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知=则力，

C两处相距()

A.上米B.3米C.x-sina米D.x-cosa米

sinacosa

【答案】B

【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.

【详解】解：小兵同学从a处出发向正东方向走X米到达8处，再向正北方向走到c处,

•••AABC=90°,AB=X米.

AB

■■cosa=——

AC

故选：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角

三角形中，锐角的邻边与斜边之比.

5.如图，把△48C以点A为中心逆时针旋转得到△力DE,点、B,C的对应点分别是点。，E,且点£在BC

的延长线上，连接BD,则下列结论一定正确的是（）

A./.CAE=乙BEDB.AB=AEC.NACE=AADED.CE=BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得AC=AE,BC=DE,

无法证明力B=4E,CE=BD,故B选项和D选项不符合题意，

/.ABC=/.ADE

•••Z.ACE=z.ABC+Z.BAC

：.^ACE=^ADE+ABAC,故C选项不符合题意，

^ACB=^AED

•••Z.ACB=Z-CAE+Z.CEA

Z.AED—Z.CEA+Z.BED

：.乙CAE=4BED,故A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

6.【原创题】如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（）

【答案】A

【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答.

【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱4E的投影为点E,棱的投影为线段BE,棱4。的

投影为线段ED,棱4c的投影为正方形BCDE的对角线，

故选：A

【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视

图.

7.如图，在平面直角坐标中，矩形2BCD的边AD=5,04。。=1:4,将矩形48CD沿直线0E折叠到如图

所示的位置，线段。4恰好经过点8,点C落在y轴的点G位置，点E的坐标是（）

A.(1,2)B.(-1,2)C.(V5-1,2)D.(1-V5,2)

【答案】D

【分析】首先证明△AOB〜ADiCi。，求出4B=CD=2,连结。C,设BC与。C1交于点孔然后求出

oc=OCX=2V5,可得C/=2西一2,再用含EF的式子表示出EC「最后在RtAEFC1中，利用勾股定理

构建方程求出EF即可解决问题.

【详解】解：：矩形4BCD的边4。=5,OA-.OD-1:4,

/.0A=1,0D=4,BC=5,

由题意知力BIIOG，

Z-ABO=乙。1。。1，

又・・・484。=4。OiG=90°,

△AOB〜△OiG。，

•OAD]C]

••-9

ABOD1

由折叠知0。1=OD=4,D1cl=DC=AB,

.1_AB

"AB~4'

：.AB=2,即CD=2,

连接。C,设BC与。Cl交于点R

OC=VOD2+CD2=V42+22=2Vs,

'：Z.FOA=/.OAB=/.ABF=90°,

.•.四边形。ABF是矩形，

：.AB=OF=2,ABFO=90°=乙EFC「OA=BF1,

CF=5—1=4,

由折叠知。G=OC=2V5,EG=EC=CF-EF=4-EF,

：.CrF=0cl-OF=2V5-2,

22

•在RtAEFC1中，EF+CrF=ECJ,

2

.,.£F2+(2V5-2)=(4一EF)2,

解得：EF=V5-1,

点E的坐标是(1一逐,2),

故选：D.

y

a

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知

识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出4B的长是解题的关键.

8.一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）

【答案】D

【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案.

【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，

由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合，

故选：D.

【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验.

9.如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=a九时，若A4BE平移至必。CF,a=4,h=3,则4

ABE的平移距离为（）

A.3B.4C.5D.12

【答案】B

【分析】根据平移的方向可得，AABE平移到ADCF,则点4与点D重合，故AABE的平移距离为4D的长.

【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=a无时，将AABE平移到△OCF,

故平移后点4与点D重合，贝必4BE的平移距离为2D=a=4,

故选：B.

【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

10.【创新题】如图，四边形4BCD为正方形，将AEDC绕点C逆时针旋转90。至AH8C,点D,B,"在同一

直线上，HE与4B交于点G,延长HE与CD的延长线交于点F,HB=2,HG=3.以下结论：

①NEDC=135。；②EC?=CD•CF；③HG=EF；④sin/CED=/.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证

明△GBH-AEOC,得到第=黑，即£■（：=*=?,利用△HEC是等腰直角三角形，求出HE=字，

tiDHuriDzz

再证明AHGBSAH。尸即可求出EF=3可知③正确；过点E作EM_LFO交尸。于点M,求出sin/EFC=

—再证明NDEC=NEFC,即可知④正确.

EF3

【详解】解：:△EDC旋转得到AHBC,

:.乙EDC=4HBC,

,.NBCD为正方形，D,B,"在同一直线上，

."HBC=180°-45°=135°,

：.NEDC=135°,故①正确；

「△EOC旋转得至!

：.EC=HC,AECH=90°,

AzHEC=45°,

：.Z.FEC=180°-45°=135°,

•:(ECD=cECF,

△EFCDEC,

.EC_FC

..DC-EC'

：.EC2=CD-CF,故②正确；

设正方形边长为a,

■:乙GHB+乙BHC=45。,乙GHB+ZH(7B=45°,

;•乙BHC=^HGB=乙DEC,

■:(GBH=ZEDC=135°,

A△GBH〜△EDC,

,DCECH[-|口"CD'HG3a

'♦HB-HG'~HB~2

:△"EC是等腰直角三角形,

•HE=3ma

••-2

■:乙GHB=(FHD,乙GBH=LHDF=13S。,

：.LHBG八HDF,

.HBHG口n23

..—=—,即3a,解得：EF=3,

HDHF2+V2a-^।cr

•;HG=3,

：.HG=EF,故③正确;

过点E作EM1FD交FD于点M,

・・・"£)M=45。，

U：ED=HB=2,

:・MD=ME=五,

*：EF=3,

...口厂厂MEV2

••sin^-ErC——，

EF3

VzZ)EC+zDCE=45°,Z.EFC+^DCE=45°,

:•乙DEC=LEFC,

：.sinADEC=sinNEFC=—=—,故④正确

EF3

综上所述：正确结论有4个，

故选：D

【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟

练掌握以上知识点，结合图形求解.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

H.点A(1,-5)关于原点的对称点为点8,则点B的坐标为.

【答案】(-1,5)

【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解.

【详解】解：：点A(1,-5)关于原点的对称点为点8,

.,.点B的坐标为(-1,5).

故答案为：(-1,5)

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，

横纵坐标均互为相反数是解题的关键.

12.【创新题】如图，在扇形AOB中，点C,。在AB上，将CS沿弦CD折叠后恰好与040B相切于点E,

F.已知N40B=120。，0A=6,则底的度数为；折痕CD的长为.

OFB

【答案】60。/60度4V6

【分析】根据对称性作。关于。的对称点M,则点。、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再

结合切线的性质和垂径定理求解即可.

【详解】作。关于CD的对称点M,则ON=MN

连接A/D、ME、MF、MO,MO交CD于■N

:将◎沿弦CD折叠

；.点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上

:将6沿弦CD折叠后恰好与。4。8相切于点E,F.

J.MELOA,MF±OB

:.乙MEO=Z.MF0=90°

,：Z.AOB=120°

四边形MEOF中NEMF=360°-Z.AOB-乙MEO-/.MFO=60°

即呼的度数为60。；

；4MEO=NMF。=90°,ME=MF

：.AMEO=^MFO(HL)

1

."EMO=Z.FMO=-ZLFME=30°

2

/.OM=———=---=4V3

COSZ.EMOcos30

:.MN=2V3

'：MO_LDC

：.DN=y/DM2-MN2=呼_(2V3)2=2n=|CD

/.CD=4V6

故答案为：60°；4V6

【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是

解题的关键.

【新考法】数学与实际生活一一利用数学知识解决实际问题

13.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆。E直立在同一水平地面上

(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知8,C,E,F在

同一直线上，AB±BC,DELEF,£>E=2.47m,则42=m.

【答案】9.88

【分析】根据平行投影得AC〃OE,可得NACB=NDFE,证明出"BCs△.△£)£厂,然后利用相似三角

形的性质即可求解.

【详解】解：•••同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.

J.AC//DF,

：.ZACB=ZDFE,

'CABLBC,DELEF,

：.ZABC=ZDEF=90°,

RtAABCsRt^DEF,

.HD_DC日nAD_O./Z

"DE-EF'2.47-2.18’

解得AB=9.88,

旗杆的高度为9.88m.

故答案为：9.88.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在

太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.证明及是解题的关键.

14.在AABC中，ZC=90°,a、b、c分别为N4、4B、/C的对边，若庐=ac,贝!JsinA的值为

在RtAABC中，由勾股定理可知：a2+/)2=c2,

ac=b2,

■■■a2+ac=c2,

■■■a>0,b>0,c>0,

a2+acc2/a、2

:F-即Hn：d+la=l'

求出巴=卓或士=三些（舍去），

.,.在RtAABC中：5也4=£=苫与

故答案为：二手.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关

键.在Rt△ABC中，sinA=边,cos4=，髻t.anA,=乙—4的—对边.

斜边斜边乙4的邻边

15.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2<2,点。为A8的中点，点P在AC上，且CP

1,将CP绕点C在平面内旋转，点尸的对应点为点。，连接A。，DQ.当NAZ）Q=90。时，A0的长

为.

A

【答案】近或g/VH或有

【分析】连接CD,根据题意可得，当/4。。=90。时，分Q点在线段CD上和DC的延长线上，且CQ=CP=

1,勾股定理求得力Q即可.

【详解】如图，连接CD,

•••在RtZXABC中，ZACB=90°,4C=BC=2®

AB=4,CD_LAD,

1

CD=-AB=2,

2

根据题意可得，当NA£>Q=90。时，Q点在CD上，且CQ=CP=1,

DQ=CD-CQ=2-1=1,

如图，在RtAADQ中，AQ=JAD2+DQ2=V22+l2=V5,

在RtA/WQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

•••AQ=yjAD2+DQ2=々2+32=V13

故答案为：或“

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q的位置是解题的关

键.

16.如图，在△48C中，。是边4B上一点，按以下步骤作图：①以点4为圆心，以适当长为半径作弧，分

别交4B,4C于点M,N；②以点。为圆心，以力M长为半径作弧，交DB于点M'；③以点为圆心，以MN

长为半径作弧，在N8"内部交前面的弧于点N，：④过点N，作射线DN咬BC于点£若ABDE与四边形

4或。的面积比为4:21,则差的值为.

【分析】根据作图可得ABDE=41,然后得出DEII4C,可证明ABDESABAC,进而根据相似三角形的性

质即可求解.

【详解】解：根据作图可得/即组=乙4,

：.DE\\AC,

△BDEBAC,

ABDE与四MACED的面积比为4：21,

.SABDC=_±_=fBE\2

S^BAC~21+4-\BC)

.BE_2

"BC~5

,BE_2

••~CE~=一3，

故答案为：|.

【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

三.解答题(共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分)

17.先化简，再求值：1+1—六)+贮鲁其中a=tan45o+G)-1—iT°

【答案】三，0

a+2

【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数累和零次癌的

性质求出最后代入计算.

【详解】解：(a+/三)一1等1

(a2—13\(a+2)2

yCL-1CL-1jCL-1

_a2-4(a+2)2

a—1ct—1

(a+2)(a—2)CL—1

ct—1(a+2)2

--a-2•

a+2‘

•：a=tan45°+(j)-1—TT°=1+2—1=2,

原式===三=0.

a+22+2

【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幕和零次幕的性质，熟练掌握运算法则是解

题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点分别是A(1,3),B(4,4),C(2,1).

(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的请画出平移后的

(2)把△ABC绕原点。旋转180。后得到对应的AABzCz,请画出旋转后的AAZ&CZ;

(3)观察图形可知，A4乃］。与ZkA232c2关于点()中心对称.

>

X

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)-2,0.

【分析】(1)依据平移的方向和距离，即可得到平移后的

(2)依据AABC绕原点。旋转180。，即可画出旋转后的AA282c2；

(3)依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标.

【详解】解：(1)如图所示，分别确定平移后的对应点41，/，6,

得到即为所求；

(2)如图所示，分别确定4B,C旋转后的对应点42*2，。2，

得到△A2&C2即为所求；

C21'O

5

2—

,

（3）由图可得，与△A2B2C2关于点（一2,0）成中心对称.

故答案为：-2,0.

【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的

关键.

19.在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3x3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴

对称图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴

影部分为要剪掉部分）

D

BHC

图1图2

请在图中画出4种不同的设计方案,将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3x3的正方形方格画一

种，例图除外）

图3

【答案】见解析.

【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得.

【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示:

S3

【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念.

【新考法】数学与实际生活一一利用数学知识解决实际问题

20.我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小

明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点a处测得阿育王塔最高点C的仰角NC4E=45。，再

沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角NCBE=53°,AB=10m；小亮在点G处竖立标杆FG,

小亮的所在位置点标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5m,GD=2m.（注：结果精确到

0.01m,参考数据：sin53°«0.799,cos53°«0.602,tan53°®1.327)

ABEG〃

(1)求阿育王塔的高度CE;

⑵求小亮与阿育王塔之间的距离ED.

【答案】⑴40.58m

(2)54.11m

【分析】⑴在CEB中，由tan53。=解方程即可求解.

BECE—10

(2)证明Rt△FGD-Rt△CED,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】⑴在RMCCE中,VzCi4£1=45°,

：.CE=AE.

9：AB=10,

：.BE=AE-10=CE-10.

在CEB中，由tan53。=*=

BECE-10

得tan53°(CE-10)=CE,

解得CE«40.58.

经检验CEx40.58是方程的解

答：阿育王塔的高度约为40.58m.

(2)由题意知RtAFGD-RMCED,

.FG_GD

••—f

CEED

prt1.52

即---=—,

40.58ED

：.EDx54.11.

经检验EDx54.11是方程的解

答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键.

【新考法】阅读理解题

21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1）,书中记载了大量几何

作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：

原文释义

甲乙丙为定直角.

如图2,N2BC为直角.

以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；

以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线B4BC分别于

以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交

点。，E；

点己；

以点。为圆心，以BD长为半径画弧与近交于点尸；

再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交

再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与北交于点G；

点庚；

作射线BF,BG.

乙与己及庚相连作线.

图1图2（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中

完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）;

⑵根据（1）完成的图，直接写出NDBG,乙GBF,NFBE的大小关系.

【答案】⑴见解析

⑵乙DBG=乙GBF=4FBE

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）连接DREG,可得ABOF和ABEG均为等边三角形，乙DBF=AEBG=6。°,进而可得/。BG=

乙GBF=乙FBE=30°.

【详解】（1）解：（1）如图:

(2)乙DBG=乙GBF=乙FBE.

理由：连接。尸，EG如图所示

贝IJ2£>=2尸=£>RBE=BG=EG

即48。尸和48EG均为等边三角形

."DBF=乙EBG=60°

VZXBC=90°

:.乙DBG=乙GBF=Z.FBE=30°

【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键.

22.如图CD是。。直径，A是。。上异于C,。的一点，点2是DC延长线上一点，连接AB、AC.AD,且

Z.BAC=/.ADB.

(1)求证：直线4B是。。的切线；

⑵若BC=2OC,求tanNaD8的值；

(3)在(2)的条件下，作NC4D的平分线力P交。。于尸，交CD于E,连接PC、PD,若AB=2网,求4E•

AP的值.

【答案】⑴见解析

(3)472

【分析】(1)如图所示，连接OA,根据直径所对的圆周角是直角得到NOAC+NO4D=90。，再证明

AOAD=NB4C即可证明结论；

(2)先证明ABai"△BAD,得到丝=吧，令半径。C=04=r,贝！］BC=2r,OB=3r,利用勾股定理

ADBA

求出4B=2/r,解直角三角形即可答案；

222

(3)先求出0=2同在RtACW中，有=号，AC+AD=CD,解得AC=2,AD=2VL证明△

CAP-^EAD,得到生="，则4E-4P=404。=4&.

AEAD

【详解】(1)解：如图所示，连接04

・.・co是。。直径，

：.Z.CAD=90°,

：.^0AC+Z.0AD=90°,

又・・・。4=0D,

/.Z.0AD=Z.0DA,

,：AC=^LADB,

：.^0AD=/-BAC,

：./-BAC+^OAC=90°,即484。=90°,

：.AB10Af

又・・・。4为半径，

直线4B是。。的切线；

⑵解：'J/.BAC=/.ADB,4B=4B,

△BCAs&BAD,

.AC_BC

""AD-BA,

由8c=20C知，令半径0C=04=r,则BC=2r,OB=3r,

在Rt△BA。中，AB=y/OB2-0A2=2s/2r,

在Rt△CAD中，tan/ADC=—=—=^=—,

ADBA2y/2r2

BPtanZi4£)B=?；

A

BD

P

(3)解：在(2)的条件下，AB=2V2r=2V6,

r—V3)

/.CD=2V3,

在RtACAD中，*今AC-+AD-=CD-,

解得4c=2,AD=2A/2,

平分“a。,

J./.CAP=Z.EAD,

又\ZPC=/LADE,

△CAPEAD,

,ACAP

••--=--9

AEAD

：.AE-AP=AC-AD=2x22=4位.

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三

角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键.

23.如图，在AABC巾，^ABC=30°,48=4C,点。为的中点，点。是线段0c上的动点(点。不

与点O,C重合)，将△力CD沿折叠得到△力ED,连接BE.

备用图

(1)当2E18c时，乙AEB=°；

⑵探究N4EB与NC4D之间的数量关系，并给出证明；

(3)设力C=4,△4CD的面积为无，以AO为边长的正方形的面积为y,求y关于x的函数解析式.

【答案】(1)60

(2)4AEB=30°+/.CAD

(3)y=(2V3-x)2+4

【分析】(1)首先由折叠的性质可得AC=AE=AB,再由等腰三角形的性质可求解；

(2)首先由折叠的性质可得AE=AC,乙CAD=AEAD,再由等腰三角形的性质可得AC=AE=AB,

Z.ABE=Z.AEB,最后根据角度关系即可求解；

(3)首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求4。的长，由勾股定理可求。D的长，最后根据

面积和差关系可求解.

【详解】(1)•••^ABC=30°,AB=AC,AE1BC,

•••乙BAE=60°,

•.•将A4CD沿4。折叠得到A4ED,

•••AC—AE,

•••AB—AE,

・•・AABE是等边三角形，

・•・乙AEB=60°,

故答案为：60；

(2)AAEB=^理由如下：

・・•将AAC。沿/。折叠得至必AED,

AE=AC,Z.CAD=Z.EAD,

•・•乙ABC=30°,AB=/C,

・•.ABAC=120°,

ABAE=120°-2zfX£),

vAB=AE=AC,

：.AAEB=180。-(120。-2皿D)=30。+aCAD

2

(3)如图，连接。4,

VAB=AC,点。是BC的中点，

•••OA1BCf

•・•乙ABC=^ACB=30°,AC=4,

•••AO—2,OC—2A/3,

•・•OD2=AD2-AO2,

•••OD=Jy-4,

ii

,•*SA4℃=&xOCxAO——xODxOA?

x——X2X2*\/3——X2XJy-4,

y=(2-\/3-x)2+4.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练

掌握相关性质并能够灵活运用.

24.【创新题】综合与实践

问题情境：在RdABC中，ZBAC=9Q°,AB=6,AC=8.直角三角板EDE中/EOF=90。，将三角板的直角

顶点。放在Rt^ABC斜边BC的中点处,并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,。尸分别与边A8,

AC交于点M,N,猜想证明:

E

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边A8的中点时,试判断四边形AMON的形状，并说明理

由；

问题解决:

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长;

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段m的长.

【答案】(1)四边形AMDN为矩形；理由见解析；(2)CN=g；(3)AN=弓

【分析】(1)由三角形中位线定理得到MDII4C,证明/A=NAM£)=/MDN=90。，即可证明结论;

(2)证明ANOC是等腰三角形，过点N作NG_LBC于点G,证明△CGNSACAB,利用相似三角形的性质

即可求解；

(3)延长ND,使DH=DN,证明ABZ汨0△CON,推出①/=CN,ZDBH=ZC,证明NAffi#=90。，设

AM=AN=x,在RfABMH中,利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【详解】解：(1)四边形AMDV为矩形.

理由如下：：点M为AB的中点，点。为BC的中点，

：.MD\\AC,

：.NAAffl+NA=180°,

,?ZA=90°,

/.ZAMD=90°,

,?ZEDF=90°,

：.ZA=ZAMD=ZMDN=9Q°,

四边形AMDN为矩形；

(2)在RfAABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,

ZB+ZC=90°,BC=yjAB2+AC2=10.

•点。是3C的中点，

1

：.CD=-BC=5.

2

NED尸=90。，

・•・ZMDB+Z1=9O°.

•IZB=ZMDB,

：.Z1=ZC.

：.ND=NC.

过点N作NG_LBC于点G,贝!JNCGN=9O。.

Z.CG=-CD=-.

22

•・・NC=NC,ZCGN=ZCAB=90°,

:.bCGNsRCAB.

5

.CG_CN日门5_CN

CACB810

25

:・CN-

(3)延长ND至H,使DH=DN,连接M”，NM,BH,

H

■:MD工HN,：・MN=MH,

・・•。是5C中点，

:.BD=DC,

又,：/BDH=/CDN,

：./\BDH^/\CDN,

；・BH=CN,ZDBH=ZC,

'：ZBAC=90°,

VZC+ZABC=90°,

・•・ZDBH+ZABC=90°f

：.ZMBH=90°,

AM=AN=x,贝BH=CN=8-x,MN=MH=>/2xf

222

在放中，BM+BH=MHf

(6-X)2+(8-X)2=(V2X)2,

解得x=F，

线段AN的长为

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第

(3)问的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

25.已知二次函数y=-；久2+6%+c图像的对称轴与x轴交于点4(1,。)，图像与y轴交于点3(0,

4

3),C、。为该二次函数图像上的两个动点(点C在点。的左侧)，且NC4D=90。.

⑴求该二次函数的表达式；

⑵若点C与点、B重合，求tanZCDA的值；

(3)点C是否存在其他的位置，使得tan/C/M的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)丫=一：/+：%+3

4Z

(2)1

(3)(-2,1),(3-VT7,V17-2),(-l-V17,-2-VT7)

【分析】(1)二次函数与y轴交于点B(