湖南省长沙市某中学2024-2025学年高三年级上册调研考试（一）数学试题

长郡中学2025届高三第一次调研考试

数学

本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4=卜仆3*°}，3=卜信--2<0},则4n吟)

A.{0,1}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】,.•%3-x=%(兀+1)(%-1)=0

•1.A={-l,0,l}

%2—x—2=(x—2)(x+l)<0

.•・5=(-1,2)

.-.AnB={0,l}

故选：A

2.已知加，〃是两条不同的直线，名万是两个不同的平面，则加〃£的一个充分条件是()

A.m//n,n//aB.m//(3,a//p

C.ml.n,nl.a,m(^aD.mr\n=A,n//a,m(^a

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,由加〃上〃〃a可得mua或m〃a,故A错误；

对于B,由M〃民e〃夕可得mua或加〃e,故B错误；

对于C,由可得机〃a,故C正确；

对于D,由"，C"=可得774a相交或加〃a，故D错误；

故选：C

的展开式中的常数项是(

A.第673项B.第674项

C.第675项D.第676项

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.

【详解】由二项式的展开式为乙=Co25(石产5T(--)「=(-2)，C0251丁

675

令2025-3r=0,解得r=675,止匕时T616=(-2).C意，

/八2025

所以二项式标-』的展开式的常数项为第676项.

故选：D.

4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐

器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为

25cm,公共底面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为8g/cm2),现有青铜材料

1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为()(注：71«3.14)

【答案】C

【解析】

【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.

【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm,下底面半径为25cm,高为15cm,

所以铜鼓的体积V=2x1x(152+252+15x25)7ixl5工38465(cm3),

又1000000工3.25,故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.

38465x8

故选：C

5.己知定义在(0,+。)上的函数〃％)满足〃x)<Mr(x)T)(/'(%)为“X)的导函数)，且

/(1)=0,则()

A.f(2)<2B.f(2)>2

C.f(3)<3D,f(3)>3

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得令g(x)=/@—inx,可得g(x)在(0,+S)上单调递增，进而

XXX

可得/(3)>31n3,/(2)>21n2,可得结论.

【详解】由题意可得靖(力―/(%)>x,即：叫/(#〉L

XX

令g(x)=/fcLlnx,则

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，因为/⑴=0,所以8⑴:/⑴—lnl=0,

所以g(3)>g(l)=0,所以勺1—in3〉0,所以〃3)>31n3>3,

所以g(2)>g⑴=0,所以qi—in2〉0,所以〃2)>21n2,

又21n2<2,故/'(2)与2的大小关系不确定.

故选：D.

6.已知过抛物线C:y2=2px(">0)的焦点E且倾斜角为，的直线交C于两点，M是A3的中

点，点尸是C上一点，若点河的纵坐标为1,直线/:3尤+2y+3=0,则P到C的准线的距离与尸到/的

距离之和的最小值为（）

A3岳口5V13-3713n9713

26261326

【答案】D

【解析】

【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得P,进一步通过抛物线定义、三角形三边

关系即可求解，注意检验等号成立的条件.

【详解】由题得C的焦点为（多。],设倾斜角为2的直线AB的方程为丁=》-多

与C的方程/=2px（联立得y2-2py-p2^Q,

设40i，yi）,B（X2，y2），则%+%=2。=2,夕=1,故C的方程为/=2x,b]；,0].

由抛物线定义可知点尸到准线的距离等于点尸到焦点F的距离，

联立抛物线C：V=2x与直线/:3x+2y+3=0,化简得9/+10%+9=0，

由△=100—4x9x9=—224<0得。与/相离.

Q,S,R分别是过点尸向准线、直线/:3光+2y+3=0以及过点/向直线/：3%+2丁+3=0引垂线的垂

足，连接

所以点尸到C的准线的距离与点尸到直线I的距离之和|尸。|+|尸S|=|PF|+|PS|>\FS\习NR|,等号成立当

且仅当点尸为线段用与抛物线的交点，

所以尸到C的准线的距离与尸至IJ/的距离之和的最小值为点/,o）到直线/：3x+2y+3=0的距离，即

3x-+0+3

\FR\=29屈.

'1A/32+2226

故选：D.

7.已知函数〃x)=2sin(0x+e“o〉O,|a<|J,对于任意的xwR,

+/x=0都恒成立，且函数八%)在-0上单调递增，则。的值为()

A.3B.9C.3或9D.@

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小。的取值范围，结合正弦型三角函数

的对称性可得符合的。的取值为0=3或9,分类讨论验证单调性即可得结论.

【详解】设函数/(x)的最小正周期为丁，因为函数/(x)在-2,0上单调递增，所以

T2兀7T

《彳，得—=TN—,因此OVGKIO.

2co5

由/—知，(x)的图象关于直线x=对称，则。方+。=左1"+_|,勺eZ①.

由/(x)+/|j|-xJ=O知/(X)图象关于点］：,oj对称，则01+0=42兀/2eZ②.

JTJT

②一①得。一二(左2—左J兀——，左］,左2^Z,令k=k2一%,则G=6左一3,左wZ,

62

结合0<G<10可得G=3或9.

当0=3时，代入①得夕=(+左兀,6eZ,又|d<g,所以夕=：,

此时/(x)=2sin〔3x+：］,因为—④<3x+：<?故“X)在$,0上单调递增，符合题意;

当=9时，代入①得夕=—7+左兀，匕eZ,又网〈不，所以夕=—/,

此时/(x)=2sin^9x-^,因为一<9x—：<—£,

故/(%)在［-彳,。)上不是单调递增的，所以0=9不符合题意，应舍去.

综上，。的值为3.

故选：A.

8.如图，已知长方体A5CD—AB'C'D'中，AB=BC=2,AA=JJ，。为正方形ABC。的中心点，

将长方体A5CD-A'5'C'D'绕直线O£>'进行旋转.若平面1满足直线OD'与1所成的角为53°,直线

43

则旋转的过程中，直线A3与/夹角的正弦值的最小值为()(参考数据：sin53°«j,cos53°«-)

A4币-303后—4小373+3「4^+3

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线O。'与C'。'的夹角，可得C'D'绕直线O。'旋转的轨迹为圆锥，求直线与/的夹角,

结合图形可知，当/与直线曾'石平行时，C'。'与/的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.

【详解】在长方体A5CD—A'5'C'D'中，AB//CD',则直线与/的夹角等于直线C'。'与/的夹角.

长方体ABCD—A'5'C'D'中，AB=BC=2,A¥=也，。为正方形ABC。的中心点，

(J22+22Y7/-\2

则OD'=OC'=----------+(72)=2.又C'D=2,

所以△OC'。是等边三角形，故直线ODr与CD的夹角为60。.

则C'。'绕直线QD'旋转轨迹为圆锥,如图所示，zc/no=60°.

Df

/i。Y

因为直线O。'与a所成的角为53°,Z±a,所以直线8'与/的夹角为37°.

在平面CI/O中，作ZXE,D'F-使得NODE=NOOK=37°.

结合图形可知，当/与直线曾'石平行时，C'D与/的夹角最小，为NCZ>'E=60°—37°=23°,

易知ZC'D'F=60°+37°=97°.

设直线C'D'与/的夹角为。，则23”eV90°,故当0=23。时sin0最小,

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos370-cos60°sin37°

=sin60°sin53°-cos60°cos53°«--，

10

故直线AB与l的夹角的正弦值的最小值为

10

故选：A

【点睛】关键点点睛：解题中在平面C'DO中，作DE,D'F，使得NOD'E=NOD'F=37。,结合图形

可知，当/与直线曾'石平行时，C'D'与/的夹角最小，为NCZ>'E=60°—37°=23°是关键.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A3两个小组在原产品的基础上进行不同

方向的研发，A组偏向于智能自动化方向，3组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽

取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73,3组性能得分

为：73,70,96,79,94,88,则（）

A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高

B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小

C.A组性能得分的极差比3组性能得分的极差大

D.3组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大

【答案】AD

【解析】

【分析】根据计算公式分别计算A3两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一

判断即可.

【详解】由题意可得A组性能得分的平均数为91+81+82+96+89+73-85J,

6

小皿“.八3Tm皿二73+70+96+79+94+88⑺”

B组性能得分的平均数为-------------------------«83.3,

6

所以A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高，A说法正确;

QQ_i_QQ

A组性能得分73,81,82,89,91,96的中位数为2~—=85.5,

2

79+22

3组性能得分70,73,79,88,94,96的中位数为=83.5,

2

所以A组性能得分的中位数比3组性能得分的中位数大，B说法错误;

A组性能得分的极差为96—73=23,3组性能得分的极差为96—70=26,

所以A组性能得分的极差比3组性能得分的极差小，C说法错误;

B组性能得分70,73,79,88,94,96共6个数据，6x0.75=4.5,

所以8组性能得分的第75百分位数为94,比A组性能得分的平均数大，D说法正确;

故选：AD

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在

一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截

面，如图所示，其中AC,3。分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,民。都位于圆柱的同一个轴截面上,

AO是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为,,,则能够保证

)

AA1

/6/2B非

B6丁一

C.1&2用

Di4上

27i34

【答案】AD

【解析】

1r21//

【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得=-1=F，F—1=1,即可根据“2缶z得中一>2,

e1Tle2nl1i

逐一代入即可求解.

【详解】设AD=2r,AB-2m.CD=2〃,且〃之，

故5D=A/AB2+AZ)2=2Vm2+r2,AC=y/CD2+AD2=2飞"十户,

AC=&+/，%=前=7m2十户

12-1—/Y2

由于“2虎加，故加2,故彳一=%-=勺22

_L_]rm

e；n2

-1--1

对于A,c=Y5,e,=正，满足等一=2>2,故A正确,

1322J__i

4-i

对于B,，=；,62=半e24

-y-=-<2,故B错误,

--13

对于B,外力,3=叵，[一==<2,故C错误，

12740

e；

1一1

对于D,e[=显0=显，1—=£〉2,故D正确，

1324±_12

e；

故选：AD

11.对于任意实数羽儿定义运算“㊉”彳㊉了二,―y|+x+y,则满足条件。㊉b=5㊉c的实数。,反。的值

可能为()

A.a=-log050.3,人=0.4°3,c=log050.4

B.0=0.4%/?=log050.4,c=-log050.3

,0」,10

C-.a=C0.M09>b=—T-r,c=In—

e019

D.ci=.,Z?=In—,c=0.09

e0nJ9

【答案】BD

【解析】

【分析】由a㊉b=5㊉c,可得|a—,+a+〃=|〃-c|+A+c,可得bNa,bNc,故只需判断四个选项中的

)是否为最大值即可，利用函数函数y=logo$x为减函数，y=0.4,为减函数可判断AB；构造函数

A1y

〃x)=(l—x)eX,xe[0,l),利用单调性可得0.09<F，进而再构造函数人(同==+皿1—%),年[0,1),

ec

求导可得〃(x)=(；；:;,再构造函数o(x)=(l—e"利用单调性可判断CD.

【详解】由a㊉b=b㊉c,可得—闿+a+b=+〃+c,即，一4—忸一c|=c—a,

若aWb,cWb,可得,一百一也一4=c-a,符合题意，

若aWb,c>b,可得|a—4一我一c|=2/?—a-c,不符合题意，

若a>b,cWb,可得,一百一尼一4=a-c,不符合题意，

若a>b,c>b,可得|。一目一|人一(?|=c+a-2b,不符合题意，

综上所述a—bWO,b-c>0,可得

故只需判断四个选项中的》是否为最大值即可.

对于A,B,由题知一1080.5。.3=1080.51<1080.51=。，0<O,403<0.4°=1-

03

log050.4>log050.5=1,所以-logos。？<O.4<log050.4.

(点拨：函数y=logo_5X为减函数，y=0.4、为减函数)，

对于A,a<b<c；对于B,c<a<b,故A错误，B正确.

2i92=O.9e01=(1-0.1)e01,

对于C,D,

eai

(将0.9转化为1-0.1,方便构造函数)构造函数/(x)=(l-0炉,行[0,1),

则r(x)=re"因为所以/'(X)WOJ(X)单调递减，因为“0)=1,所以((0.1)<1,

1,所以0.09<餐.(若找选项中的最大值，下面只需判断『与Ing的大小即可)

即O.9e01<

e

0.1,100.1,901

-xy—In—=—T-：—Inln—=—+ln(l-0.1)，

e019e0J+10e01I7

jr1-x1

构造函数/i(x)=；+ln(l—x),xe[0,l),则"(x)=

cex1-xe'(l-x)

因为尤e[O,l),所以e，(l—x)>0,令o(x)=(l—e*,则。'(x)=—2(1—x)—e，,

当xe[O,l)时，H(x)<O,0(x)单调递减,因为。(0)=0,

所以。(x)W0,即"(x)W0,/z(x)单调递减，又&(0)=0,所以〃(0.1)<0,

即—^y+ln(l—0.1)<0,所以FY<ln7-.

e,e9

综上，0.09〈卑~<ln3.对于C,a<b<c\对于D,c<a<b,故C错误，D正确.

e019

(提醒：本题要比较0.09与In当的大小关系的话可以利用作差法判断，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9A

构造函数g(x)=(1r)x+lnx,xe(0,f|,

_J_-2f+x+1=(2x+l)(-x+1)

则g'(x)=12r+=

XXX

因为xe(O,l],所以之O,g(x)单调递增,因为g⑴=0,所以g(0.9)<0,

即0.09—In—<0,所以0.09<ln—)

99

故选：BD.

【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的

数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2—7

12.在复平面内，复数z对应的点为（1,1）,则——=.

1+Z

13i

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的几何意义可得z=l+i，即可由复数除法运算求解.

【详解】由于复数Z对应的点为（1,1），所以z=l+i,

故1+z2+i（2+i）（2-i）555;

故答案为：---

13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式为=.

①4_4是常数，且"ZW"；②g=2。5；③｛即｝的前〃项和存在最小值.

m-n

【答案】〃—4（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公

式，即得解.

【详解】由题意，不妨取数列｛斯｝为等差数列，设其首项为q，公差为d,

由②可知线=q+5d=2%=2（«+4d）,则q=-3d,又％~%=1是常数，满足①，

m-n

由③｛an｝的前〃项和存在最小值，故等差数列｛即｝单调递增，取d=l,则q=-3,

故此时当〃=3或〃=4时，｛即｝的前〃项和取到最小值为—6,

所以同时满足条件①②③的数列｛an｝的一个通项公式4=〃-4.

故答案为：〃—4（答案不唯一）

14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁•查理

•卡特兰的名字命名）.有如下问题：在“x〃的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右

走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有

多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数如图，现有3x4的格子，每一步只能往上或往右

走一格，则从左下角A走到右上角3共有种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角5的过

程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC,则有种不同的走法.

B

【答案】①.35②.14

【解析】

【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.

从左下角A走到右上角3共需要7步，其中3步向上，4步向右，

故只需确定哪3步向上走即可，共有C；=35种不同的走法；

若要求从左下角A走到右上角3的过程中只能在直线AC的右下方(不能穿过，但可以到达该连线)，

则由卡特兰数可知共有C；-C；=14种不同的走法，

又到达右上角。必须最后经过3,所以满足题目条件的走法种数也是14.

故答案为：35；14

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知M为圆好+y2=9上一个动点，垂直X轴，垂足为M。为坐标原点，△酸V的重心为G.

(1)求点G的轨迹方程；

(2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线/与曲线C相交于A、2两点，点Q(O,D,若点"(百刀)恰好是

的垂心，求直线/的方程.

2

【答案】(1)?+)?=1(孙H0)

(2)y=A/3X——

【解析】

X=a

【分析】⑴设6（苍丁）,"（为,为），根据6为/2邮的重心，得＜,代入x；+*=9,化简即

y"

-3

可求解.

（2）根据垂心的概念求得左=6,设直线/方程，与椭圆联立韦达定理，利用A〃_L5Q得

上・亨一，将韦达定理代入化简即可求解.

【小问1详解】

设G（x,＞）,川（%,%）,则N（%,0）,因G为的重心,

'—33xx2

故有：《，解得X0=彳,%=3y,代入x；+y：=9,化简得土+/=i,

24

v=A

-3

又Xo%wO,故孙H0,所以G的轨迹方程为、+/=1（邛/0）.

【小问2详解】

因“为AAH。的垂心，故有ABLHQ.AHLBQ,

又七。=上%=—且，所以勺=JL故设直线/的方程为y=Gx+力（加Hl）,

0—A/33

与7+V=1联立消去y得：13x?+8y/3mx+4m2-4=0,

由A=208—16»?>0得机2<13,

设4(%,%),5(%2，%),则%+x2=8fm,不々二4.34

由A〃J_3Q,得一一=一1，所以++机)(括与+m-1)=0,

X]v*2

2

所以4玉％+V3(m-l)(x1+x2)+m-m=0,

2

)-24m(m-l)+13(m-m)=0,化简得5M?+llm-16=0-

解得m=1（舍去）或〃z=—3（满足△＞（））,故直线/的方程为y=岳-

55

16.如图，四边形A3DC为圆台Ga的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的角为45。，母线长

为近，E是3。的中点.

K

（1）己知圆。2内存在点G,使得DEL平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

（2）点K是圆。2上的一点（不同于A,C）,2CK=AC,求平面A5K与平面CDK所成角的正弦

值.

【答案】（1）答案见解析

⑵①

35

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过3作下底面的垂线交下底面于点G,过G作/狙的平行线，交

圆&于GrG2,即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK和平面CDK,利用面面角的向量法，即可求出结

果.

【小问1详解】

•.•E是3。的中点，:.DELBE.

要满足DE，平面BEG,需满足DELBG,

又DEu平面BDE,平面BEG±平面BDE

如图，过3作下底面的垂线交下底面于点G,

过G作班的平行线，交圆。2于G-G2,则线段G1G2即点G的轨迹.

【小问2详解】

易知可以。2为坐标原点，o2c,eq所在直线分别为丁，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

。2一盯Z,

・••母线长为&，母线与底面所成角为45。，AC=2BD,：.O2A^2,QB=1,OtO2=1,

取K的位置如图所示，连接&K,

Z八

K

'：2CK=AC,二/。。2K=60°，即ZxQK=30°,

则K(61,0),4(0,—2,0),3(0,—1,1),C(0,2,0),D(0,l,l),

则次=(63,0),砺=(62,—1),球=(点—1,0),DK=(A/3,0,-1).

设平面ABK的法向量为而=(%,%,zj,

n-AK=0f-J3x,+3y,=0

则一，即厂1一，

n-BK=0[J?%+2%-Z]=0

令芯=G，则马=1,%=—1,.,.折=(6,一1,1).

设平面CDK的法向量为沅=(w，%，Z2)，

m-CK=0\yj3x-y,=0

则_.，即广27%,

m-DK=0[，3x,-z2=0

令々=也,则z?=3,y2=3,:.m=3,3).

设平面ABK与平面CDK所成的角为夕，则

।,In.-ml|V3X^+(-1)X3+1X3|

cos0\-।—j—；r=----------7=—7=-----------=--------，

降同75x72135

..AR-------FZ4屈

..sin0——cos0=------

35

17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强

学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，

某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的

学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.

(1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为P设声乐班的学

生中恰有3名通过测试的概率为/(p),求/'(2)的极大值点P。.

(2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，

有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人

中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为？，求，的分布列及数学期望.

【答案】(1)-

8

(2)分布列见解析，若

【解析】

【分析】(1)根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；

(2)先借助分层抽样确定随机变量，的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.

【小问1详解】

24名学生中恰有3名通过测试的概率/(p)=Cl•p'(1-0广，

则广⑺=04[3/。_夕广_21/。_020]=c.3".(1_02。。一8。)，0<P<1,

令/'(P)=O,得P=,

O

所以当0<p<1时，f(p)>o,/(2)单调递增；

8

当:<p<l时，f(p)<o,/(2)单调递减，

8

故/(P)的极大值点Po=：•

8

【小问2详解】

利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，

则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名,

所以，的所有可能取值为0,1，2,3,

3「2rl

仁。）焉c=1N7=i）=*=12

J35,J35

「3

p（7=2）=*_184

，（）寸

-35P7=3

5J35

则随机变量，的分布列为

c0123

p112184

35353535

L/八c1,12c18c412

E（7）=0x-----l-lx-----i-2x-----i-3x—=—.

',353535357

18.己知数列｛an｝为等比数列，｛%｝为等差数列，且4=乙=2,%=8%，

（1）求｛%｝,｛4｝的通项公式;

（2）数列]卦”山」|的前〃项和为S“，集合4="S"%2it,“eN*共有5个元

IJ〔"。,+2,

素，求实数♦的取值范围；

_log2a„（｝

-

（3）若数列｛%｝中，q=l,«1,2/->,求证：

4n

q+G•c,+C]•。2■G+…+G,02,%...........<2.

【答案】（1）an=T,b“=2n

147

（2）（25,—]

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设数列｛即｝的公比为4,数列0„｝的公差为d,由已知易得/=8,々=2+71=16,可求

4，4；

（）（

2设数列d=—*/i]02，可求得%+服1+4,一2+%-3=128〃—48,S4n=

n\/n

S.»b,(32〃+8)(〃+2)

“a"1.进而可得比n+==-Q—'可得/⑴<")>/⑶>/(4)>.->加)，可求

f的取值范围为(25,——].

⑶qqq…y勺一正方,进而计算可得不等式成立.

【小问1详解】

设数列｛5｝的公比为q,数列出“｝的公差为d,

则由。8=8%，/=8,所以4=2,所以4=QM〃T=2",

g=16,即々=2+72=16,所以2=2,

所以"〃=4+(〃_l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

【小问2详解】

设数列4=(―式虚8mH+1].年2,

则么?+%-1+d4a-2+%-3=%+-*_2-*_3=128”-48,

所以S4,]=(4+4+&+。4)+…+(〃4”-3+〃4"-2+4"-1+。4")=---------------------

="(64"+16),

邑〃也+2一(64〃+16)・2(〃+2)(32〃+8)("+2)

"％~F"r'

人〃、(32〃+8)(“+2)(32〃+40)(〃+3)(32〃+8)(〃+2)

令/⑺=-------------，/(«+1)-/(«)=----------x------------------------------

__32“2_8”_88_4(