安徽省2024届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（含答案解析）

安徽省2024届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合"={-2,-1,0,1,2,3,4},/=卜|二20,工一1,8=卜|7^1<2},贝师(/口团=

()

A.{-2}B.{3,4}C.{-2,3,4}D.{-2,0,3,4}

2.在复平面内，若复数z-2对应的点的坐标为(-1,-2),是虚数单位，则巧-」=()

1-1

5

A.—B.1C.J2D.2

2

3.已知sin[a+：]=tan]a-=7,则tan*^=()

11-

A.-B.-2C.——或2D.2

22

4.已知三棱锥P-48C的四个顶点均在球。上，/R4C=工,44。8=二,/。=百，尸8,平面

26

ABC.若tan/尸N8=26，则球。的体积为()

4兀「16兀C.西64K

A.——B.-----D.——

3333

5.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,若/(x-l)为偶函数，g(x)为奇函数，且

g(x)=/(x-g),则()

A./(1)=1B./(x)=/(x+l)C./(x+g)为奇函数D.g(x+；)为奇函数

6.已知函数/3=侬]函-「|(0>0)在仁，兀]上无零点，则0的取值范围为()

(「一「々一「一

A-ri2]1B-<ri5j1c24]5]D-|r\2d1uk45i

7.已知P(-2a,0),Q(6,a6)(a>0,6>0),动圆(x-a)?+(y-6)。=/(r>0)经过原点，且圆心

在直线尤+2y=2上.当直线P。的斜率取最大值时，r=()

AV2口2行n273

3333

8.已知V4BC的外心为G,内角4瓦C的对边分别为。，>c,且。:6:c=5:5:8.若

CA-CB=-28,则函•&=()

试卷第1页，共4页

25

D.25收

A.TB.50C.25

二、多选题

9.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现,

中国智能手机市场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年11月，中国市场智能手机新机

本期数据-去年同期数据

激活量为2871万台，同比增长12.9%(同比增长率=■X100%),具

去年同期数据

体分为7个品牌排名，统计数据如下表所示，则下列说法正确的有()

排名品牌当月新机激活量/万台同比新机激活量/万台

No.l苹果604.413.0

No.2小米524.3160.5

No.3荣耀403.145.0

No.4华为401.4172.9

No.5vivo383.3-47.5

No.6OPPO376.3-44.8

No.7其他178.228.0

A.该月7个品牌新机激活量同比数据的极差为125.4

B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数

C.该月“华为”品牌新机激活量同比增长率大于75%

D.去年同期中国市场智能手机新机激活量总量小于2600万台

10.在正方体-44G〃中，E,尸分别是棱圈的中点，则下列说法正确的有()

A.EF//BC,B.所//平面

C.EFLA.C,D.EF与平面4片所成角的正弦值为"

3

11.已知定义在R上的函数/(x),当xe(-8,0)u(0,y)时，其图像关于原点对称，且

/(0)=-2,/(-2)=0,当x<0时，恒有〃x)>V'(x)成立.函数g(x+l)=-ln|x|,则()

A./(1)>0B.叭3)<3/(e)

试卷第2页，共4页

C.g(x)的图象关于直线x=l对称D.方程/(x)=xg(x)有且仅有2个实数根

三、填空题

12.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，设数集S={2,4},7={1,3,5},点集

Q={(a,b)|aeS,6eT},从。中任取相异两点与点。组成三角形，在所有组成的三角形中，

任取一个三角形，则其面积恰为1的概率尸=.

13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为尸,43为。上的两点.若直线E4的斜率为;，且

成.丽=0,延长/尸,3尸分别交C于尸,0两点，则四边形尸。的面积为.

14.在正项等比数列{%}中，ax=-,a2+a3,记6“=[log2"a”],其中国表示不超过尤的

2o

16

最大整数，则.

n=l

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-/BCD中，底面/BCD是梯形,

AD//BC,AD=AB=2,CD=%f3,ZBAD=^,侧面尸为正三角形，且与底面NBC。垂直,

£为48的中点，M在尸C上，满足同7=4左(04441).

77

(2)当二面角M—。为二时，求4的值.

4

22

16.已知椭圆C:=+彳=l(“>6>0)的一条准线/的方程为x=4,点48分别为椭圆C的

左、右顶点，长轴长与焦距之差为2.

(1)求C的标准方程；

⑵过/上任一点作C的两条切线，切点分别为。,五，当四边形/。瓦?的面积最大时，求

/4QB的正切值.

试卷第3页，共4页

17.已知函数/(》)=也亨士巴(aeR).

⑴若对Vxe(O,+⑹J(x)〈尤e，恒成立，求实数。的取值范围；

⑵证明：对任意正整数"，不等式[eef斤>3〃；7"恒成立.

18.“友谊杯”围棋擂台赛采取淘汰制，现有2"名选手报名参加比赛(含甲、乙两名选手)，

规则如下：第一轮将所有报名选手任意两两配对对弈，输者淘汰出局，然后将剩下的2片名

胜者再任意两两配对对弈，同样输者淘汰出局……如此下去，直至第〃轮比赛决出一名冠

军.假定每名选手在各轮比赛中获胜的概率均为0.5.

⑴当〃=2时，求甲、乙两人相遇对弈的概率必；

(2)当〃=4i21)时，求甲、乙两人相遇对弈的概率R；

(3)已知当擂台赛报名选手人数分别为2,22,23,…,2"时，甲、乙两人相遇对弈的次数依次是

…,X",记X=》X,,若随机变量X,服从两点分布，且尸(X,=1)=1-尸(％=0)=口，

，=1

i=l,2,，求£(X).

19.对于数列｛0“｝,定义ReN"),满足%=出=1,△(△2,)=/(俏eR),记

2n

axm+a2m+■••+anm,称f[m,")为由数列｛4｝生成的“加-函数”.

⑴试写出“2-函数””2,〃)，并求“2,3)的值;

(2)若“1-函数”〃1川415,求〃的最大值；

⑶记函数S(x)=x+2/+…+〃x",其导函数为S'(x),证明：“加-函

数"fS'(m)-S(m)+(〃?+1)>”

22z=i

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CADCCDBBBCDBC

题号11

答案CD

1.C

【分析】解分式不等式得集合4解根式不等式得集合8,由集合交集及补集运算可得结果.

【详解】由题意知/={尤|(3-x)(尤+2)20,x+2w0,xeZ}={-l,0,l,2,3},5={x|-l<x<3),

则ZcB={T0,l,2},所以电(/门2)={-2,3,4}.

故选：C.

2.A

【分析】根据题，得到z-券=-1-2i,结合复数的运算法则，求得z=再由复

1-122

数模的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，可得Z-"=-l-2i,贝|2=空一1一方=一工一11,

1-11-122

故选：A.

3.D

【分析】由两角和的正弦和两角差的正切展开式化简已知等式，再结合同角的三角函数关系

计算即可.

【详解】由sin(a+工］=变

得sina+cosa=一①.

I4J10

由tan(a-2]=7,得tan[a—Z]=7,即3n0--=7,解得tana=—3,

II1+tancr3

所以sina+4cosa=0②.

43

由①②，得sina=—,cosdf——.

.a小.2a

sin—2sin—

1-C0S6Z.

所以tan£=2_2------------=2.

a仁.aasina

cos——2sin一cos一

222

故选：D.

答案第1页，共19页

4.C

【分析】由条件，解三角形可求/8,8C,PB,将三棱锥尸-/3C补形为长方体，根据长方体

及其外接球的关系可求得三棱锥尸-N8C的外接球半径，结合球的体积公式求结论.

【详解】在V4BC中，NBAC=三,ZACB=三,AC=C,

26

JT

所以/3=/Ctan'=l,所以8c=2.

6

因为25_L平面ABC,AB,3。u平面ABC,

所以尸昆尸5_L5C.

又tanZPAB=273，所以尸8=ABtanZPAB=.

如图将三棱锥尸-/BC,补形为长方体，

则三棱锥尸-/8C的外接球就是长方体的外接球，

长方体的体对角线尸C是长方体的外接球的直径，球心为PC的中点.

又PC?=PB?+BC?=16，即尸c=4,

所以球。的半径为2,

故球O的体积厂=|■兀、2=等.

故选：C.

5.C

【分析】方法一，利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性

质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设“x)=C0S7lX,则

g(x)=sinju,一一对选项进行计算、验证即得.

【详解】方法一：(函数性质判断法)由,0—1)为偶函数，得了(尤-1)=「(-X-1)①.

由g(x)为奇函数，得g(x)=-g(-x).

Xg(A：)=/(JC-1),贝l|/(X-；)=g(X)=-g(-X)=-/(-X-3(2).

答案第2页，共19页

则由①，/(x-2)=/(x-l-l)=/[-(x-l)-l]=/(-x)(*),

由②，/(x-l)=/(x-；-；)=-/[-(X_；)-g]=-/(-x),

故得把X取成x+1,得=③，

于是，/(x-2)=-/(x-l)=/(%),即函数/(无)的周期为2,故B错误;

又因g(x)为R上的奇函数，贝Ug(O)=O,/(x)的周期为2,贝=/(-£|=g(O)=O,

故A错误；

由③得，/(x+1l)=-/(x+J,BP/(x-1)=-/(^+1)-

故〃x+，=-/(x-；)=-g(x).因g(x)为奇函数，故/(x+；)为奇函数，故C正确；

由(*),/(x-2)=/(-x),/(x-2)=/(x),得/(力=/(-尤),即/(x)为偶函数，

又g(x+gj=/(x)，所以g[x+£|为偶函数，故D错误.

方法二：(构造函数法)依题意，可设/(X)=COS7UC,贝1]〃彳-1)=(：05兀(》-1)=-(：05口为偶

函数，

由g(x)=f(x-；)=cos7T(x-；)=sinm为奇函数，且函数/(x),g(x)的定义域均为R,

对于A,/(m)=cos]=0wl,排除A；

对于B,显然/(x)=cosm的最小正周期是2,排除B；

对于C,/(尤+g)=cos7i(x+；)=-sinjtx是奇函数，故C正确；

对于D,g(x+；)=sin7i(x+g)=cos7tr,显然是偶函数，排除D.

故选：C.

6.D

【分析】先求出?+£<0X+f<07l+f,结合正弦函数的零点可得存在整数左，使得

2333

COTI兀，

——+—>H

73

，左£Z成立，故可求。的取值范围.

717

CDTI+—<71+AT7T

I3

【详解】函数/(〉=<：0$"-己)=$也"+々)在惇乃)上无零点,

答案第3页，共19页

加时,CfJTl兀兀兀

当xw-----F—<COX-\——<COTl-\——,

2--333

CDTI兀、7

——+—>

23

由题设可得存在整数左，使得3kEZ成立,

71,,

。兀+—«兀+K71,

3

22

解得——+2k<o)<—+k,k^7u,

33

4

而〃>〉0,故左20且左V—,故左=0,1.

3

2245

当左=0时，——<a)<—；当左=1时，一(。〈一.

3333

(21「45~

结合&〉0可得。的取值范围为u-,j.

故选：D.

7.B

【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.

【详解】由题意可得，ai2,直线尸。的斜率为峪=R

2a+b12(。+2勾=生2b2ay

因为—+—+——+——

ababab)

当且仅当子=年'即"61时'等号成立，所以.J,

即当直线尸。的斜率取最大值时，a=b=g所以/=/+/=|,故—亨.

故选：B.

8.B

【分析】由题意设。=5刈,6=5刃,。=8"7(〃2>0),由余弦定理结合池.而=一28可求出机，

从而可求出。力,c的值，求得VN8C外接圆半径尺，由向量的线性运算、数量积运算化简求

解即可.

【详解】由己知，^a=5m,b=5m,c=8m(m>0),所以V/8C是等腰三角形.

答案第4页，共19页

由余弦定理，得cosZACB=（5机）一+（5⑼一一⑹"了=_7_.

2x5mx5m25

因为昂.丽=-28，所以5小X57〃XCOSN/CS=-28,解得m=2（负值已舍去）,

所以a=10,b=10,c=16.

设V/3C的外接圆半径为R,

因为sinZACB=Jl-cos?乙4cB=.1-(--)2=—,

V2525

所以2R=.二会=所以R=CG=M.

sm/ACB33

由V/3C为等腰三角形知NGC8=LN/C5,

2

所以cos?/GCB=cos2(|ZACB)="。。丁成=★，即cosZGC5=|.

所以CG-C8=|CG||Cfi|cosZGCS=yxl0x-=50.

故选：B.

9.BCD

【分析】根据题中所提供的数据结合极差定义求该月7个品牌新机激活量同比数据的极差判

断A,求该月7个品牌新机激活量数据的平均数和中位数判断B,根据公式求该月“华为”品

牌新机激活量同比增长率判断C,根据公式求去年同期中国市场智能手机新机激活量总量判

断D.

【详解】对于A,同比新机激活量数据的极差为172.9-（-47.5）=220.4,故A错误；

对于B,该月新机激活量数据的平均数为可合410.14,

该月7个品牌新机激活量数据中位数为401.4,故B正确；

对于C,去年同期“华为”品牌新机激活量为401.4-172.9=228.5,

所以同比增长率为4172r9x100%a75.67%>75%,故C正确；

228.5

对于D,设去年同期中国市场智能手机新机激活量为无，由题意可得也二x100%=12.9%,

解得X。2543<2600,故D正确.

故选：BCD.

答案第5页，共19页

10.BC

【分析】由8c1〃£G可知5C1//平面所G,而所nEG=E,故斯与3G不平行，即可

判断A；由线面平行的判定定理证明即可判断B；设正方体的棱长为。，然后由勾股定理证

明跖，4G即可判断C；找到直线跖与平西4巴£9所成的角为N麽归，然后计算正弦

值即可判断D.

【详解】

对于A,如图，连接幺2,取。。的中点G,连接EG,则EG〃/R.

由正方体的性质可知〃血人所以BCJ/EG.因为即CEG=E,

所以此与8G不平行，故A错误.

对于B,如图，设4G与44交于。点，连接尸.

易知。为BQ的中点，所以OF〃g,OF=^AXDX.

因为。=；/£）=,所以OF//DE,OF=DE,

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF〃OD.

因为ODu平面，跖（Z平面班RD,所以EF〃平面3BQQ,故B正确.

对于C,设正方体的棱长为。，由斯〃OD,

可知跖与4G所成的角即为。。与4G所成的角.

如图，连接40.在△。£>4中，

04=OD1=*a,AQ=y/2a,OD=《DD；+OD；='a,

所以。4：+。。2=4。2,所以△O£>4为直角三角形，且NZ）O4=90。，

即OD，4G，所以E尸，4G，故c正确.

答案第6页，共19页

对于D,如图，取4A的中点“，连接EH,FH,易知W_L平面48。］。］.

因为切u平面44G2，所以EHLFH,

所以此与平面48©。1所成的角为.

设正方体的棱长为。，^EH=a,EF=OD=?a,

.EH_a_y［6

所以smZEFH-亘-而［,故D错误.

—a

2

故选:BC.

11.CD

【分析】根据题意，构造函数〃(x)=/@,即可得到〃(尤)是偶函数且在(O,W)上单调递增,

X

结合函数单调性以及对称性即可判断ABC,将方程的根转化为函数图像的交点即可判断D

当x<0时，/(x)>xf(x),即<0.令人(%)='0),

则h，(x)="丁X)<o,所以林X)在(-*0)上单调递减.

X

因为当xe(Y),0)1(0,内)时，〃x)的图像关于原点对称，所以〃-x)=-〃x).

所以//(-戈)=&2-*由=/幻，所以〃(x)是偶函数，

-XX

故〃(X)在(0,+oo)上单调递增.

对于A,由/(-2)=0,可知/(2)=-/(-2)=0,由以上分析可知7/(1)</2)，即半〈与=。,

所以/⑴<0,故A错误.

对于B,由以上分析可知⑶>〃(e),即要>/包,所以^⑶>3/(e),故B错误.

3e

对于C,令x+l=/,则所以=,即g(x)=-ln|x-l|,

因为g(2-x)=-In|2-x-11=-In11-x|=-In|x-11=g(x),

所以g(x)的图像关于直线x=l对称，故C正确.

答案第7页，共19页

对于D,当x=0时，/(O)=-2,而xg(x)=O,故/(尤)hxg(x).

当x*O时，方程/(x)=xg(x)可化为

X

由/(2)=/(-2)=0,可得h(2)=h(-2)=0,

画出函数〃(x)=△2与g(x)=-ln|x-l|的大致图像，如图所示.

X

由图像知，方程△工=g(x),即〃x)=xg(x)有且仅有2个实数根，故D正确.

X

故选：CD.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的性质，包括函数的单调性，奇偶性

以及对称性，难度较大，解答本题的关键在于构造函数〃&)=幺2，然后利用函数的性质，

X

逐一判断.

12.1/0.2

【分析】在坐标平面中画出。中的点，结合点的位置可判断面积为1的点对的个数，再结合

古典概型的计算公式可求P.

【详解】由题意知点集。={(。,则。€邑6"}中共有6个点，

分别记为/(2,1),3(2,3),C(2,5),0(4,1),£(4,3),尸(4,5).

从。中任取相异两点，它们均可与点。组成三角形，故共有C；=15(种)取法，

在这些三角形中，若面积为1,则所取两点不能均来自4民C,或均来自QE,厂,

若选A,则S*OAD=1,OAE二ODE_队ADEODA-2-1=1，

/XOAF/XODFN^DF~^ODA-8―4—1=3,

若选5,贝！J%。如>1,^AOBE=^-X2X3=3>1,

S丛OBF=$AOCF-SM)BC~^CBF~2—2=1,

答案第8页，共19页

若选C,则打OCD>1，5M叱>3CF>1,

故面积为1的三角形共有3个，即△。/。，△。/△△。^尸，故所求概率P=1.

故答案为：y.

【点睛】思路点睛：利用古典概型的概率公式计算概率时，应该用列举法求出基本事件的总

数和随机事件中含有的基本事件的个数，必要时需结合画图或列表等.

13.50

【分析】通过抛物线的焦点坐标，直线用的斜率和直线",/咽的垂直关系，求出对角线

|「/|,|。同；再利用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得.

【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为尸(1,0).

因为直线FA的斜率为1,所以直线AP的方程为y=^x-l),

与抛物线C的方程联立，得/_18》+1=0,所以A=(-18)2-4>0.

设4(匕,必)尸仁,%),则占+.=18,不迎=1,

故|/刊=J1+出-J(X]+X2)2-4X]X2=9X8石=20.

因为成•丽=0，所以冗4_1_五3,

所以直线总的斜率为-2,直线BQ的方程为y=-2(x-1),

与抛物线C的方程联立，得Y-3x+l=0.所以A=(-3)2-4>0.

设8(%,%),0(匕,”)，贝!]%+匕=3,玉面=1,

故忸。|=Jl+(-2)2.J(x3+xj-4x3尤4=V5xV5=5.

所以四边形/的。的面积为斗忸0|=50.

故答案为：50.

14.-98

13

【分析】设等比数列｛册｝的公比为4(4>0)，由/=；,出+。3=?计算出。“，然后根据

ba=[log2/za„]=[log2«-n]=-n+[log2n],计算如…也即可.

【详解】设等比数列｛aj的公比为4(4>°)・

答案第9页，共19页

由题意知，=一,。闯+Q闯2=—,

28

13

整理得W2+W—3=0,解得q=5或夕=—；(负值舍去),

所以“二[10g2wtzn]=[log2w-w]=-w+[log2w].

当”=1时，[Iog2〃]=0；

当2。<4时，[log2«]=1；

当4W<8时，[log2«]=2；

当8«〃<16时，[log2w]=3；

当〃=16时，[log2”]=4.

16

故WX=-(1+2+3+…+16)+1x0+2x1+4x2+8义3+lx4=-98.

«=i

故答案为：-98.

15.(1)证明见解析

(2)^1

2

【分析】(1)取网的中点尸，连接核，AF,证明四边形/DWF是平行四边形，即可求证;

(2)建立空间直角坐标系，用含彳的式子表示M点的坐标，然后求出平面的一个法

向量用含的式子表示，再利用向量夹角公式即可求解.

【详解】(1)证明：当2时，M为PC的中点.

2

如图，连接AD,取P8的中点凡连接

7T

在中，AD=AB=2,NBAD=飞,

TT

所以为等边三角形，所以=

JT

又AD"BC,所以/。5。二一・

3

CDBD

在中，由正弦定理，得

sinZDBCsinZBCD

答案第10页，共19页

V3

所以sm/BCD=BD"BC=工?厂

CD2G2

因为CD=25BD=2.所以/8CD</D8C=g.所以

36

所以/&DC=],所以BC=dBD2+CD2=《22+（2厨=4.

因为M,尸分别为尸C,P8的中点，所以尸N|4BC||/。且尸N=g8C=4）,所以四边形

RWZM为平行四边形，所以〃/尸.

又/尸u平面尸/民〃。仁平面尸48,所以M。//平面P/8.

(2)在V/OE中，ED-=EA2+AD2-2EA.ADcosABAD=3,

所以ET+EZ)2=即胡_L£D.

因为AP/8为正三角形，£为48的中点，所以PEL4B,

又平面尸N8_L平面48cD,平面尸48c平面/2CD=/8,所以尸£_L平面/BCD,所以

PELED,

故以E点为坐标原点，£4E2石尸所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，如图2,

则E[0,0,0),P(0,0,e),D(0,瓜0),5(-1,0,0),C(-3,2百,0),所以历=(0,百,0).

设点、（"o，z。）,由两='的04XV1）.得卜O，%,ZO-6）=〃-3,2!-后，

M(-32,2732,73(1-^)),

所以前=(-32,2显,73(1-2)).

设平面的法向量为*=(x),z),则

〃].EM=-3Ax+2,yl~3A,y(1-彳)z—0

<

n2-ED=y[3y=0

令z=•九,则x=]_4y=o,得/=(1_%,o,,

易知平面EDC的一个法向量为0=(0,0,1),

答案第11页，共19页

解得八三（舍去）或"空.

22

16.(叶+卜

(2)-8

【分析】（1）构造关于。，瓦c的方程组，解出即可；

（2）画出草图，分类讨论，当0位于点48处时，切线与无轴垂直，不合题意，设切线M0

的方程为了-必=左（》-玉），与椭圆联立，由A=0得（X；-4）左一-2%%左+＞；-3=0,。（无］,必）

在C上，知道3x；+4y；=12,得至］」手+节=1,同理得切线处的方程为子+券=1,

进而得到直线0R的方程为x+gy=l,再与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示

36/jog576(?+9)576

即力=42+

出来S四边形=2卜］-y2)A一,借

(^+12^271~~Tv~29

(厂+9+3)t+g+——+6

''t2+9

助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可.

.2

=4,［〃=2,1—

【详解】（1）由题意得，C'解得「所以6=百，

cc010=1，

2a-2c=2,i

22

所以C的标准方程为土+匕=1.

43

（2）如图,取/上任意一点M（4,t）,设。（西,耳）,火H，力）,

当0位于点42处时，切线与无轴垂直，不合题意，故x户±2.

设切线MQ的方程为了-乂=左（尤-不）①，

答案第12页，共19页

江+匕1

联立《43,

y-yx^k（x-x^,

整理得（3+4k~j%-+8左（％—Ax】）x+4（乂—Axj）—12=0,

由A=0,得（X：—4）〃一2xlyik+—3=0.

因为。(占,必)在C上，所以3x；+4y；=12,

_2xi^123XI2+4^2-12_匹弘_3再

故+/rt—靖7刁一FF

代入①式，整理得手+¥=i,同理得切线助?的方程为早+9=1.

4343

因为两条切线都经过M(4,t),所以空+g=l,守+£=1,

所以直线0?的方程为x+(y=l.

联立43整理得J+4卜一24-9=0,

t13J

x+-y=l,、7

I3’

所以弘+为=U^，乂%=-吕7②•显然功与％异号•

，IL乙VIL乙

由题意知/（-2,0）,8（2,0）,所以S四边“LS"+S„=；x4（|R+|M=2Nf|.

设S=2|M-%|,则$2=4|弘-为「=4卜；+货-2乂%）=4［（乂+%）2一4"％］，

36。108576（/+9）_576

将②式代入并整理得S-

户］（/2+9+3）2?2+9+?79+6

9

因为「20,所以易知了=/+9+”己在［0,+8)上单调递增，所以当f=o时，y有最小值,

即S2有最大值，为36.所以当"0时，四边形/纱尺的面积最大，最大面积为6.

此时直线。尺的方程为x=l,故直线力与x轴垂直.

设与0五的交点为尸，显然尸是椭圆的右焦点，

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3

所以|。尸|=忸司=1,|0尸|=5，以司=3,

\AFBF_2

所以tan/4Q/=*^=2,tanZBQF=—

\QFQF3

2+2

tanAAQF+tan/BQF

所以tanZAQB=tan(ZAQF+ABQF)3

1-tanZAQF•tanZBQF1一2x|

17.(1)(-^1]

(2)证明见解析

【分析】（1）把不等式恒成立转化为04/二一21nx-x恒成立，再结合函数的最小值，即可

求出参数范围；

（2）先证明不等式x»l+liu,再取x=d得出eefk>3人+2,最后求和即可证明不等式.

【详解】(1)若对\/尤40,+8),/(无)4疣,恒成立，则型±£±£vxe-'恒成立，

X

即〃Wx2ex-21nx-x恒成立.

记g(%)=x2ex-21nx-x,xG,

贝I」gz(x)=2xex+x2ex---1=x(x+2)^ex-.

i?

记〃(x)=ex——2^XE(O1+e)，则"(x)=ex+—>0,

故小(x)在(O,+e)上单调递增.

X/zQ^=e2-4(0,A(l)=e-l)0,

所以现使得〃(%)=产-1=0,

工1,

即e%==,即x；e'"=l.

x0“

故当xe(O,x0)时,/?(%)<0,即g[x)<0；当xe(x(),+8)时,A(x)>0,即g[x)>0.

所以g@）在（0广。）上单调递减，在优,+S）上单调递增,

所以gCOmin=g(x())=x：e*。-21iUo-Xo=1-lnx：e*。=1,所以。VI.

所以实数。的取值范围是（一吟1].

答案第14页，共19页

（2）由（1）知，当。=1时，xeJ>21nx+x+1（x>0）,BPxV>21nx+x+l,

X

当且仅当X=X。时，等号成立，

而“°&U，所以当x21时，x2ex>21nx+x+1恒成立.

下面证明当％时，x>1+lux.

记加（x）=x—l—lnx,x£[l,+e）,贝！=1_，20,

故加（x）在[1,+8）上单调递增，则m（x）>m（l）=0,

所以当XE[L+。）时，x>1+lux.

2x

故当XE[1,+8）时，Xe>2\wc+x+1>31nx+2.

2k+2k

令x=d,£N*）,贝Ue-.e^=e>3k+2，

所以£e4^〉£（3左+2）-（5+3〃+2）=即卫,

k=\k=\22

所以对任意正整数"，不等式1>八2«>无口恒成立.

k=l2

【点睛】关键点点睛：解题的关键点先证明xNl+lnx,再取x=d得出>3左+2，累加

求和即可证明不等式.

1

18-⑴5

⑵2=/

（3）2-3

【分析】（1）记甲、乙两人在第一轮和第二轮中相遇对弈的事件分别为A和3,则

p2=P（A）+P（AB）=P（A）+P（A）P（B|A）,分别求尸（⑷和尸网7）,代入即得;

（2）设报名选手人数为2"时，甲、乙两人相遇对弈的概率为巳，当"="1时，

pM=P（A）+P（AB）=P（A）+P（A）P（B|A）,分别求尸（⑷和尸（314，代入即得Pm；可得

1

口=”

（3）先求矶无），再由公式E（X）=E[£X],利用等比数列的前〃项和公式计算即得.

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【详解】（1）当〃=2时，报名选手只有4人，其中包含甲、乙.记甲、乙两人在第一轮和

第二轮中相遇对弈的事件分别为A和8,

则p2=P（A）+P（AB）=P{A）+P（A）P（B|A）.

甲、乙两人相遇对弈的情况分为两种：

①甲、乙两人在第「轮中配对，由于4人两两配对的方式共有晨=3（种），故尸（N）=；；

23

②甲、乙两人在第一轮中没有配对，那么他们只有在第一轮中都胜出进入第二轮才有可能配

对，

-111

而第二轮只有两人比赛，所以他们必相遇对弈，此时尸（切/）=5*5=^.

所以

（2）设报名选手人数为2"时，甲、乙两人相遇对弈的概率为。

考虑”=i+l的情况，仍用A和8分别表示甲、乙两人在第一轮比赛和后续比赛中相遇对弈

的事件，

则甲、乙两人相遇对弈的概率Ry尸⑷+?（办）=尸⑷+P（才）P（B|N）.

同样甲、乙两人相遇对弈的情况分为两种：

①甲、乙两人在第二轮中配对，因为2.个人两两配对的方式共有

⑵+))!⑵M-2)!(2__今！2!

40".,…仁=2(2m-2)!丞2用-4)!，2(2讯-§!…“2>0!=(2")!种,

(2,')!-6)-22"(2;)!

1

其中甲、乙两人配对的方式有种，所以尸（/）=

221-1(2!-1)!2,+1-1

②甲、乙两人在第一轮中没有配对，那么他们要想在后续的比赛中相遇对弈，只有