一次函数-2023年中考数学必考题型规律分析与趋势预测

专题10一次函数【必拿分】

一、规律分析

“一次函数”通常出现在天津中考数学填空题部分第16题和解答题部分第23题，主要涵盖以下几个考点:

1.一次函数图象与系数的关系；

2.一次函数解析式与图像变换；

3.一次函数的实际应用。

二、考点详解

1.一次函数图象与系数的关系

(1)在一次函数y=fct+b中，当左>0时,y随x增大而增大。

①当6>0时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。

②当6<0时，直线交y轴于负半轴，过一、三、四象限。

(2)在一次函数y=+b中，当左<0时，y随x增大而减小。

①当6>0时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。

②当b<0时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。

2.一次函数解析式与图像变换

(1)一次函数图象的平移

直线y=Ax+b可以看做由直线｝；=依平移|引个单位得到的。6>0时，向上平移；6<0时，向下平移。

①如果两条直线平行，那么两条直线的斜率A相等，反过来，如果两条直线的斜率％相等，那么两条直线平行。

②平移规律：上加下减，左加右减。

(2)一次函数图象的对称

①直线y=Ax+6关于x轴对称的另一条直线的解析式为y=—kx—b。

推导过程：x不变，》变成即-y=Ax+bny=-kx-b.(横坐标不变，纵坐标是原来的相反数)

②直线y=Ax+b关于y轴对称的另一条直线的解析式为y=-kx+b.

推导过程：y不变，x变成-x,^y=k(-x)+bny=-kx+b.(纵坐标不变，横坐标是原来的相反数)

(3)直线y=Ax+b关于原点对称的另一条直线的解析式为y=Ax-b。

推导过程：x和y都变成相反数，即->=左(-x)+bny=kx-b,(横、纵坐标都变成原来的相反数)

(3)一次函数图象的旋转

①直线y=+b旋转90°所得另一条直线与原直线垂直，斜率乘积为-1,另一条直线的解析式为^=-依+6。

②直线y=Ax+b旋转其他特殊角，例如30°、45。、60°,可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求出旋转后

的坐标，或者直接利用三角函数求解。

3.一次函数的应用

（1）求函数解析式

①文字型：从题干中提取两组有关的量（不同的自变量及对应的函数值）作为一次函数图象上两点，代入解析式中

列方程组求解。

②表格型：从表格中提取对应（通常为同一列）的两组量，代入解析式中列方程组求解。

③图象型：任意找出函数图象上两点，将两点坐标分别代入解析式中列方程组求解。若为分段函数，要分别求出每

一段的解析式，最后注明各段函数图象对应自变量的取值范围。分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数,

要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。

（2）方案选取问题

题干中涉及两个函数解析式，解题方法如下：

①根据解析式分类讨论，比较两种方案在不同取值下的最优结果。

②根据题意列不等式，求出自变量的取值，然后根据题意选取符合题意的自变量的取值，分别代入两个一次函数解

析式中比较，选择最优方案。

（3）利润（费用）最值问题

在自变量的实际取值范围内，根据函数图象的增减性，找出自变量为何值时，函数的最小（大）值。

三、真题在线

1.（2022•天津中考•第16题）若一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则6的值可以是（写

出一个即可）.

解：•.•一次函数y=x+b（6是常数）的图象经过第一、二、三象限，

，6>0,

可取6=1,

答案：1.（答案不唯一，满足6>0即可）

2.（2021•天津中考•第16题）将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为.

解：将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=-6x-2,

答案：y—~6x-2.

3.（2020•天津中考•第16题）将直线y=-2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为.

解：将直线y=-2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y=-2x+l.

答案：y--2x+l.

4.（2022•天津中考•第23题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2物?，超市离学生公寓2切7.小琪从学

生公寓出发，匀速步行了\2min到阅览室；在阅览室停留70加"后，匀速步行了Wmin到超市；在超市停留20min

后，匀速骑行了力返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离比加与离开学生公寓

的时间xmin之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表:

离开学生公寓的时间/冽就585087112

离学生公寓的距离/加70.5——1.6—

(II)填空：

①阅览室到超市的距离为km；

②小琪从超市返回学生公寓的速度为km/min；

③当小琪离学生公寓的距离为1切;时，他离开学生公寓的时间为min.

解：(I)根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12加〃到达离学生公寓1.2h?的阅览室,

.•.离开学生公寓的时间为8加”，离学生公寓的距离是77X8=0.8(km),

由图象可知：离开学生公寓的时间为50〃”"，离学生公寓的距离是1.2g，

离开学生公寓的时间为112M加,离学生公寓的距离是2府，

答案：0.8,1.2,2；

(II)①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8(km),

答案：0.8；

2

②小琪从超市返回学生公寓的速度为,“=0.25Ckm/min),

120—112

答案：0.25；

1

③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为1府时，他离开学生公寓的时间为=1。(加沅);

1.Z—12

当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1加时，他离开学生公寓的时间为112+导=116(min),

答案：10或116；

(III)当0WxW12时,y=0.1x；

当12VxW82时，y=1.2;

o_1o

当82VxW92时，y=1.2+o(x-82)=0.08x-5.36,

yzO—oz

0.1%(0<%<12)

1.2(12<x<82).

(0.08%-5.36(82<x<92)

5.(2021•天津中考•第23题)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12h7,陈列馆离学校20后江李华从学校出发，匀速

骑行0.6/7到达书店；在书店停留0.4〃后，匀速骑行0.5〃到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校;

回学校途中，匀速骑行0.5〃后减速，继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离

ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表：

离开学校的时间/〃0.10.50.813

离学校的距离/前？2——12—

(II)填空:

①书店到陈列馆的距离为km；

②李华在陈列馆参观学习的时间为A;

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为km/h；

④当李华离学校的距离为4左加时，他离开学校的时间为h.

(Ill)当0WxW1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式.

解：(I)由题意得：当尤=0.5时，y=10；当x=0.8时，y=12；当x=3时，》=20；

答案:10；12；20；

(II)由题意得：

①书店到陈列馆的距离为：(20-12)=8Qkm)；

②李华在陈列馆参观学习的时间为：(4.5-1.5)=3(万)；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：(20-6)+(5-4.5)=28(kmlhX

④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为：44-(2+0.6)=看(〃)或5+(6-4)4-[64-(5.5-5)]=

㈤，

答案：①8；②3；③28；

(III)当0WxW0.6时，y=20x；

当0.6VxWl时，y=12；

当1<XW1.5时，设y关于x的函数解析式为了=履+从根据题意，得:

(k+b=12

ll.5fc+/?=20'

*.y=\6x-4,

20x(0<x<0,6)

12(0.6<x<1)

(16x-4(l<x<1.5)

6.(2020•天津中考•第23题)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7和;，图书馆离宿舍1的?.周末,

小亮从宿舍出发，匀速走了7如•"到食堂；在食堂停留16〃”〃吃早餐后，匀速走了5%沅到图书馆；在图书馆停留

30加沅借书后，匀速走了10加〃返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离武心与离开宿舍的时

间xmin之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表：

离开宿舍的时间/冽就25202330

离宿舍的距离/few0.2—0.7——

(II)填空：

①食堂到图书馆的距离为km-,

②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min；

④当小亮离宿舍的距离为0.6如?时，他离开宿舍的时间为min.

(III)当0WxW28时，请直接写出y关于x的函数解析式.

解：(I)由图象可得，

在前7分钟的速度为0.7+7=0.1(km/min),

故当x=5时，离宿舍的距离为0.1X5=0.5(km),

在70W23时，距离不变，都是0.7初7,故当x=23时，离宿舍的距离为0.7痴,

在28WxW58时，距离不变，都是1筋?，故当x=30时，离宿舍的距离为1加，

答案：0.5,0.7,1；

(II)由图象可得，

①食堂到图书馆的距离为1-0.7=0.3(而)，

答案：0.3；

②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3+(28-23)=0.06(km/min),

答案：0.06；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1+(68-58)=0.1am/min),

答案：0.1；

④当0WxW7时，

小亮离宿舍的距离为0.6切?时，他离开宿舍的时间为0.6+0.1=6(min),

当58WxW68时，

小亮离宿舍的距离为0.6痴时，他离开宿舍的时间为(1-0.6)+0.1+58=62(min),

答案：6或62；

(111)由图象可得，

当0WxW7时，y=0.1x；

当7<xW23时，y=0.7；

当23cxW28时，设卜=h+6,

(23k+b=0.7彳导［k—0.06

l28fc+b=1'.lb=-0.68'

即当23cxW28时，y=0.06x-0.68；

ro.lx(0<%<7)

由上可得，当0WxW28时，y关于x的函数解析式是y=1o.7(7<%<23).

(0.06%-0.68(23<x<28)

四、趋势预测

重点关注“一次函数图象的平移”和“一次函数的实际应用”。

7.将直线y=2x-3向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为产2x+2.

解：将直线y=2x-3向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为：y=2x-3+5=2x+2.

答案：y—2x+2.

8.将直线y=-2x-3向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为尸-2x.

解：将直线y=-2x-3向上平移3个单位长度，平移后直线的解析式为：y=-2x-3+3=-2x.

答案：y=-lx.

9.若一次函数y=-2x+b(6为常数)的图象经过第二、三、四象限，则6的值可以是-1(写出一个即可).

解：「一次函数y=-2x+6(6为常数)的图象经过第二、三、四象限，

.'.^<0,b<0.

答案：-1.

1

10.已知一次函数y=(-2a+l)x+5的图象经过第一、二、三象限，则。的取值范围是a

2—'

解：根据题意，得-2a+l>0,

解得a<1,

答案：0〈参

11.已知直线y=fcv+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：尸-x+1（答案

不唯一）.

解：•.•直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小，

.*"<0,b>0,

,符合条件的函数关系式可以为：y=-尤+1（答案不唯一）.

答案：y=-x+1（答案不唯一）.

12.在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（-

2,0）.

解：：将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度的解析式为y=3x+6,

・••当y=0时，x=-2,

・••平移后与x轴的交点坐标为（-2,0）,

答案：（-2,0）.

13.直线y=-2x+5与x轴的交点坐标为（3，0）.

解：令夕=0,则》=今

.,.与x轴的交点坐标为（―,0）.

答案：（|，0）.

14.如图，点8的坐标是（0,3）,将△38沿x轴向右平移至点3的对应点£恰好落在直线y=2x-3

上，则点］移动的距离是3.

解：当y=2x-3=3时，x—3,

...点E的坐标为（3,3）,

AOAB沿x轴向右平移3个单位得到

...点/与其对应点间的距离为3.

答案：3.

15.如图图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上，张强从家出发匀速跑步去体育场,

在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中X表示张强离开家的时间,

y表示张强离家的距离.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表:

张强离开家的时间/min58152040

张强离家的距离/痴11.6221.2

(II)填空：

①张强从家出发到体育场的速度为0.2kmlmin；

②张强在体育场运动的时间为10min；

③张强从体育场到早餐店的速度为0.08km/min；

④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为3或55min.

(III)当0WxW30时，请直接写出y关于x的函数解析式.

解：(I)张强从家跑步去体育场的速度为：2+10=0.2(km/min),

所以离家8分钟时，离家距离为：02X8=1.6(km),

张强离开家的时间/min58152040

张强离家的距离/加11.6221.2

答案：1.6；

(II)根据题意，得：

①张强从家跑步去体育场的速度为：2+10=0.2(kmlmin)；

②张强在体育场运动的时间为：20-10=10(min)；

③张强从体育场到早餐店的速度为：(2-1.2)4-10=0.08(km/min).

④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为：0.6+0.2=3(min)或40+(1.2-0.6)+[1.2+(70-

40)]=55(min)；

答案：①0.2；②10；③0.08；④3或55；

(III)当OWxWlO时，y=0.2x；

当10VxW20时，y=2；

当20cxW30时，设》=履+6,

由题意得：｛舞

130k+b=1.2

解得：[k=-0.08

''1b=3.6

••y=-0.08x+3.6.

p.2x（0<%<10）

综上所述，y=[2（10VxW20）

（-0.08x+3.6（20<x<30）

16.在一条笔直的公路上有/、5两地，甲、乙二人同时出发，甲从N地步行匀速前往8地，到达3地后，立刻以

原速度沿原路返回/地.乙从2地步行匀速前往/地（甲、乙二人到达/地后均停止运动），甲、乙二人之间的

距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题:

（1）/、8两地之间的距离是1200米,乙的步行速度是60米/分:

（2）图中.=900,b=800,c=15；

（3）求线段MN的函数解析式；

（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

解：（1）由图象知：当x=0时，y=1200,

：.A.8两地之间的距离是1200米；

由图象知：乙经过20分钟到达

―1200

，乙的速度为W=60（米/分）.

答案：1200；60；

（2）由图象知：当彳=竿时，y=0,

甲乙二人的速度和为：1200+竽=140（米/分），

设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140-x）米/分,

，140-x==60,

••%—80.

甲的速度为80（米/分），

•.•点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地,

.\c=12004-80=15（分钟）,

."=60X15=900（米）.

V点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，

.•.6=900-（80-60）X5=800（米）;

答案：900；800；15；

（3）由题意得：M（15,900）,N（20,800）,

设线段MN的解析式为夕=履+〃，

.（15k+n=900

"120/c+n=800'

解得.代=一20

解侍,3=1200

线段的解析式为y=-20x+1200（15WxW20）；

64

（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第7-分钟两人相距80米.理由：

①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200-80=1120（米），

.,.11204-140=8（分钟）；

②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80=1280（米），

；.1280+140=亨（分钟）.

64

综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第7■分钟两人相距80米.

17.在一条平坦笔直的道路上依次有4,B,C三地，甲从2地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到/地，

到达/地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟

到达。地，两人均匀速运动，如图是两人距3地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象.

请解答下列问题：

（1）填空：甲的速度为300米/分钟,乙的速度为800米/分钟:

（2）求图象中线段尸G所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范

围；

（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案.

解：（1）根据题意可知。（1,800）,E（2,800）,

，乙的速度为：8004-1=800（米/分钟），

，乙从8地到C地用时：24004-800=3(分钟),

：.G(6,2400).

：.H(8,2400).

，甲的速度为2400+8=300(米/分钟)，

答案：300；800；

(2)设直线/G的解析式为：y=kx+b(后W0),且由图象可知/(3,0),

由(1)知G(6,2400).

.(3k+b—0

"l6k+b=2400'

解得，c

...直线尸G的解析式为：y=800x-2400(3WxW6).

(3)由题意可知，43相距800米，2c相距2400米.

VO(0,0),H(8,2400),

二直线。/7的解析式为：y=3QQx,

,:D(1,800),

二直线。。的解析式为：y=800x,

当OWxWl时，甲从8地骑电瓶车到C地，同时乙从2地骑摩托车到工地，即甲乙朝相反方向走，

.•.令800x+300x=600,解得x=条.

:当2WxW3时，甲从8继续往C地走，乙从/地往2地走，

/.300X+800-800(x-2)=600解得工=噂(不合题意，舍去)

•当x>3时，甲从3继续往C地走，乙从8地往C地走，

.,.300%+800-800(x-2)=600或800G-2)-(300x+800)=600,

解得x=苧或x=6.

618

综上，出发77分钟或百分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米.

18.为抗击疫情，支援8市，/市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往5市.甲、乙两辆货车从/市出发前往8市，

乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达2市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙

车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往8市.乙车维修完毕后立即返回N市.两车离/市的距离y(后相)与

乙车所用时间x(/?)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是1度krnlh,乙车出发时速度是60。加，:

(2)求乙车返回过程中，乙车离/市的距离y(km)与乙车所用时间x(〃)的函数解析式(不要求写出自变量

的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120加7?请直接写出答案.

解：(1)由图象可得，

甲车的速度为：5004-5=100(km/h'),

乙车出发时速度是：3004-5=60Qkm"),

答案：100,60；

(2)乙车返回过程中，设乙车离/市的距离y与乙车所用时间x(A)的函数解析式是^=依+6,

:点(9,300),(12,0)在该函数图象上，

.(9k+b=300

,*il2fc+b=0'

解得忆温

即乙车返回过程中，乙车离/市的距离y(km)与乙车所用时间x(A)的函数解析式是y=-100x+1200；

(3)设乙车出发加小时，两车之间的距离是120面，

当0<%<5时，

100m-60m=120,

解得根=3；

当5,5<w<8时，

100-5.5)+120+300=500,

解得加=6.3；

当9<w<12时，

乙车返回的速度为：3004-(12-9)=100Qkm/h),

100(m-8)+100(m-9)=120,

解得比=9.1；

答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120版?.

19.甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x(〃)，甲、乙两人

距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所

示，请你解决以下问题：

图①图②

(1)甲的速度是25km，,乙的速度是10km"：

(2)对比图1、图2可知：a=10,b=1.5；

(3)请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式(注明x的取值范围).

(4)乙出发多少时间，甲、乙两人相距7.5左加？

解：(1)由图可得，

甲的速度为：254-(1.5-0.5)=25+1=25(物力)，乙的速度为：25+2.5=10(WA),

答案：25,10；

(2)由图可得，

a=25X(1.5-0.5)-10X1.5=10,

b=1.5,

答案：10；1.5；

(3)当0WxW0.5时，y=10x；

甲乙第一次相遇时，