浙江杭州2024年上学期九年级数学期中模拟训练试卷（含答案）

浙江杭州2024年上学期九年级数学期中模拟训练试卷+答案

2024-2025学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期中模拟训练试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

b_3a+b

1.若。万，则a的值等于()

1555

A.一B.一C.-D.一

2234

2.如图，点A在口。上，ZOBC=25°,则/R4C的度数为()

A.55°B.65°C.75°D.130°

3.已知点(一1,%),(-2,%)，(—4,%)在二次函数y=-2必一+的图象上，贝1J()

A.%<%<%B.%<%<%C.D.%<%<%

4.如图，在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6,3c=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与

△ABC相似的是()

A

B乂

BCBC

AA

c

B4CB4C

5.如图，AB是□。的直径，弦CQLA5交于点E.若AE=2,则□。的半径为()

A.3B.4C.5D.6

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6.如图，正方形MNPQ内接于△ABC,点“、N在3c上，点尸、。分别在AC和A5边上，且5c

上的高AD=6,3C=12,则正方形MNPQ的边长为（）

C.4D.3

7.某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安

全”“校园安全”四个主题内容.一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率

是（）

8.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱

桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）3.2m,拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为2m,

则此桥拱的半径是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

第2页/共7页

9.如图，在AABC中，3。平分/ABC,按如下步骤作图：分别以点8,。为圆心，以大于工劭的长

2

为半径在5。两侧作弧，分别交于两点M,N；作直线MN分别与A5,AC交于点E,F,交3。于点

O,连按DE,DR.根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.E。是的中位线B.点。为的重心

C.DE=CFD.BDFC^fiAED

10.已知二次函数丁=。必+5%+。（。/0）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②人2<4"；③

a-b+c<0；®a+b>m（am+b）（m^r）；⑤若方程,必+6x+c|=1有四个根，则这四个根的和为

A.①②B.②④C.③④D.②⑤

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.

II.一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是.

12.若正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的边数是.

13.如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃A5CD的面积最大为

m2-

第3页/共7页

14.如图所示，在矩形A5CD中，AB=10cm,AD=20cm,两只小虫尸和。同时分别从A,8出发沿

AB.5c向终点B,C方向前进，小虫尸每秒走1cm,小虫。每秒走2cm,它们同时出发/秒时，以

P、B、。为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则仁秒.

15.如图，一张扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点。恰好重合，折

痕为CD，则阴影部分的面积为.

。(/)B

16.在矩形A5CD中，AB=4,AD=6,E是3C的中点，连接AE,过点。作。于点E

(1)线段DR的长为；

(2)连接AC,若AC交DR于点贝I］型=________.

AM

三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17.已知如图，D,E分别是DABC的边AB,AC上的点，ZAED=ZB,AD=3,AB=8,AE=4.求

AC的长度.

第4页/共7页

/)

E

/?z---------------------xC

18."唱响红色主旋律，不忘初心担使命."为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精

神风貌.南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动.九年级学生准备选择A.《龙的传人》、B.《祖国

有我》、C.《东方红》、D.《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均

等.

（1）选中《龙的传人》是事件，选中《唱支山歌给党听》是事件（填“不可

能”、“必然”或“随机”）；

（2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方

红》”的概率.

19.在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,ZSABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形口4gC,使△AgC和△ABC位似比为2:1,并写出

点4的坐标；

（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形口432。；则点B所经过的路径长为

20.如图，在中，AB=AC,以AC为直径的口。交A5于点D,交BC于点、E.

第5页/共7页

A

£)

B

（1）求证：=fe；

（2）若BD=2,BE=3,求AD的长.

21.如图，已知抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线1与抛物线交于点C,其中A点

的坐标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（2）设直线1与y轴交于点D,抛物线交y轴于点E,则4DBE的面积是多少？

22.新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套.为了

扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2

套.设每套书降价工元时，书店一天可获利润y元.

（1）求出y与％的函数关系式；

（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？

（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？

23.【问题发现】

（1）如图1,在等腰直角△ABC中，点。是斜边BC上任意一点,在AD的右侧作等腰直角△ADE,使

ZDAE=90°,AD=AE,连接CE,则NA3C和/ACE的数量关系为；

【拓展延伸】

（2）如图2,在等腰△A3C中，=BC,点。是3c边上任意一点（不与点B,C重合），在AD的

右侧作等腰△ADE,使Ar>=DE.,ZABC=ZADE,连接CE,贝U（1）中的结论是否仍然成立，并说

明理由；

【归纳应用】

第6页/共7页

(3)在(2)的条件下，若AB=BC=6,AC=4,点£>是射线3c上任意一点，请直接写出当

CD=3时CE的长.

24.如图，AABC是。。的内接正三角形，点尸在劣弧BC上(不与点2,C重合).

(1)如图1,若以是。。的直径,则PB+PC(请填“>”，"=”或“<”)

(2)如图2,若以不是。。的直径，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请说明理由：如果成

立，请给出证明.

(3)如图3,若四边形ACP8的面积是16b.

①求外的长；

②设产S"CB+‘SOCA,求当尸C为何值时，y的值最大？并直接写出此时。。的半径.

4

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2024-2025学年第一学期浙江省杭州市九年级数学期中模拟训练试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

b_3a+b

1.若。万，

a的值等于（）

15

A.-D.-

24

【答案】B

【解析】

b3

【分析】根据一=—可设a=2左力=34（Aw0）,再代入计算即可得.

a2

【详解】解：由题意，可设。=24,6=3左（左/0）,

故选：B.

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键.

2.如图，点A在口。上，NOBC=25°,则NR4c的度数为（）

D.130°

【答案】B

【解析】

【分析】利用等腰三角形的性质可得NOBC=NOC8=25。，从而利用三角形内角和定理可得

ZBOC=130°,然后利用圆周角定理进行计算即可解答.

【详解】解：：OB=OC,

NOBC=ZOCB=25°,

NBOC=180°—ZOBC-NOCB=130°，

第1页/共26页

ABAC=-ZBOC=65°,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对

的圆心角的一半是解题的关键.

3.已知点(-1,弘)，(-4,%)在二次函数丁=-2%2_8%+m的图象上，则()

A.%<%<%B.%<为<%C.D.%<%<必

【答案】C

【解析】

【分析】由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为％=-2,利用二次函数的性质，求解即可.

【详解】解：二次函数y=—2必一8x+m,

-8c

则a=—2<0,开口向下，对称轴直线为x=-2义(_2)=-2，

则函数图象上的点，离对称轴越远函数值越小，

点(-1,%),(-2,%),(―4,%)到对称轴的距离分别为：1、0、2,

则%<%<必，

故选：C

【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质.

4.如图，在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6,5c=12,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与

△ABC相似的是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可.

【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12.

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A.因为£=£=▲,对应边必=2=3,1^-,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与aABC

BC122BC12424

不相似，故此选项错误；

4426?

B.因为耘=%=§,对应边罚=§=：,XZA=ZA,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相

似，故此选项正确；

44AB9343

C.因为——=-,对应边——即：一W一,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不

AB9BC12494

相似，故此选项错误；

D、因为3=2,对应边4g=9=,，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与aABC不相似，

635c12232

故此选项错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相

似是解题关键.

5.如图，A3是口。的直径，弦CD1AB交于点E.若AE=2,则□。的半径为（)

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接。C,设口。的半径为R,则OE=R-2,根据垂径定理

得出CE=DE=4,根据勾股定理得出OC2=CE2+O£2,即可作答.能熟记垂直于弦的直径平分这条

弦是解此题的关键.

【详解】解：连接。C,

设口。的半径为R,则OE=R—2,

CDLAB,A5过圆心O,

AZOEC=90°,CE=DE=4,

第3页/共26页

由勾股定理得：OC2^CE2+OE-,

即R2=42+®2）2,

解得：R=5,

即口。的半径长是5,

故选：C.

6.如图，正方形MNPQ内接于△A3C,点“、N在3C上，点尸、。分别在AC和A3边上，且5C

上的高AD=6,3c=12,则正方形"NPQ的边长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设正方形边长为％,则QP=NP=x,证

_OPAp1x6—X

明四边形EDNP是矩形，得出ED=PN=x,证明口AQP—ABC,得出幺=——，即一=——,

BCAD126

解出工的值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：设正方形边长为x,则QP=NP=x,

•.•正方形MNPQ内接于△ABC,5c上的高AD=6,

ZADC=ZPND=ZEPN=90°,QP//MN,

..・四边形EDNP是矩形，

ED=PN=x,

•••QP//MN,

/\AQP^AABC,

,"=丝，即土=3,

BCAD126

解得：尤=4,

,正方形MNPQ的边长为4,

第4页/共26页

故选：c.

7.某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安

全”“校园安全”四个主题内容.一班推荐李明与张颖参加手抄报评比，他们两人选取同一个主题的概率

是（）

【答案】B

【解析】

【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中李明与张颖他们两人选取同一个主题的结果有4种，再

由概率公式求解即可.

【详解】解：把“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容分别记为A、B.C、

D,

画树状图如下：

开始

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中李明与张颖两人选取同一个主题的结果有4种,

41

，李明与张颖两人选取同一个主题的概率是丁=-,

164

故选：B.

第5页/共26页

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两

步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.

8.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱

桥，此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)3.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2m,

则此桥拱的半径是()

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

【答案】B

【解析】

【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、

推理或解答.设圆心为。，作于点。，的延长线交圆弧为点C,设半径为Hm,根据垂径

定理得AO=BZ)=L6m,0D=(2-R)m,由勾股定理得：7?2=1,62+(2-7?)2,即可求出答案.

【详解】解：如图，设圆心为。，作0DLA5于点。，。。的延长线交圆弧为点C,则C为优弧A5的

0D=(2-R)m,

由勾股定理得：0A2=0D-+AD2，

R2=1.62+(2-/?)2,

解得：R=1.64,

故选：B.

9.如图，在△ABC中，3。平分/A3C,按如下步骤作图：分别以点8,。为圆心，以大于,必的长

第6页/共26页

为半径在3。两侧作弧，分别交于两点M,N；作直线MN分别与A3,AC交于点£,F,交BD于点、

O,连按DE,DF.根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.ED是AABC的中位线B.点。为kABC的重心

C.DE=CFD.HDFC^OAED

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定、平行线分线段成比例等

知识，本题中根据作图方法判断出“MN是线段8。的垂直平分线”是解题的关键.

根据作法得到MN是线段5。的垂直平分线，则3£=。区BF=DF,所以NEBD=NEDB,再结合

NEBD=NCBD可得ZEDB=ZCBD,贝UDE〃,同理。尸〃A3,所以

ZC=ZADE,ZFDC=ZA即DDFC—AED,据此即可解答.

【详解】解：根据作法可知：是线段8。的垂直平分线，

:.BE=DE,BF=DF,

NEBD=ZEDB,

3。平分NA3C,

NEBD=NCBD,

ZEDB=ZCBD,

DE//BC,同理：DF//AB,

：.ZC=NADE,ZFDC=ZA,

J.UDFC^AED,即。选项一定成立，符合题意；

：DE〃5C,但点E不一定是AB的中点，则ED不一定是△ABC的中位线，故A选项不符合题意；

3。平分NA3C,二重心是三角形三边中线的交点，故B选项不符合题意；

不能说明点F是BC的中点，故C选项不符合题意.

故选D.

10.已知二次函数丁=以2+公+。（。/0）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②丛<4ac;③

第7页/共26页

a-b+c<0；④。+。>根(a根+⑤若方程,/+法+c|=1有四个根，则这四个根的和为

A.①②B.②④C.③④D.②⑤

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程.从图象中获取正确的信息是解题的

关键.

b

由题意知，a<0,c>0,——=1,则0=—2a>0,abc<0,进而可判断①的正误；由函数图象与x

2a

轴有2个不同的交点可知+有两个不同的实数根，进而可判断②的正误；当x=-1时，

y<Q,可得a—Z?+c<0,进而可判断③的正误；当x=l时，二次函数的函数值最大，贝。

a+b+c>am2+bm+c(m1),进而可判断④的正误；如图，y=,必+>x+c］的图象在x轴的上方，

方程的四个根，从小到大依次记为七、%、不、％,贝！%,%、%均关于直线％=1对称，则这四个根

的和为4,进而可判断⑤的正误.

b

【详解】解：由题意知，a<0,c>0,-----=1,

2a

••b——2a>0,

Aabc<0,①错误，故不符合要求；

,**ax2+Z?x+c=0有两个不同的实数根,

・・・□=/—4ac>0,即从>4〃c，②错误，故不符合要求；

当x=—1时，y<Qf

a-b+c<0,③正确，故符合要求；

当尤=1时，二次函数的函数值最大，

Atz+Z?+c>am2+bm-st-c(m1),即a+Z?>加机+Z?)w1),④正确，故符合要求；

第8页/共26页

:方程|<7X2+Z?X+c|=1有四个根，从小到大依次记为X：%2、x3、无4，

为、X4,%、均关于直线X=1对称，

•••这四个根的和为4,⑤错误，故不符合要求；

故选：C.

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.一只蜘蛛爬到到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是.

【解析】

【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9,黑色色区域的面积3,则白色区域的面积为9-3=6,

然后根据概率的定义（反映随机事件出现的可能性大小）计算即可.

【详解】解：设每小格的面积为1,

整个方砖的面积为9,

黑色区域的面积为3,

白色区域的面积为9-3=6,

最终停在白色区域上的概率为：-=

93

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积％再

计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率

第9页/共26页

m

n

12.若正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的边数是.

【答案】六##6

【解析】

【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都是360度是解答本题的关键.根据任

意多边形的外角和都是360度求解即可.

【详解】解:360°+60°=6.

故答案为：六.

13.如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃A3CD的面积最大为

BI-------------------------------1。

【答案】48

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽A3为x米，长3c为

（24-3x）米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可.

【详解】解：设篱笆的宽A5为x米，长3c为（24-3x）米，

S=x（24-3x）=-3x?+24x=-3（x-4）2+48,

:墙长不限，

当x=4时，24—3x=12,S值最大，止匕时5=48.

故答案为：48.

14.如图所示，在矩形A3CD中，AB=10cm,AD=20cm,两只小虫P和。同时分别从A,8出发沿

AB.3C向终点2,C方向前进，小虫P每秒走1cm,小虫。每秒走2cm,它们同时出发r秒时，以

P、B、。为顶点的三角形与以A、C、。为顶点的三角形相似，则仁秒.

第10页/共26页

【答案】2或5##5或2

【解析】

【分析】要使以尸、B、。为顶点的三角形与以A、C、。为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分

析.分别是NPBQ-ACDA或△Q5P〜△CD4,从而解得所需的时间.

【详解】解：①若NPBQ〜△CD4,

PBBQ

则nl而=痴，

即比工=工£,解得仁5；

1020

②若AQBP〜ACDA,

PBBQ

则nl罚=而‘

即史工=4,解得f=2.

2010

故答案为：2或5.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

15.如图，一张扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点。恰好重合，折

痕为CD,则阴影部分的面积为

【答案】9出-3兀

【解析】

【分析】连接OD,如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和C。所围成的图形的面积等于弧。。、线

段OC和CO所围成的图形的面积，AC=OC,则OO=20c=6,CD=36,从而得到NCDO=30°,

NCOO=60°,然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CO所围成的图形的面积=S扇形AO。-

第11页/共26页

SACOD，能进而求出答案.

【详解】解：连接O。，如图,

・・•扇形纸片折叠，使点A与点。恰好重合，折痕为CD,

：.AC=OC,

OD=2OC=6,

・，.CD—56?-3?=3G，

・・・NC£>0=30°,ZCOD=60°,

...由弧A。、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形4OD-&COD=S左虫，x3X3百=6ir一则i,

36022

阴影部分的面积为9°万＞6一一2义（6it一见3=9g—3m

3602

故答案：96-3兀.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面

积.记住扇形面积的计算公式.也考查了折叠的性质，注意：圆心角是,半径为厂的扇形的面积S

nnr~

^60^

16.在矩形A3CD中，AB=4,AD=6,E是3C的中点，连接AE,过点。作。R，AE于点E

（1）线段DR的长为；

（2）连接AC,若AC交DR于点则?幺=

8

24一

®.5®.9-

【解析】

第12页/共26页

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理；

(1)利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；

(2)延长DR交CB的延长线于K,利用相似三角形的性质求出KE,再利用平行线分线段成比例定理求

解即可.

【详解】(1)根据题意，画出下图：

•/AB=4,AD=6,BE==3,

2

AE=5,

ADABAEDFADAB

..=Z=Z，3口AOE=

故答案为：；

(2)若AC交。方于点〃，延长。尸交延长线于点K,如图所示:

1Q7

EF=AE-AF=5——=—,

55

­/ZKEF=ZAEB,/EFK=/ABE=9。。,

.□KEF/AEB,

.KE_EF

,~AE~~BE9

7

5-3

第13页/共26页

7izr

:.CK=KE+EC=—+3=—,

33

AD〃CK,

.CM_CK_8

"AM~AD~9'

三、解答题：本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.

17.已知如图，D,E分别是DABC的边A5,AC上的点，ZAED=ZB,AD=3,AB=8,AE=4.求

AC的长度.

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意得到ZA=ZA,可得

BADE^CACB,即可解题.

【详解】ZAED=ZB,ZA=ZA,

UADE^UACB.

AD:AC=AE:AB,

•：AD=3,AB=8,AE=4,

A3:AC=4:8,

AC=6

18."唱响红色主旋律，不忘初心担使命."为宣传红色文化教育，展示青少年听党话、跟党走的良好精

神风貌.南昌市某校举办了“红五月”大合唱展演活动.九年级学生准备选择A.《龙的传人》、B.《祖国

有我》、C.《东方红》、D.《我和我的祖国》四首歌曲中的两首进行合唱，已知每首歌曲被选中的机会均

等.

（1）选中《龙的传人》是事件，选中《唱支山歌给党听》是事件（填“不可

能”、“必然”或“随机”）;

（2）请你用列举法、列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求“选中《祖国有我》和《东方

红》”的概率.

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【答案】（1）随机，不可能

⑵工

6

【解析】

【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念求解即可；

（2）画树状图，这次选择所有等可能的结果共有12种，其中“选中《祖国有我》和《东方红》”的结果

有2种，再由概率公式求解即可.

【小问1详解】

选中《龙的传人》是随机事件，选中《唱支山歌给党听》是不可能事件；

故答案为：随机，不可能

【小问2详解】

根据题意画树状图如下:

开始

BCDACDABDABC

从树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中选中《祖国有我》和

《东方红》的结果：即BC、CB,有2种，

P（选中《祖国有我》和《东方红》）=--=—.

126

【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件和不可能事件的概念.树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试

验.用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

19.在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,ZSABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形口4片。，使和△ABC位似比为2:1,并写出

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点A的坐标；

(2)作出AABC绕点C逆时针旋转90°后的图形口儿与。；则点3所经过的路径长为.

【答案】⑴见解析,(3,-3)

(2)后我

2

【解析】

【分析】本题考查了作图-位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键.也考查了旋转变

换.

(1)延长AC到A使CA=2AC,延长BC到B［使CB】=2BC,则□人印。满足条件；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、2的对应点&、B2,从而得到口45。，然后根据弧长公式计

算点B所经过的路径长.

【小问1详解】

解：如图，口4用。为所作，

点A的坐标为(3,-3)；

故答案为：(3,-3)；

【小问2详解】

解：如图，□A32c为所作，

CB=Vl2+42=V17，

所以点B所经过的路径长=90x1x717=叵兀.

1802

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历71

故答案为:

2

20.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的口。交A5于点。，交BC于点、E.

A_____-

uk\\/

//\I।\\，/

BEt

（1）求证：0）石=酝；

⑵若BD=2,BE=3,求AD的长.

【答案】（1）见解析（2）7

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；

（2）只要证明口3EZ）SDB4C,可得些=也，由此即可解决问题.

BABC

【小问1详解】

证明：为口。的直径,

ZAEC=9Q°,

：.AELBC,

AB=AC,

：./BAE=ZCAE,

•*-0E=fe；

【小问2详解】

解:连接OE,

BE=3,

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BC=6,

：/BED=NBAC,

而/D8E=/CR4,

:.UBEDTBAC,

BEBD32

..-,即an=一

BABCBA6

BA=9,

AZ）=9—2=7.

【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

填空常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

21.如图，已知抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线1与抛物线交于点C,其中A点

的坐标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线1与y轴交于点D,抛物线交y轴于点E,则4DBE的面积是多少？

【答案】（1）抛物线的解析式为y=xJ4x+3；（2）6.

【解析】

【分析】（1）把A点和C点坐标代入y=ax2+bx+3可得到关于a、b的方程组，然后解方程求出a、b即可得

到抛物线解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线1的解析式，再利用坐标轴上点的坐标特征求出D、E、A、B的坐标，然

后根据三角形面积公式求解.

【详解】解：（1）•.•抛物线y=ax?+bx+3经过点A（1,0）,点C（4,3）,

a+b+3=Q[a=1

《，解得＜

[16a+4b+3=3[b=-4

所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3；

（2）设直线1的解析式为y=kx+m（k，0）,

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k+m=0k=l

把A(1,0),点C(4,3)代入得〈解得《

4k+m=3m=-1

直线1的解析式为y=x-1,

当x=0时，y=x-1=-1,则D(0-l),

当x=0时,y=x2-4x+3=3,ft!)E(0,3),

当y=0时，x2-4x+3=3,解得x1=l,X2=3,则B(3,0),

.♦.△DBE的面积=』x(3+1)x3=6.

2

/\D

22.新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套.为了

扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施.若一套书每降价1元，平均每天可多售出2

套.设每套书降价工元时，书店一天可获利润丁元.

(1)求出y与％的函数关系式；

(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？

(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？

【答案】(1)y=-2x2+60x+800

(2)书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元

(3)每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元

【解析】

【分析】(1)由总利润=每套利润x销售量可列出函数关系式；

(2)由(1)可知丁与x的函数关系式，令y=1200,即可求出x,进而得到定价;

(3)根据二次函数性质可得答案.

【小问1详解】

由题意可知：

丁=(140—x-100)(20+2x)=-2x2+60x+800

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y与X的函数关系式为y=—2炉+60%+800.

【小问2详解】

令-2/+60%+800=1200

解得％=10,%=20

.•.140—%=130,140—4=120

答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元.

【小问3详解】

y=-2x2+60%+800=-2（x-15）2+1250,

-2<0

.•.当x=15时，丁有最大值1250,止匕时140—x=140—15=125,

答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式.

23.【问题发现】

（1）如图1,在等腰直角NNBC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使

ZDAE=90°,AD=AE,连接CE,则NA3C和/4CE的数量关系为；

【拓展延伸】

（2）如图2,在等腰△ABC中，AB=BC,点。是3c边上任意一点（不与点8,C重合），在AD的

右侧作等腰△ADE,使AD=DE.,ZABC=ZADE,连接CE,则（1）中的结论是否仍然成立，并说

明理由；

【归纳应用】

（3）在（2）的条件下，若AB=BC=6,AC=4,点。是射线5c上任意一点，请直接写出当

CD=3时CE的长.

AAA

BDDCBC

图2备用图

【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2

【解析】

【分析】（1）利用SAS证明AABD咨AACE,得BD=CE；

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(2)先证明/BAD=/C4E,再证明△43。8\4。七得二二=丁，从而二大=广，然后再证明

2ACAEACAE

□ABD七ACE可证结论成立；

AflAnARAn

(3)先证明/BAO=NC4E,再证明AABCs^A。片得大二大，从而大二大，然后再证明

ACAEACAE

UABD田ACE可证结论成立.

【详解】解：(1)相等，:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE