三角函数的图象与性质（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第03讲三角函数的图象与性质

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第7题,5分正弦函数图象的应用图象交点问题

函数奇偶性的定义与判断

求余弦（型）函数的奇偶性

2024年新II卷,第6题,5分函数奇偶性的应用

余弦（型）函数的图象及应用

根据函数零点的个数求参数范围

求含sinx（型）函数的值域和最值

2024年新II卷，第9题,6分求正弦（型）函数的对称轴及对称中心求函数零点及方程根的个数

求正弦（型）函数的最小正周期

2023年新I卷，第15题,5分余弦函数图象的应用根据函数零点的个数求参数范围

正弦定理解三角形

2023年新I卷，第17题,12分用和、差角的正弦公式化简、求值

三角形面积公式及其应用

由正（余）弦函数的性质确定图象

2022年新I卷，第6题,5分无

（解析式）

求正弦（型）函数的对称轴及对称中心

求在曲线上一点处的切线方程

2022年新H卷，第9题,5分利用正弦函数的对称性求参数

（斜率）

求sinx型三角函数的单调性

2021年新I卷，第4题,5分求sinx型三角函数的单调性无

2020年新I卷，第10题,5分由图象确定正（余）弦型函数解析式无

2020年新H卷，第11题,5分由图象确定正（余）弦型函数解析式无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-11分

【备考策略】1能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质

2能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质

3理解y=Zsin（5+0）+〃中2、。、。、〃的意义，理解2、。、①、〃的变化对图象的影

响，并能求出参数及函数解析式

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加

强复习备考

______________知识点1三角函数的图象与性质

核心知识点「知识点2三角函数型函数的图象与性质

考点1正弦型函数的图象与性质

考点2余弦型函数的图象与性质

考点3正切型函数的图象与性质

核考点考点4求三角函数的解析式及函数值

考点5由三角函数的图象求参数值

考点6三角函数图象与性质的综合应用

知识讲解

1.三角函数的图象与性质

y-sinxy=cosxy=tanx

jL

yy

图4

¥2.

象7

00

「xr1\

定

\747

义RR<xx^k7r-\-—.keA>

域

值

Hl][-1』R

域

77

当x=2k兀-\——时，

2

当x=2k兀时，

最Jmax=1-当

》max=l；当X=2bf+"既无最大值也无最小值

值

兀--

x=2k时>Xnin=T•

2

时，Nmin=T•

2.三周角

函期2〃27171数

型性函

数奇的

图偶奇函数偶函数奇函数象

和性性

7171

在2k兀---,2左〃+一

(1)JE[22」在［2k7T-肛2上句上是增函弦

单J7711711

型上是增函数；数；在kji,kjiH—函

调122)

余

数、_.71..3乃在［2左肛2k兀+句上是减函

性在2人乃+——，2左〃+——上是增函数.

弦22型

数.

函上是减函数.数

性质

对对称中心（左肛0）对称中心（左乃+二,o］对称中心（文,01

12)12）

称JI

对称轴x=k兀+—

性2对称轴x-kn无对称轴

y-Asin(s+0)+%,y=Acos(s+0)+/z

z振幅，决定函数的值域，值域为[-4z]

2〃

0决定函数的周期，T=Ml

如+0叫做相位，其中。叫做初相

（2）正切型函数性质

7T

y=Ztan（（m：+9）+〃的周期公式为：7=二

闷

（3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质

考点一、正弦型函数的图象与性质

典例引领

1.（2024•上海・高考真题）下列函数/（x）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

cl.sm•2x+cos2xrL\）.si•n2x-cos2x

2.（2024•全国•高考真题）函数/（x）=sinx-6cosx在［0,兀］上的最大值是

3.（2021•全国•高考真题）下列区间中，函数/（x）=7sin[x单调递增的区间是（）

713兀

A.B.5"C.D.苓2乃

TT

4.⑵24•全国•高考真题）（多选）对于函数小…5和g（2m（2xR下列说法中正确的有（

A./（%）与g（x）有相同的零点B./（%）与g（x）有相同的最大值

C./（%）与g（x）有相同的最小正周期D.7（%）与g（x）的图象有相同的对称轴

（2022•全国•高考真题）（多选）已知函数/（x）=sin（2x+e）（0<°〈兀）的图像关于点（由]中心对称，则

5.

)

A./a）在区间单调递减

/（X）在区间（若，詈

B.有两个极值点

7兀

C.直线X是曲线》=/（X）的对称轴

6

直线v=^-x是曲线y=〃x）的切线

D.

即时检测

1.（2021•全国考真题）函数/（x）=sin]+cosm的最小正周期和最大值分别是（

A.3兀和行B.3兀和2C.6兀和行D.6兀和2

it

2.（2024•天津•高考真题）已知函数/(x)=sin3COXH---（。>0）的最小正周期为兀.则“X）在的

312o

最小值是（）

733

B.C.0D.-

22

与y=2si“3x的交点个数为（

3.（2022全国•高考真题）当)€[0,2何时,曲线y=sinx)

A.3B.4C.6D.8

己知/（x）=；sin2x,关于该函数有下列四个说法:

4.（2022・天津•高考真题）

①/⑴的最小正周期为2兀；

②小）在日亨上单调递增;

73V3

③当xe7，?时，，⑴的取值范围为-

63-4A--4A-；

④/（x）的图象可由g（x）=1sin（2x+》的图象向左平移2个单位长度得到.

243

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024・河北唐山•二模）函数/(x)=sin(2x-°)|^|<^在"北上为单调递增函数，则夕的取值范围为

2

)

71717171

A.B.C.D.

2，-66*452%

考点二、余弦型函数的图象与性质

典例引领

L（2023•天津•高考真题）已知函数V=/（x）的图象关于直线x=2对称，且/（x）的一个周期为4,则

的解析式可以是（）

7171

A.sin-XB.cos-X

7171

C.sin-XD.cos-X

2.（2022・北京•高考真题）已知函数/（x）=cos?%-sir?x,则（

A./（x）在卜万,一石）上单调递减B.在-工上单调递增

I412；

C./（X）在（0,0）上单调递减7t7%

D./(%)在上单调递增

cos^-2x127r7T

3.（2024・全国•二模）已知函数/（%）=XGy,j，则函数/（x）的单调递减区间

为一

4.（2024•陕西安康•模拟预测）已知函数/（x）=2cos（2x+《

范围为（）

5兀5兀57i11K2兀5兀5兀

A.B.C.D.—，兀

125Tn'12T51212

5.（2024•江苏扬州•模拟预测）（多选）已知函数〃x）=2cos2，则（）

A.最小正周期为27r

B.尤=£是/（x）图象的一条对称轴

6

普,1）是/（x）图象的一个对称中心

C.

7171

D./(%)在上单调

454

即时检测

1.（2024•全国•模拟预测）函数/（》）=-3,cos的单调递增区间为（）

717兀71j/

A.kn-一,左兀+一，左£ZB.KrJI+—.KTI+-，左£Z

36」_63

7兀7717兀7

C.kn-——,/C7l-------，左£ZD.KTI-------,kit+—,keZ

12121212

2.（2021•北京•高考真题）函数/（x）=cos%-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为三D.偶函数，且最大值为总

OO

已知函数〃x)=2cos13x+.J在0,2

3.（2024•福建漳州•一模）上单调递减，则实数。的最大值为（）

6

2兀4兀5兀3兀

A.——B.C.—D.—

3T32

（多选）已知函数/（x）=sin[2x+：）+2瓜,2

4.（2024•浙江•模拟预测）•OSX+则以下结论正确的为

)

A.“X）的最小正周期为兀

B.“X）图象关于点

4兀3兀

/(x)在

C.T'T上单调递减

117r

D.将/（X）图象向左平移*个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数

考点三、正切型函数的图象与性质

典例引领

1.(2024•上海,三模)函数y=tan(-x+£)的最小正周期为

O

(2024・安徽•三模)=+是"函数"tan(x+e)的图象关于信

2.对称"的()

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(多选)若函数/("=则(

3.tan2x.+3,)

A./(x)的最小正周期为兀

〃X)的定义域为号+”,左eZ

B.

Iloz

兀3兀

C./(x)在上单调递增

16516

的图象关于点总,0卜寸称

D.

4.关于函数J=/(x),其中/(x)=tan|x|+|tanx|有下述四个结论:

①“X)是偶函数;②在区间上是严格增函数;

③在［-阳兀］有3个零点；④“X)的最小正周期为兀.

其中所有正确结论的编号是().

A.①②B.②④C.①④D.①③

5.函数/(x)=tan(sinx+cosx),则下列说法正确的是()

A.的定义域为RB.“X)是奇函数

C.7(x)是周期函数D./(x)既有最大值又有最小值

即

jr

1.(2024•湖北荆州•三模)函数/(x)=tan(2x+§)的最小正周期为()

兀兀71

A.兀B.-C.一D.-

236

己知函数/'(x)=tan(2x+gj,则下列说法正确的是

2.(2023•河南・模拟预测))

B./(x)在区间展,已上单调递增

A./(x)为奇函数

C.〃x)图象的一个对称中心为D.的最小正周期为n

IJTTT\

3.(多选)已知函数/(x)=tan［+］卜1,则()

A.的一个周期为2B.的定义域是卜|xw；+匕左eZ：

C.的图象关于点g,l)对称D.在区间［1,2］上单调递增

9.(2024•湖南长沙二模)已知函数/。)=211(%+砂［。>0,0<e<^|的最小正周期为2兀，直线x=三是

〃x)图象的一条对称轴，则〃x)的单调递减区间为()

C.71c,571

A.2A71——,2A71H---(丘Z)

5兀2兀

B-2kn-——，2左兀------（左GZ）

33

4兀G7兀

C-2ATE-——,2KTI——（左€Z）

33_

（ci兀CT271

D.2ATI——,2ATIH——(左£Z)

考点四、求三角函数的解析式及函数值

典例引领

-一

L(2023•天津•高考真题)已知函数丁=/(x)的图象关于直线x=2对称，且/(X)的一个周期为4,则/(%)

的解析式可以是()

A.singx］B.cos吃x)

.(7T\%)

C.sinu—%)D.cosu—x)

2.(2024・北京•高考真题)设函数/(x)=sins(@>0).已知/(xj=-1,/(x2)=l,且上-司的最小值为

7T

:则。二()

2

A.1B.2C.3D.4

3.（2021・全国,高考真题）已知函数/'（x）=2cos（5+9）的部分图像如图所示，则满足条件

＞0的最小正整数x为

4.（2023•全国•高考真题）已知函数/（x）=sin（（yx+。），如图/,3是直线＞=：与曲线了=/（x）的两个交

5.Q022•全国•高考真题）记函数〃x）=sin（血+?J+6（。＞0）的最小正周期为7.若年＜7＜"，且y=/（x）

的图象关于点ef中心对称，则/目=（）

35

A.1B.一C.一D.3

22

712兀

6.（2023•全国•高考真题）已知函数/（x）=sin（ox+9）,（o〉0）在区间工,单调递增，直线x=F和x=¥

6363

5兀

为函数＞=/（x）的图像的两条相邻对称轴，则/

12

1

B.——c

A-42-I

即时检测

1.（2024•陕西西安•模拟预测）已知函数/（x）=/sin（0x+e）（/>0,。>0,附〈兀）的部分图像如图所示，则

C.0

2

/7t\

2.（2024・重庆•三模）已知函数/（x）=/sin（@x+。）［/>0,。>0,-5<。<］）的部分图像如图所示，若

3.（2024•全国•模拟预测）已知直线x=^,x=］是函数/3=然讽5+。）\>0,。>0,|同<3图象的两条

相邻的对称轴，且人计H卜-七则〃0=（）

A.->/3B.^3C.—1D.1

4.（2024・安徽•三模）已知函数/（x）=2sin（ox+e）（0>O,|d<1的部分图象如下图所示，若曲线y=〃x）

过点B10,吟,。（再,〃%）），D（X2,/（X2））,且〃再）=一〃％）=-；，则C°S（2』-2X2）=

()

3不

Lr•-----

8。・彳

5.（2024•广东汕头•三模）已知/,B,C是直线了=加与函数/（x）=2sin（ox+9）（»>0,0<夕<兀）的图

象的三个交点，如图所示.其中，点N（0,后），B,C两点的横坐标分别为和三，若工2-玉=；,贝U（）

TT

C./（X）的图象关于（兀,0）中心对称D./（X）在［0,万］上单调递减

考点五、由三角函数的图象求参数值

典例引领

1.（2024•辽宁葫芦岛•二模）已知函数/（x）=cos（0x+e）（0>O,O<e<|J的部分图象如图所示，若VxeR,

/（X+〃7）=-/（X）,则正整数加的取值为（）

2.已知函数/（x）=/sin（ox+。）（/>O,0>O,O<e<|J的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为

U，与X轴的一个交点的坐标为设M,N为直线y='与〃x）的图象的两个相邻交点，且=

3.（2024•河南周口•模拟预测）如图，直线y=T与函数/（x）=4sin（2x+e）（4>0，|d<?的图象的三个

相邻的交点分别为4B,C,其横坐标分别为孙，xB,%,且%-4=2（/-猫）=与，则。的值为（)

71

D.~3

即时检测

71

1.（2024•山西长治•一模）已知函数/（x）=/sin（s+0）（/>0,。>0,|如<5）的部分图象如图所示，若方程

7T

/（x）=加在［-］⑼上有两个不相等的实数根，则实数〃?的取值范围是（）

A.[-2,-73]B.(-2,-73]C.(-2,-1]D.[-2,-1]

2.（2024•湖北武汉•模拟预测）若函数/（x）=sin0x+瓜OSGX侬>0）在区间［。向上是减函数，且

/(/?)=-1,b-a=7i,则0=()

2

A.B.C.1D.2

33

3.(2024・河南信阳•模拟预测)已知/(x)=/sin+8(/>0,。>0,8为常数)，/(%)_=/(^)=3,

/«in=/（^）=-l>且比-对的最小值为;，若〃x）在区间卜目上恰有8个零点，则的最小值为

4.（2024•河南三门峡•模拟预测）已知函数/（x）=/sin（0x+e）（/>0,。>0,闸<兀）的部分图象如图所示，将

“X）的图象向左平移?个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间［0内上的值域为卜点2］,贝/

考点六、三角函数图象与性质的综合应用

1.（2024・河北唐山•一模）已知函数/（%）=卜in0x|+cos@x（0>O）的最小正周期为"，则（）

JT7T

A.“X）在-石=单调递增B.是〃X）的一个对称中心

OO

C.在-沈的值域为口向D.x1是〃x）的一条对称轴

2.（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）已知函数〃x）引sin2x|+l,将的图象向左平移;个单位长度,

「9互］

得到函数g（x）的图象，若关于X的方程g（x）=Q（〃£R）在0,—上有5个实数根，占，x2,x3,x4,x5

|_OJ

（%!<x2<X3<x4<X5）,贝°石+2（%2+%3+%4）+%5=（）

9兀cr-7兀ru

A.—B.6JiC.—D.5K

22

3.(2024•天津红桥•一模)将函数，(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移]单位，得到函数

g(x)=sin(2x+9)[o<e<5j的部分图象(如图所示).对于V%,x2e[a,b],且芯W七，若g(xj=g(%),

都有g(xi+%)=e成立，则下列结论中不正确的是()

A.g(x)=sin^2x+y^

B./(x)=sin^4x-

3兀

C.g(x)在7T,y上单调递增

D.函数，(x)在0,—的零点为再,％2,…，/，则石+2%2+2%3T---2x〃_i+X”=

4.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=co&x———,现给出下列四个结论：

COSX

①/(X)的图象关于点曰04寸称；

②函数Mx)=/㈤的最小正周期为271；

③函数g(x)=2/(x)+|〃x)|在向上单调递减；

④对于函数83=2/(》)+|73|山€(0,3,3忖(刈=8(X+兀).

其中所有正确结论的序号为()

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

5.(2024・广西贵港•模拟预测)(多选)设函数/(x)的定义域为R,/(X-；)为奇函数，"x+》为偶函数，

44

TT7T4

当xe(-],1|时，f(x)=cos-x,则()

3兀

A.f(x+47t)=f(x)B.〃幻的图象关于直线x=T对称

4

C./(x)在区间(二,2兀)上为增函数D.方程/(x)-lgx=0仅有4个实数解

即时检测

1.（2024•山东滨州•二模）已知函数/a）=sin（s+.（G>0）在［0,2可上有且仅有4个零点，直线x=.为函

数片/⑴图象的一条对称轴，则扑（

)

]_

A.B.C.

22

2.（2024•吉林长春•模拟预测）已知函数"x）=sin（ox+0）（0>O）满足：对VxeR,有

若存在唯一的。值，使得y=在区间+m（机>0）上单调递减，则实数加

的取值范围是（）

/八兀1f7171-|（7171If7171

I12J（2812J（2012J（2820J

3.（2024•广西•模拟预测）已知函数/z（x）=cos2无+asinx-g（aN；）,若力（x）在区间（0,〃兀）（〃eN*）内恰好有

2022个零点，则"的取值可以为（）

A.2025B.2024C.1011D.1348

4.（2024•山东烟台•三模）若定义在R上的函数“X）满足：亨）=°，且对任意为，x2eR,

都有了（西+苫2）+/（再一%）=4/（%）./1%+m）则（）

A./（0）=0B./（x）为偶函数

C.兀是〃x）的一个周期D.〃x）图象关于x=£对称

5.（2024•江西吉安,模拟预测）（多选）己知函数/（x）=sinx|sinx|-cos2x,则（）

A./（X）的图象关于点（兀,0）对称

B./（x）的值域为［-1,2］

C.若方程/（耳=-；在（0,加）上有6个不同的实根，则实数加的取值范围是］一,一

6

D.若方程卜⑴1-2妙'（x）+/=1geR）在（0,2劝上有6个不同的实根X,（7=1,2,…,6）,贝I］的取

Z=1

值范围是（0,3兀）

IN.好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024•江苏南通•模拟预测）下列函数中，以兀为周期，且其图象关于点卜寸称的是（）

A.»=tanxB.y=\sinx|C.=2cos2x-lD.y=sinx-cosx

2.(2024・陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=cos25-Gsin2®+l®>0)的最小正周期为兀，则/(x)

的图象的一个对称中心为（）

A.B.C.3D.

3.（2024•天津北辰•三模）已知函数〃x）=V^sin2元cos2x+cos22无，则下列结论不正确的是（)

A.的最小正周期为

B./（x）的图象关于点1对称

C.若是偶函数，则，=2+与，keZ

D./⑺在区间0,；上的值域为［0』

7171

4.（2024•福建泉州•一模）己知函数Ax）的周期为兀，且在区间

693内单调递增，则〃x）可能是（

兀

A./(x)=sinL—1B./(x)=cosx~~

C./(x)=sinf^x~~

D./(%)=cos2x--

l3

5.（2024・江苏盐城•模拟预测）函数）=cosx与丁=电忖的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

6.（2024•吉林长春•模拟预测）函数/（x）=Nsin（ox+e）［/>0,0>0,同<1的部分图象如图所示，下列说

法正确的是（）

B.函数/(x)的最小正周期为2%

C.函数/⑴在上单调递减

D.函数/(x)的图象上的所有点向左平移匚个单位长度后，所得的图象关于了轴对称

二、多选题

7.(2024•辽宁鞍山•模拟预测)已知函数/(x)=siiu-cosx,则()

A.是奇函数B.“X)的最小正周期为2无

C.〃尤)的最小值为-1D./⑺在上单调递增

8.(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/口)=5皿21+。)(0＜。＜兀)的图像关于点［*0

中心对称，则

()

A./(x)在区间［诊，立■)单调递减

B./⑺在区间(-卞岩)有两个极值点

57r

C.直线X=?是曲线y=/(x)的对称轴

D.直线＞=x+乎是曲线了=/(x)在x=0处的切线

9.(2024•江苏泰州•模拟预测)己知函数/(x)=cos2x+cos12x+g：则()

A.函数/(x)的图象关于点1对称

77r

B.将函数/(x)的图象向左平移一个单位长度后所得到的图象关于y轴对称

C.函数在区间［o,可上有2个零点

D.函数/(x)在区间［g,乎］上单调递增

_3o

10.(2024・浙江•模拟预测)已知函数〃x)=cos(ox+T(0>O),则()

A.当。=2时，/口-胃的图象关于x=5对称

B.当0=2时，/(x)在「0用上的最大值为"

L2」2

C.当x=£为/(x)的一个零点时，。的最小值为1

O

D.当/(x)在［-1彳］上单调递减时，。的最大值为1

能力提升