2022年安徽中考数学压轴题汇编：解答题三（原卷版+解析）

2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（安徽考卷）

05挑战压轴题（解答题三）

L（2022•安徽宣城）如图1,在四边形ABC。中，=,点E在边BC上，且AE//CD,DE//AB,

作CF〃AD交线段AE于点R连接BF.

(1)求证：AABFmAEAD；

(2)如图2,若AB=9,8=5,ZECF=ZAED,求BE的长;

RF

如图3,若的延长线经过AD的中点求笠的值.

EC

图2

2.（安徽省2020年中考数学试题）如图1.已知四边形ABCD是矩形.点E在B4的延长线

上.AE=AO.EC与5。相交于点G,与A。相交于点厂,AF=AB

（1）求证：BDLEC；

（2）若A3=l,求AE的长；

（3）如图2,连接AG,求证：EG-DG=y/2AG-

图1图2

3.(安徽省2019年中考数学试题)如图，R/S48c中，0ACB=9O°,AC=BC,P为EIABC内部一点，且

0APB=0BPC=135°

(1)求证：0B4B00PBC

(2)求证：PA=2PC

(3)若点尸到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为历，①，Jn,求证历2=的也

4.(安徽省2018年中考数学试题)如图1,R/a48c中，0ACB=9O。，点。为边AC上一点，。国钻于点E,

点M为2。中点，CM的延长线交A2于点厂

(1)求证：CM=EM；

(2)若I38AC=5O。，求团加F的大小；

(3)如图2,若回n4£EHCEM,点N为CM的中点，求证：AN^EM

5.(2017•安徽)已知正方形，超©旗，点M•为边.£8的中点.

(1)如图L点G为线段C'V上的一点，且3雅藩=颤户，延长HG，BG分别与边BC，CD交于点£，

①求证：BE=CF；

②求证：BEZ=BCCE-

(2)如图2,在边3c上取一点E，^^BE:=BCCE＞连接HE交CV于点G，连接3G延长交CD

DC

于点尸，求帼a%㉘:雳的值.

跟踪训练

1.(2022•江西南昌•九年级期末)已知正方形ABCD与正方形AE/G,正方形AE/G绕点4旋转一周.

(1)如图1,连接BG、CF,

①求*的值；

BVJ

②求SBHC的度数.

(2)当正方形AEPG旋转至图2位置时，连接C尸、BE,分别取CF、BE的中点M、N,连接MN,猜想MN

与BE的数量关系与位置关系，并说明理由.

2.(2022•辽宁大连•八年级期末)0ABe是等边三角形，点。、E分别在边AC、BC上,且AD=CE,连接

AE.3D交于点冗

图2图3

⑴如图1,求BBFE的度数;

AF

⑵如图2,连接CR当C睨3。时，求一的值；

BF

⑶如图3,点尸在线段AE上，连接CP,且CP=AF,在图中找出与线段AP相等的线段，并证明.

3.(2022•重庆南开中学八年级开学考试)在平行四边形ABC。中，连接2。，若2。回CZ),点E为边A。上

(1)如图1,点G在BD上，MDG=DC,连接CG,过G作G/fflCE于点X,连接。X并延长交A2于点M,

若HG=BM,求证：BM+6DH=DB；

(2)如图2,0ABe=120。，43=6，点N在BC边上，BC=4CN,若CE是SDC8的角平分线，线段P。(点

尸在点。的左侧)在线段CE上运动，PQ=用连接如NQ,请直接写出如PQ+QN的最小值.

4.(2022•江苏•无锡市东林中学八年级期末)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点8(0,3).点P

从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点0从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、

。两点同时出发.

备用图

⑴连接AQ，当0ABQ是直角三角形时，则点。的坐标为;

(2)当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时04。尸的度数；

⑶若将A尸绕点A逆时针旋转，使得P落在线段8。上，记作P,且APSP。求此时直线尸。的解析式.

5.(2022•江西赣州•九年级期末)在WAABC中，ZABC=90°,AB=BC,点E在射线上运动.连接AE,

将线段AE绕点E顺时针旋转90。得到EF,连接CF.

BE

图2备用图

(1汝口图1,点E在点B的左侧运动.

①当BE=1,3C=6时，贝i」N£AB=

②猜想线段C4,5与CE之间的数量关系为.

(2)如图2,点E在线段CB上运动时，第(1)问中线段C4,3与CE之间的数量关系是否仍然成立？如果

成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系.

1.(2021•河南信阳•一模)如图，在MBC中，SBAC=120°,AB=AC=26,将绕点A逆时针旋转a

得到0AOE,连接20,EC,8。的延长线交EC的延长线于点E

(1)【问题发现】如图①，当a=60。时，线段与EF的数量关系是,SBFE=；

⑵【类比探究】当0ABe旋转到如图②所示的位置时，请判断线段与斯的数量关系及SBPE的度数，并

说明理由；

(3)【问题解决】当A£HBC时，请直接写出线段8尸的长.

2.(2021•河南省实验中学模拟预测)实践操作：

第一步：如图1,将矩形纸片ABCD(AB>A£>)沿过点A的直线折叠，使点。落在A3上的点皿处，得到折

痕AE.

第二步：如图2,将图1中的图形沿过点B的直线折叠，点C恰好落在印上的点M处，B尸为折痕，延长

万〃交直线AE于点N.

问题解决：

⑴如图1,填空：三角形AED的形状是；

(2)如图2,若AB=8,AD=5,求FN的长.

提升反思：

爱动脑筋的小敏同学用不同形状的矩形纸片按照题中第一步、第二步的方法折叠并延长

4D

FM,发现有些点N不在线段A£上.若要使点N落在线段A石上(不含端点)，请直接写出售的取值范

AB

围.

3.(2021•重庆巫溪•八年级期末)如图，AABC是等腰三角形，AB=CB,点。在直线AC上运动，点E为

线段上一定点，连接DE,作ADEF,使DE=FE,ZDEF=ZB,连接CF.

(1)如图1,在AC上取点G,使EG=EC,求证：DG=CF；

(2)如图2,当点。在线段AC上，点F位于直线AC的上方时，求证：ZDCF=2ZA；

⑶如图3,当点。运动到线段AC的延长线上时，求证：CF-CD为定值.

4.(2022•黑龙江•哈尔滨市第四十七中学八年级开学考试)已知AABC中，AC=BC,/4CB=90。，点G

为线段2C上一点，连接AG,过点B作3DLAG,交AG的延长线于点D连接CD

ccc

M

图1图2图3

（1）如图1,求证：ZADC=45°.

（2）如图2,当/3CD=15。时，将△ACD沿翻折得到点C与点E为对应点，OE与AB交于点F,

求证：BF=EF.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接C尸交于历过点H作于若W+DM=4求AF的长.

5.（2022•吉林•长春外国语学校九年级开学考试）【感知】已知四边形ABC。中，fflA=EC=90°.求证：A、B、

C、。四点在同一个圆上.

李明同学认为：连结B。，取2。的中点。，连结。4、OC来证明，请你按照李明的思路完成证明.

【拓展】如图，在正方形A8C。中，AB=8,点尸是中点，点E是边A8上一点，7T13CE于点尸.

（1）如图②，当点P在线段8。上时，PC=；

（2）如图③，过点P分别作46、8c的垂线，垂足分别为N、M,则MN的最小值为.

2022年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(安徽考卷)

05挑战压轴题(解答题三)

1.(2022・安徽宣城)如图1,在四边形ABCD中，ZABC=/BCD,点、E在边BC上，且AE//CD,

DEIIAB,作CF//AD交线段AE于点/，连接2足

(1)求证：AABF^AE4D；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的长；

BF

(3)如图3,若2尸的延长线经过AD的中点M,求会的值.

【答案】(1)见解析；(2)6；(3)1+&

【解析】

(2)证明利用相似三角形的性质即可求解；

(3)延长而W、E£»交于点G.易证AABESSCE,可得四="=四；设CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得==AF=CD=a；再证明△M4B0&WDG,根据全

等三角形的性质可得OG=AB=S；.证明△E4Bs4F£G,根据相似三角形的性质可得

£=售，即/不二丁不，解方程求得x的值，继而求得等的值・

FEEGa(x-l)〃(x+l)EC

(1)证明：\-AE//CD,

:.ZAEB=ZDCE；

\-DE//AB,

..ZABE=/DEC,N1=N2,

・・・ZABC=/BCD,

:.ZABE=ZAEB,/DCE=/DEC,

.,.AB=AE,DE=DC,

VAFI/CD,AD//CF,

，四边形AFCD是平行四边形

AF=CD

:.AF=DE

在尸与中.

AB=EA

<Z1=Z2,

AF=ED

△ABFmdEAD(SAS)

(2)-.AABF^AEAD,

:.BF=AD,

在。AFCD中，AD=CF,

:.BF=CF,

:./FBC=/FCB,

又・.・N尸CB=N2,Z2=Z1,

,\ZFBC=Z1,

在AEBF与AEAB中.

(ZEBF=Zl

[ZBEF=ZAEBf

.'.AEBF^AEAB；

EB_EF

•西一商；

・・・AB=9,

:.AE=9；

・・・CO=5,

.\AF=5；

:.EF=4,

.EB_4

••~~—一，

9EB

.•.3E=6或-6(舍)；

(3)延长BM、ED交于点G.

•••△ABE与"XE均为等腰三角形，ZABC=ZDCE,

/.AABE^ADCE,

.ABAEBE

,DC~~DE~~CE'

设C£=l,BE=x,DC=DE=a,

则AB=AE=ax,AF=CD=a,

EF=a{x-V),

•:ABIIDG,

/.Z3=ZG；

在与△MDG中，

N3=/G

<N4=N5,

MA=MD

/.AMAB^AMDG(AAS)；

DG=AB=ax.

EG=a(x+l)；

•：ABIIEG,

:AFABsAFEG,

FAAB

~FE~~EG

a_ax

a(x-l)a(x+l)'

：.x(x-Y)=x+l,

/.—2x—1=0,

.•.(1)2=2,

/.x=1+V2,

AJ=1—^2(舍)，=1+^2,

BE=l+a.

EC

2.（安徽省2020年中考数学试题）如图1.已知四边形A3CD是矩形.点E在B4的延长

线上.4石=4。.石。与3。相交于点6,与相交于点£=

（1）求证：BDA.EC-,

（2）若A5=l,求AE的长；

⑶如图2,连接AG,求证：EG-DG=y/2AG-

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）91；（3）见解析

2

EAAF

（2）设AE=x,禾U用矩形性质知A项BC,则有——=—,进而得到x的方程，解之即可；

EBBC

（3）在上截取EH=DG,进而证明EIEHAEBDGA,得至幅及出=回£>47,AH=AG,则证得E1H4G

为等腰直角三角形，即可得证结论.

（1）国四边形48C。是矩形,

00BA£)=0£AD=9Oe,AO=BC,ADSBC,

在团E4厂和团D45,

AE=AD

<ZEAF=ZDAB,

AF=AB

REE4FH3D48(S4S),

团团匹二团3D4,

mBZ)A+0ABZ)=9O5,

团团E+B1A5D=9O9,

团团EG5=90&,

团3G0EC；

(2)设心元,则止1+x,BC=AD=AE=x,

®A/naBC,0E=0E,

fflEAmEBC,

EAAF

回——=——,XAF=AB=1,

EBBC

x1

0------=-即12_X_]=0,

1+XX

解得：x=3l,%=匕立(舍去)

22

即心匕虫；

2

(3)在EG上截取EH=Z)G,连接AH,

在I3E4”和I3D4G,

AE=AD

<ZHEA=ZGDA,

EH=DG

回回£4770回94G(SAS),

团团EAH二团DAG,AH=AGf

团团EAH+团D4%90&,

回团DAG+团DAH=90。，

团团H4G=903

团团GAH是等腰直角三角形，

^AH2+AG=GH2BP2AG2=GH?，

团GH二y/2AG,

^\GH=EG-EH=EG-DG,

^EG-DG=y/2AG-

3.(安徽省2019年中考数学试题)如图，R/SABC中，M。3=90。，AC=BC,尸为0ABe内部

一点，且0ApB=E18PC=135°

(1)求证：0B4B00PBC

(2)求证：PA^2PC

(3)若点P到三角形的边AB,BC,C4的距离分别为历，fe,〃3,求证历2=生力3

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析.

PAPBAB

(2)根据(1)中SR4B回SP8C,可得一=—=—,然后由0ABe是等腰直角三角形，可

PBPCBC

得出任=后，易得以=2PC；

BC

(3)过点P作PD02C,PE3AC交BC、AC于点。，E,首先由RZ0AEP0R他C。尸得出

PEAP星汽h.AB/-

——二—=2,即e=2,再根据团以5酿尸BC可得出台=二二，2,整理即可得到

DPPCh2h2BC

2

h1=h2h3.

解：(1)团她。5=90°,AC=BC,

团团A5C=45°=回P84+回产3C

又0Ape=135°,

团团R13+团产B4=45°,

mPBC^PAB,

X00APB=0BPC=135°,

00B4B00PBC；

(2)00B4B00PBC,

PAPBAB

0——=,

PBPCBC

在m48c中，AC=BC,

AB/-

0-V2,

BC

国PB=0PC,PA=V2PB

0fi4=2PC；

(3)

过点P作尸Z丸BC,PE^AC3CBC.AC于点O,E,

WCPB+^APB=135°+135°=270°,

团团APC=90°,团团EAP+团ACP=90°,

又回0AC3=0ACP+团产8=90°

团团胡尸二团PC。，

^Rf^AEP^Rf^CDP,

PEAPh小

团——=——=2,BP:--2,[?]h3=2h2

DPPCh2

^PAB^PBC,

回JL_=^?.=啦,/.h1=A/2h2

2

h2BC

22

即h1=2h2=2h2•h2=h2h3.

4.（安徽省2018年中考数学试题）如图1,R烟ABC中，MC5=90。，点。为边AC上一点,

。碰AB于点E,点M为瓦）中点，CM的延长线交A5于点尸

（1）求证：CM=EM；

(2)若回A4C=50。，求团EM尸的大小；

(3)如图2,若回D4硼团点N为CM的中点，求证：AN^EM

【答案】(1)证明见解析；(2)0EMF=1OO°；(3)证明见解析.

【解析】

(2)根据直角三角形两锐角互余可得M3040。，根据CM=MB,可得团二团

从而可得团CMD=2回C5M,继而可得团CME=2团CR4=80。，根据邻补角的定义即可求

得回EM尸的度数；

(3)由回。AEMICEM,CM=EM,回/汨4=90。，结合以及已知条件可得回DEM

是等边三角形，从而可得回EDM=60。，0MBE=3O°,继而可得她CM=75。，连接AM,

结合A氏EM二MB,可推导得出AOAM,根据N为CM中点，可得4V0cM,再根

据CMEM,即可得出4V0EM.

(1)团M为50中点，

1

R詹OC3中，MC=-BD,

2

R周DEB中〜，EM=—1BD,

2

^\MC=ME；

(2)®BAC=50°,0ACB=9O°,

团[M8C=90°-50°=40°,

^CM=MB,

^\CMD=^MCB^CBM=2^\CBMf

同理，WME=1^EBM,

团团CAffi=2团C8A=80°,

0[?1EA/F=18OO-8OO=1OOO；

(3)^DAE^CEM,CM=EM,

^AE=EM,DE=CM,^\CME=^DEA=90°,^\ECM=^ADEf

^CM=EM,^AE=ED,团团DAE=0ADE=45°,

S0ABC=45°,0ECM=45°,

^CM=ME=-BD=DM,

2

DDE=EM二DM,

酿。EM是等边三角形，

00EDM=6O°,

团团M5E=30°,

团团MC8+RL4CE=45°,

^\CBM^MBE=45°,

^ACE=^MBE=30°,

O

^\ACM=^\ACE+^ECM=15f

连接AM,^AE=EM=MBf

^\MEB=^EBM=30°f

1

^AME=-^MEB=15\

2

团团CME=90°,

OO

^\CMA=90-15=75°=^ACM9

^\AC=AMf

帆为CM中点，

0AA421CM,

0CM21EM,

5.(2017•安徽)已知正方形J5C。，点A/为边.iff的中点.

(1)如图1,点G为线段CJ/上的一点，且NXGB=90。，延长MG,3G分别与边BC，

CD交于点E，F.

①求证：BE=CF；

②求证：BE:=BCCE-

(2)如图2,在边3。上取一点E，满足3E：=3CCE，连接ME交CA/于点G，连

接3G延长交CD于点F，求tan上CBF的值•

【答案】（1）详见解析；（2）tan/c即'=止1

【解析】

试题分析：⑴①利用ASA判定证明两个三角形全等；②先利用相似三角形的判定，再利用

相似三角形的性质证明；（2）构造直角三角形，求一个角的正切值.

试题解析：⑴①证明：回四边形且BCD为正方形，0JB=BC，乙4BC=/BCF=90°，

又乙1G3=9O°，国/合正+乙区?=90°，又乙13G+NCBF=90°，团NS勰=/?锻门

回ZUBE丝△BC尸（ASA）,0B£=CF.

②证明：团乙IG8=9O°，点If为月B中点，回"G=.3=.U5,团NGH/=NJGM，

又回/庭辎=/廓融S',从而NCGE=/CGB,又/ECG=/GCB,回△CGEs/^CBG，

回罩=需，即跳"跳犍撼，由4'蹬=4酬;'“留庶，得辔=匕6

由①知，3£=CF,回瀚=CO,回BE：=BC-CE-

⑵解：（方法一）

延长M，DC交于点N（如图1）,由于四边形.43CD是正方形，所以知“CD,

团/好=/密国，又NCEV=/BEd,©△CEXS^BEA，

故砺=丽’即郎"=AB。,

回韶=BC，糜'二,鸵鹿蟠，回CV=3E,由AS〃。、知,

又H/=.T四，团R=CV=3E,不妨假设正方形边长为工,

设B£=x,贝岫BE：=BCCE，得x：=l-(l-x),

解得A亨，行亨（舍却唠;竽

于是皿X即啜嘿=亨

（方法二）

不妨假设正方形边长为1,设BE=x,则由比：=BCCE，得X：=L（1-X）,

解得演=艾」，工=二勺（舍去）,即班=正二，

一一一

1/VT1TO[

作燔¥//篇爵交.43于,V（如图2）,则△J£VGs2kU5C，团在•二三二彳，

AGBC2

解得丁=合，回G1/=；，从而GJ/=.l£4=MB，此时点G在以期为直径的圆上,

团△月GB是直角三角形，且乙1G3=90°,

由⑴知BE=CF，于是tan/CM=££=主=五二1

BCBC2

第”■答案康2

考点：（1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性质；（3）求一个角的三角函数

值.

跟踪训练

1.（2022•江西南昌•九年级期末）已知正方形ABC。与正方形AE尸G,正方形AEFG绕点A

旋转一周.

图1E图2E

⑴如图1,连接2G、CF,

①求*的值；

②求SBHC的度数.

(2)当正方形AEPG旋转至图2位置时，连接CRBE,分别取CP、BE的中点A/、N,连接

MN,猜想与8E的数量关系与位置关系，并说明理由.

【答案】⑴①拒；②45。；

(2)BE=2MN；BE1,MN；理由见解析

【解析】

②由①得出0AB=SABG,回CAB=45。，最后用三角形的内角和定理，即可求出答案；

(2)过点C作af〃EF,由"ASA"可证EiaffiHa-WE,可得CH=EF,ME=HM,由"SAS"

可证EIBCHEEBAE,可得BH=BE,SCBH=SABE,由三角形中位线定理可得结论.

(1)

①如图1,连接ARAC,

回四边形ABC。和四边形AEFG都是正方形，

0AC=V2AB,AF=y/2AG-0CAB=0GAF=45O,0BAD=9O°,

ACAF

WCAF=^BAG,—=——，

ABAG

回团CARIEAAG,

CFr~

0------=5/2;

BG

②EAC是正方形ABC。的对角线，

aa42c=90°,a4CB=45°,

在回BC/f中，0BHC=180°-(EHBC+0HCB)

=180°-(EHBC+0ACB+EIACF)

=180°-(EHBC+0ACB+0ABG)

=180°-(0ABC+0ACB)

45°；

(2)

BE=2MN,MN^BE；

理由如下：如图2

连接ME,过点C作CQSEF,交直线ME于。，连接8。，设CF与交点为尸，CT与AG

交点为凡

ECg0£F,

00FCe=0CFE,

团点M是CP的中点，

^CM=MF,

又团团CMQ=MME,

^1CMQ^\FME(ASA),

国CQ=EF,ME=QM,

^\AE=CQf

团。。回Eb，AG0EF,

团CQtZLAG,

mQCF=^\CRA,

她。回5C,

^\BCF=BAPRf

团团3C。=^\BCF+^\QCF=IMP7?+团ARC,

团团DAG+MPR+她RC=180°,BBAE+WAG=180°,

^\BAE=^\BCQ,

又国BC=AB,CQ=AE,

团团BC。酿5AE(SAS),

⑦BQ=BE,^\CBQ—^\ABEf

团团。3片=团。朋=90°,

团MQ=ME,点N是BE中点，

⑦BQ=2MN,MN^\BQf

^BE=2MNfMN^BE.

2.(2022•辽宁大连,八年级期末)0ABe是等边三角形，点。、E分别在边AC、BC上，且

AD=CE,连接AE、BD交于点、F.

⑴如图1,求助庄的度数；

AF

(2)如图2,连接CF当C咫3。时，求一的值；

BF

(3)如图3,点尸在线段AE上，连接CP,且CP=A区在图中找出与线段AP相等的线段,

并证明.

【答案】(1)60。

(3)BF^AP,见解析

【解析】

(2)在上截取BH=AF,连接AH,由全等的性质可知ZABH=ZCAF.即可利用"SAS"

证明△ABH^CAF,由此得出ZBAH=ZACF.再根据三角形外角性质可证明

ZAHF=NEFC,从而可求出4MF=30。，由等角对等边可得出诙=毋\从而即得出

AF1

而一/；

(3)过A作AGLBD延长线于G,过C作CH，AE延长线于H,由全等的性质可知

△ABD/ACE，即得出ZABD=ZCAH,从而可证AlSG^Z\CAH(A45)，得出AG=CH,

BG=AH.进而可证△AGE丝△CHP(HL),即得出PG=P”,由BG—FG=AH—PH,即

得出BF=AP.

(1)

回AABC是等边三角形，

I3AB=AC,/8AC=NC=60°.

又国AD=CE,

0AABD^ACAE(SAS).

SZABD=ZCAE,

^ZBFE^ZABD+ZBAF.

BZBFE=ZCAE+ZBAF=ZBAC=600■,

⑵

如图，在5尸上截取5H=AF,连接A",

^IAABD^CAE,

国NABD=NCAE,即ZABH=NC4F.

又团AB=AC,

团Z\ABH^Z^CAF(SAS),

^\ZBAH=ZACF.

⑦ZAHF=ZABH+ZBAH,ZEFC=ZACF+ZCAF,

回NAHF=NEFC,

@ChBD,

团ZEFC=ZBFC-ZBFE=90°—60。=30°,

团Z4HF=30。，

团ZHAF=ZBFE-ZAHF=60°-30°=30°,

回AF=HF.

⑦BF=2BH=2AF,

AF1

0----=—；

BF2

(3)

BF=AP.

证明：过A作AG，6。延长线于G,过。作CHLAE延长线于“，如图,

团△AB。丝ACE,

^\ZABD=ZCAH,

又E]NG=〃=90°,AB^AC,

回AABG^△C4H（A4S）,

SAG=CH,BG=AH.

又13Ap=CP,

HAAGF^ACHP（HL）

BFG=PH,

®BG-FG=AH—PH,即BE=AP.

3.（2022•重庆南开中学八年级开学考试）在平行四边形A8CO中，连接80,若8ZBC。,

(1)如图1,点G在上，J.DG=DC,连接CG,过G作GH0CE于点H,连接。X并延

长交AB于点M,若HG=BM,求证：BM+®DH=DB；

(2)如图2,EL4BC=120°,48=如，点N在BC边上，BC=4CN,若CE是回。C8的角平分

线，线段尸。(点尸在点。的左侧)在线段CE上运动，PQ=姮，连接BP、NQ,请直接

2

写出BP+PQ+QN的最小值.

【答案】①见解析

(2)J35+J15

2

【解析】

(2)如图2,在CO上截取CG=CN,连接G。，过点8作BfBCE,使8尸=尸。=孚，连

接DP交CE于点T,连接。死过点尸作回2。于点M,过点G作GH0Z)/于点区应用

平行四边形的性质和含30。直角三角形三边关系可得：BC=2CD=2^,利用勾股定理可得

BD=V15,再利用含30。直角三角形三边关系可得：BM=^BF=号,FM=^BM=孚,

进而可得功W=士叵，求得：PG=R亘，再证四边形是平行四边形，得出BP=FQ,

42

再证明E1CN。瓯CG。(SAS),得出QN=QG,根据FQ+QG"G,可得出：当点。在线段PG

上时，FQ+QG的最小值为FG,即BP+QN的最小值为FG,即可求得BP+PQ+QN的最小值.

(1)

如图1,过点。作。宛DM交CE于点尸，设CE与交于点K,

^BD^CD,DF^\DM,GHBCEf

^CDG=^FDH=^\CHG=90°,

^CDF=^\GDH,

^DGH^HKG=^\DCF+^DKC=90°,^\HKG=BDKC9

豳DCFFDGH,

在回DC厂和回0G〃中，

/DCF=ZDGH

<DC=DG,

/CDF=ZGDH

^\DCF^\DGH(ASA),

团=O",CF=GH,

团团加”=90。，

酿Z〃7f是等腰直角三角形，

团团。尸〃=回。"/=45°,FH=6DH,

团OC=OG,0CDG=90°,

瓯CGZ)=OCG=45°,

00CGZ)=0£>HF,

^\CGD^GCH^CKG=WHF^BDM^DKH^180°,^CKG=^\DKH,

^GCH=^BDM,

回四边形ABCD是平行四边形，

^AB//CDf

^\DBM=^\CDG=90°=国CHG,

在回。M3和团CGH中，

NBDM=/GCH

<ZDBM=ZCHG,

BM=GH

mDMB^\CGH(AAS),

回。3=C〃，

团CF=GH,BM=GH,

⑦CF+FH=CH,

WM+6DH=DB-

AE

BC

图I

⑵

如图2,在CD上截取CG=CM连接G。，过点B作BRBCE,使2/=尸。=史5,

2

连接。尸交CE于点T,连接。尸，过点F作尸M0BO于点M,过点G作GH3。尸于点”,

团四边形ABCD是平行四边形，

&AB//CD,CD=AB=4i,

E0ABC=120°,

EEIBC£)=180o-120°=60°,

SBDBCD,CD=#,

EBCB£)=90°-60°=30°,

0BC=2CD=2下,

^BD=^BC1-CD1=7(2>/5)2-(>/5)2=岳，

RICE平分国DCB,

E0BC£=0£)CE=SDCB=gx60°=30°,

EBF//CE,

EEC8F=EI8CE=30°,

00DBF=0CBF+E1CBD=30°+30°=60°,

EFM0BD,BF=叵,

2

=—,FM=6BM=寻叵=史,

222444

S\DF2+BF2=BD2,

^\BF^DF,

0BFIICE,

回CE0OR

丽。CE=30°,

fflCDF=90°-30o=60°,

@BC=25BC=4CN,

团CN」x下=且,

42

I2CG=CN=亚，

2

©DG=CD-CG=非-*=g,

0G/70DF,0CDF=60°,

0DH=WDG=＜好=叵,GH=6DH=而叵=叵

222444

国尸"=DF-DH=延+亚=也，

244

22

MG=VFH+GH=/(¥1+(用=警，

⑦BF〃CE,BF=PQ,

团四边形5PQ/是平行四边形，

^\BP=FQ,

在团CNQ和团CGQ中，

CN=CG

＜NBCE=/DCE,

CO=co

^1CNQ^\CGQ(SAS),

团QN=QG,

⑦FQ+QGNFG,

团当点。在线段bG上时，尸。+QG的最小值为尸G,

姐尸+QN的最小值为尸G,

0P2=-＞尸G=/5,

22

0BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ=叵+巫=底+岳

222

故BP+PQ+QN的最小值为庖+".

4.(2022•江苏,无锡市东林中学八年级期末)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点、B

(0,3).点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点。从点8出发，以每秒2

个单位的速度向右平移，又P、。两点同时出发.

备用图

⑴连接A。，当0A2。是直角三角形时，则点。的坐标为;

⑵当P、。运动到某个位置时,如果沿着直线AQ翻折,点P恰好落在线段AB上,求这时0AQP

的度数；

⑶若将AP绕点A逆时针旋转，使得P落在线段8。上，记作P,且APaPQ,求此时直线

PQ的解析式.

【答案】⑴(亍25，3)或(4,3)

(2)45°

【解析】

(2)如图，点尸翻折后落在线段上的点E处，由翻折性质和可得，

NPAQ=NBQA=NEAQ,AB=QB,=AE=gAB,点E是48的中点，过点E作

于点尸，EM0A。于点过点。作。砸。尸于点X,可证-中，求出EF

的值，PH的值，有EF=PH，用HZ证明RMEQF%RtAPHQ,知ZEQF=ZPQH,NPQE=90。,

进而可求NAQP的值；

(3)如图，由旋转的性质可知AP'//PQ,P'Q//AP,证APQA丝APAQ,可知

P'Q=AP,P'Q=AP=P'A,过点A作AG0B。于G,设AP=AP'=PA=f,贝l|

BQ=2t,BP'=t,PG=4T,在MAAGP中，AP=t,AG=3,P'G=4-t,由勾股定理得

产-(4-02=32,解得/的值，进而求出点尸、。的坐标，设过点尸、。的直线解析式为>=辰+"

将P、。两点坐标代入求解即可求得解析式.

(1)

解：回是直角三角形，点4(4,0),点3(0,3)

国①当/8。4=90°时，AQLBQ

0BQ//x轴

回Q点坐标为（4,3）；

②当/8AQ=90。时-，BA^AQ,如图过点。作QCLOA,垂足为C

在Rt^AOB中，由勾股定理知/山=y/o^+OB2=5

设AC=x，在Rt^ACQ中，由勾股定理知A。？=AC2+CQ2=x2+32

在放△A3。中，由勾股定理知8。2=4序+4。2

0（4+x）2=52+X2+32

9

解得％

4

9

0AC=-

4

25

^\OC=OA+AC=—=BQ

4

回。点坐标为,3；

综上所述，。点坐标为（4,3）或（三,3）

⑵

解：如图，点尸翻折后落在线段A2上的点E处,

则ZE4Q=NPAQ,ZEQA=ZPQA,AE=AP,QE=QP

又国BQ〃OP

^\ZPAQ=ZBQA

团NEAQ=/BQA

团AB=QB=5

SAP=^BQ=^=AE=^AB

回点E是A3的中点

过点E作分加。于点REM0AO于点M,过点。作。WHOP于点H,

在A£M4和△EFB中

Z.AEM=Z.BEF

0Z.EMA=乙EFB

、AE=BE

回△励姑会△跖B(A4S)

^\EF=EM=-OB

2

3

回£尸=—

2

3

^\PH=OA+AP-OH=-

2

©EF=PH

在Rt^EQF和Rt^PHQ中

\EF=HP

回《

[EQ=PQ

0Rt^EQFmRtAPHQIHL)

^\ZEQF=ZPQH

回NPQE=90。

^\ZAQP=ZAQE=45°.

(3)

解：如图

由旋转的性质可知AP=AP

SAP'//PQ,P'Q//AP

S^P'QA=ZPAQ,ZP'AQ=ZPQA

在AAP。和△QPA中

(^P'QA=乙PAQ

AQ=QA

.AP'AQ=Z.PQA

^AP'QA^APAQ(ASA)

EP'Q=AP

^\P'Q=AP^P'A

过点A作AG^iBQ于G

设AP=AP=PQ=f

回BQ=2。BP'=t,P'G=4—r

在RAAGP'中，AP^t,AG=3,PG=4T,由勾股定理得』-(4一=3?

解得公当25

o

25572525

^OP=OA+AP=4+—=—,BQ=2x—=—

8884

团点P、。的坐标分别为

设过点P、。的直线解析式为＞=履+)

—k+b=0

8

将P、。两点坐标代入得

2577。

—左+Z?=3

[4

,24

k=-----

7

解得：

,171

7

回过点R。的直线解析式为丫=-亍*+5-.

5.(2022•江西赣州•九年级期末)在中，ZABC=90°,AB=BC,点E在射线CB

上运动.连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90。得到EF,连接CT.

(1)如图1,点E在点8的左侧运动.

①当3E=1,BC=G时，贝！J/£AB=°；

②猜想线段C4,3与CE之间的数量关系为.

(2)如图2,点£在线段C8上运动时，第(1)问中线段CA,CP与CE之间的数量关系是否

仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系.

【答案】⑴①30；②CA+CF=叵CE

⑵不成立，CA-CF=y[2CE

【解析】

②过点E作AffiBEC交CA的延长线于M,由旋转的性质得出AE=EG0AEF=9O。，得出

^AEM=^CEF,证明团/芭。BEIAEM(SAS),由全等三角形的性质得出CF=AM,由等腰直角三

角形的性质可得出结论；

(2)过点P作尸HEBC交BC的延长线于点证明(AAS),由全等三角形的

性质得出FH=BE,EH=AB=BC,由等腰直角三角形的性质可得出结论；

(1)

①回AB=BC=5BE=1,ZABC=90°,

0AE=2,

BE1

团sin团EAB=——=—

AE2

团NE45=30。，

故答案为：30。；

@CA+CF=y/2CE.

如图1,过点E作MELEC交C4的延长线于M,

团ZACB=45。，回NAf=45。，

^\ZM=ZECM,

0ME=EC,

团将线