有理数（培优篇）-2022-2023学年沪科版七年级数学上册阶段性复习（原卷版+解析）

第一章有理数（培优篇）

一.选择题（共10小题，每题4分，共计40分）

1.与-3工相等的是（）

2

工

A.-3-AB.3-AC.D.3+

22-H2

2.下列各组数中,互为相反数的是（）

A.|+1|与|-1|B.-(-1)与1C.|-(-3)|与-|-3|D.T+2|与+(-2)

3.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿,万万亿日兆说明了大数之间的关系：1亿=1万XI

万，1兆=1万义1万义1亿.则1兆等于（)

A.108B.1012C.1016D.1024

4.若。与-2互为相反数，则a的值是（

A.-2BC.1D.2

-42

5.某正方形广场的边长为4X102%,其面积用科学记数法表示为（）

A.4X104m2B.16X104m2C.1.6X105m2D.1.6X104m2

6.一条数轴上有点A、5,点。在线段A5上，其中点A、5表示的数分别是-8,6,现以点。为折点，将

数轴向右对折，若点A落在射线上，并且AB=4,则。点表示的数是（）

ACB

A.1B.-1C.1或-2D.1或-3

7.若m>0,则数m，m+1,-2的大小顺序是（）

A.-m-2<m<m+lB.-m-2<m+l<mC.m<m+l<-m-2D.m<-m-2<m+l

8.如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把-25到-30这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求

三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（）

A.-84B.-85C.-86D.-87

9.等边AABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、-1,若△ABC绕顶点沿顺时针方向

连续翻转，第一次翻转后点3所对应的数为1,则翻转2022次后点C所对应的数为（）

B

-2-1012345

A.不对应任何数B.2020

C.2021D.2022

10.数轴上某一个点表示的数为。，比。小2的数用匕表示，那么间+|例的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共4小题）

11.若无=-3,则国的值为.

12.若依-2|+（77+3）2=0,贝I］（加+〃）2022=.

13.若23+23+23+23=2",则"=.

14.已知a,b,c,1表示4个不同的正整数，满足。+d+03+/=90,其中1>1,则a+2b+3c+4d的最大值

是.

三.解答题（共9小题）

15.计算：（-1+2）X3+224-（-4）.

16.若两个有理数A、8满足A+B=8,则称A、8互为''吉祥数”.如5和3就是一对“吉祥数”.回答下

列问题：

⑴求-5的“吉祥数”；

（2）若3尤的“吉祥数”是-4,求尤的值；

（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由.

17.已知一列数2,0,-1,-—.

2

（1）求最大的数和最小的数的差；

（2）若再添上一个有理数相，使得五个有理数的和为0,求机的值.

18.用数轴上的点表示下列各数，并把他们用连接起来.

（1）点43工的相反数;

3

⑵点、B：-1.5的倒数;

（3）点C：1.25；

（4）点、D：绝对值最小的数.

2

19.若a与b互为相反数，x与y互为倒数，依|=2,则式子机-+工匚的值为多少？

xy

20.某批发商于上周日买进某产品10000依，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多

能容纳2000依该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元.如表为本周内该产品每天的批发价

格比前一天的涨跌情况.（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元）

星期一二三四五

与前一天相比价格的涨跌+0.3-0.1+0.25+0.2-0.5

情况/元

当天的交易量/依25002000300015001000

（1）星期四该产品价格为每千克多少元？

（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？

（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请

你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？

21.如图所示，在数轴上点A,B,C表示得数为-2,0,6.点A与点8之间的距离表示为点8与点

C之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC.

（1）求A3、AC的长；

（2）点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点8和点C

分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动.

请问：8C-A8的值是否随着运动时间r的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断

是否有最值，若有求其最值.

22.我们知道，|a-臼表示。与b之差的绝对值.实际上，|a-b|的几何意义为：数轴上表示数。的点与表示

数b的点之间的距离.如：|5-（-3）|的几何意义为：数轴上表示5的点与表示-3的点之间的距离.根

据绝对值的几何意义或所学知识，完成以下问题：

已知多项式-3f+5孙2-1的常数项是a,次数是b.a,b在数轴上对应的点分别为A点和B点.

（1）解关于x的方程|尤-a|=l;

（2）数轴上有一点C表示的数为无，若C到A、8两点的距离和为8,求x的值；

（3）对任意的有理数x,lx+11+l尤-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由.

23.根据下面给出的数轴，解答下面的问题：

（1）请根据图中A、8两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：,B：；

（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是；

（3）若经过折叠，A点与-3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；

（4）若数轴上M、N两点之间的距离为11在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合,

M.N两点表示的数分别是：M：,N：.

BA

-5-4-3-2-1012345

第一章有理数（培优篇）

选择题（共10小题）

1.与-31••相等的是（）

2

A.-3-AB.3-AC.-3+AD.3+A

2222

【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论.

【解答】解：4-3-1=-3工，选项A的计算结果是-3工；

222

B.3-1=21,选项2的计算结果不是-3上；

222

C.-3+1=-21,选项C的计算结果不是-3工；

222

D.3+1=31,选项。的计算结果不是-3」.

222

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键.

2.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.|+1|与|-1|B.-（-1）与1C.|-（-3）|与-|-3|D.-|+2|与+（-

2）

【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案.

【解答】解：A选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；

8选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；

C选项，3与-3是相反数，故该选项符合题意；

。选项，-2与-2不是相反数，故该选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的

关键.

3.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆说明了大数之间的关系:

1亿=1万XI万，1兆=1万XI万XI亿.贝S兆等于（）

A.108B.1012C.1016D.1024

【分析】根据同底数塞的乘法先求出1亿，再求1兆即可.

【解答】解：1亿=104X104

=108,

1兆=104X104X108

104+4+8

=1016,

故选：C.

【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握am・an=am+n是解题的关键.

4.若。与-2互为相反数，则。的值是()

A.-2B.1C.AD.2

22

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可.

【解答】解：与-2互为相反数，

•・a=2・

故选：D.

【点评】本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念.

5.某正方形广场的边长为4义1。2加，其面积用科学记数法表示为()

A.4X10WB.16X10WC.1.6X10WD.1.6X10W

【分析】根据正方形的面积=边长X边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科

学记数法的形式即可.

【解答】解：(4X102)2

=42X(102)2

=16X104

=1.6X105(m2),

故选：C.

【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，掌握(ab)n=anbn是解题的关键.

6.一条数轴上有点A、点C在线段上，其中点A、8表示的数分别是-8,6,现以

点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线C3上，并且48=4,则C点表示的数

是()

B

A.1B.-1C.1或-2D.1或-3

【分析】设点C表示的数为x,分两种情况：N在线段CB的延长线上或线段CB上分

别计算即可.

【解答】解：设点C表示的数为x,

当A'在线段CB的延长线上时，

：A'B=4,

・••点A'表示的数为6+4=10,

VAC=A/C,

Ax-(-8)=10-x,

解得：x=l；

当A，在线段CB上时，

VA'B=4,

・••点A'表示的数为6-4=2,

VAC=AZC,

.'.x-(-8)=2-x,

解得：x=-3；

故选：D.

【点评】本题考查了数轴，考查分类讨论，根据对折得到AC=A'C是解题的关键，不

要漏解.

7.若机>0,则数机，m+L-机-2的大小顺序是()

A.-m-2<m<m+lB.-m-2<m+l<mC.m<m+l<-m-2D.m<-m-2<m+l

【分析】根据m>0判断出-m-2<0,根据正数大于负数即可得出答案.

【解答】解：・・,m>0,

-m<0,

-m-2V0,

:.-m-2<m<m+l,

故选：A.

【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握正数大于负数是解题的关键.

8.如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把-25到-30这6个连续整数分别填入图的

圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是()

A.-84B.-85C.-86D.-87

【分析】三个顶点处分别是-30,-29,-28,-30与-29之间是-25,-30和-28

之间是-26,-29和-28之间是-27,这样每边的和才能相等并且S有最小值.

【解答】解：如图，

-30\

3

-29-28\

；.S=-29-27-28=-84,

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的加法，理解三角形三个顶点的数字是-25到-30这6个连

续整数中最小的三个数字是解题的关键.

9.等边△A8C在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、-1,若AABC绕顶

点沿顺时针方向连续翻转，第一次翻转后点B所对应的数为b则翻转2022次后点C所

对应的数为（）

B

-2-1012345

A.不对应任何数B.2020

C.2021D.2022

【分析】此题是图形规律题，表示出前几次翻转，则能发现C点翻转是每三次向正方向

移动3个单位的规律，据此可算出第2022次翻转点C移动的距离，则可算出此时点C

对应的数.

【解答】解：由图可知，第一次翻转后点C不在数轴上，第二次翻转点C对应数字2,

第三次翻转点C不动，

由此可知，每三次翻转点C沿数轴正方向移动3个单位，

V2022刚好能被3整除，

在翻转2022次后，点C沿数轴正方向移动了2022个单位，即点C对应数为-1+2022

=2021.

故选：C.

【点评】本题考查了学生对于图形规律题的探索能力，表示出前几次翻转后点所对应的

数，则能发现其中蕴含的规律是解决此题的关键.

10.数轴上某一个点表示的数为a,比a小2的数用b表示，那么同+依的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】理解绝对值的定义，如|a-2|表示数轴上点a至！|2的距离；|a|=|a-0|表示a至（J原

点的距离；

【解答】解：•••比a小2的数用b表示，

...b=a-2,

，|a|+|b|

=|a-0|+|a-2|,

那么|a|+|b|的最小值就是在数轴上找一点a到原点和到2的距离最小，

显然这个点就是在0与2之间，

当a在区间0与2之间时，

|a-0|+|a-2|=|2-0|=2为最小值，

；.|a|+|b|的最小值为2,

故选：C.

【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于|a-0|+|a-2|对这个式子的理解并用绝对值意

义来解答.

二.填空题(共4小题)

11.若x=-3,则Ixl的值为3.

【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值.

【解答】解：：x=-3,

Z.|x|=|-3|=3.

故答案为：3.

【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键.

12.若削-2|+(〃+3)2=0,则(m+〃)2022=1.

【分析】根据非负数的性质得出m、n的值，代入计算可得答案.

【解答】解：V|m-2|+(n+3)2=0,

/.m-2=0,n+3=0,

解得：m—2,n=-3,

(m+n)2022=(2-3)2022=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的

和为零，那么每一个加数也必为零.

13.若23+23+23+23=2",则〃=5.

【分析】根据乘法是加法的简便运算变形，根据乘方的意义即可得出答案.

【解答】解：：23+23+23+23=2”

/.23X4=2n,

；.23X22=2n,

，25=2n,

・・n=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握an表示n个a相乘是解题的关键.

14.已知a,b,c,d表示4个不同的正整数，满足a+b1+(?+/=9Q,其中d>l,则a+2b+3c+4d

的最大值是81.

【分析】根据题意，可以先求出a、b、c、d的取值范围，然后即可得到a+2b+3c+4d的

最大值.

【解答】解：：a,b,c,d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4=90,其中d>l,

.\d4<90,则d=2或3,

c3<90,则c=l,2,3或4,

b2<90,则b=l,2,3,4,5,6,7,8,9,

a<90,则a=l,2,3,…，89,

；.4dW12,3cW12,2bW18,aW89,

，要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a=90-(b2+c3+d4)取最大值，

Ab,c,d要取最小值，则d取2,c取1,b取3,

；.a的最大值为90-(32+13+24)=64,

a+2b+3c+4d的最大值是64+2X3+3X1+4X2=81,

故答案为：81.

【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a、b、c、d的取值范围.

三.解答题(共9小题)

15.计算：(-1+2)X3+224-(-4).

【分析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减.

【解答】解：原式=1义3+4+(-4)

=3-1

=2,

【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的

关键

16.若两个有理数A、8满足A+B=8,则称A、B互为“吉祥数”.如5和3就是一对“吉

祥数”.回答下列问题：

(1)求-5的“吉祥数”；

(2)若力的“吉祥数”是-4,求尤的值；

(3)尤和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由.

【分析】(1)根据“吉祥数”的定义即可得到答案；

(2)根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；

(3)根据“吉祥数”的定义，计算x的值判断即可.

【解答】解：(1)根据“吉祥数”的定义可得，

-5的吉祥数为8-(-5)=13,

・・・-5的吉祥数为13；

(2)由题意得，3x-4=8,

解得x=4,

答：x的值是4；

(3)能，

由题意得，x+9=8,

则x=-1,

・・・x和9可以互为“吉祥数”.

【点评】本题考查了有理数的加法运算、“吉祥数”的定义，解题的关键是理解题意，灵

活运用所学知识解决问题.

17.已知一列数2,0,-1,--1.

2

(1)求最大的数和最小的数的差；

(2)若再添上一个有理数优，使得五个有理数的和为0,求机的值.

【分析】(1)根据有理数的减法计算即可；

(2)先求出这四个数的和，再根据五个有理数的和为。即可得出m的值.

【解答】解：(1)2-(-1)

=2+1

=3；

_1_1

(2)2+0+(-1)+(-2)=2,

•••五个有理数的和为0,

.,.m=-2.

【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题

的关键.

18.用数轴上的点表示下列各数，并把他们用连接起来.

(1)点A：3工的相反数；

3

(2)点8：-1.5的倒数；

(3)点C：1.25；

(4)点D：绝对值最小的数.

【分析】先分别求出点A,B,C,D所表示的数，再在数轴上表示即可.

12

【解答】解：由题意可得，点A表示的数是-35，点B表示的数是-石，点D表示的

数是0,

将它们在数轴上表示如下：

ABDC

I..III

-4-3-2-1012345

22

把它们用连接起来为：-33<-3<0<l.25.

【点评】此题考查了实数的相反数、绝对值、倒数的求解及数轴表示能力，关键是能对

以上知识准确理解并求解、表示.

2

19.若。与6互为相反数，x与y互为倒数，依|=2,则式子机-+且_的值为多少？

xy

【分析】由题意可得a+b=0,xy=l,m=±2,再把相应的值代入所求的式子进行运算

即可.

【解答】解：与b互为相反数，x与y互为倒数，|m|=2,

a+b=0,xy=1,m=+2,

当m=2时，原式=2-0+4=6,

当m=-2时，原式=-2-0+4=2,

综上可得：式子的值为6或2.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是由题意得到a+b=0,xy=l,m

=+2.

20.某批发商于上周日买进某产品10000依，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，

每个摊位最多能容纳2000依该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元.如表

为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况.（涨记为正，跌记为负，上周日当

天的售价刚好为每千克2.4元）

星期--二三四五

与前一天相比价格的涨+0.3-0.1+0.25+0.2-0.5

跌情况/元

当天的交易量/仅25002000300015001000

（1）星期四该产品价格为每千克多少元？

（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？

（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本,

增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱?

【分析】(1)根据价格的涨跌情况即可作出判断；

(2)计算出每天的价格即可作出判断；

(3)根据售价-进价-摊位费用=收益，即可进行计算.

【解答】解：(1)2.4+0.3-0.1+0.25+0.2=3.05(元)；

答：星期四该产品价格为每千克3.05元；

(2)星期一的价格是：24+0.3=2.7(元)；

星期二的价格是：2.7-0.1=2.6(元)；

星期三的价格是：2.6+0.25=2.85(元)；

星期四是：2.85+0.2=3.05(元星

星期五是：3.05-0.5=2.55(元)；

因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；

(3)(2500X2.7-5X20)+(2000X2.6-4X20)+(3000X2.85-3X20)+(1500X3.05

-2X20)+(1000X2.55-20)-10000X2.4

=6650+5120+8490+4535+2530-24000

=27325-24000

=3325(元).

答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱.

【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”

的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其

中一个为正，则另一个就用负表示.

21.如图所示，在数轴上点A,B,C表示得数为-2,0,6.点A与点8之间的距离表示

为点8与点C之间的距离表示为8C,点A与点C之间的距离表示为AC.

(1)求A8、AC的长；

(2)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同

时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动.

请问：3C-A3的值是否随着运动时间f的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请

说明理由并判断是否有最值，若有求其最值.

【分析】(1)在数轴上点A,B,C表示得数为-2,0,6,故AB的距离为2,AC的距

离为8；

(2)由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位.点

A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和

4个单位长度的速度向右运动，则点A可表示的数为-2-2t,点B可表示的数为3t,点

C可表示的数为6+4t,所以BC=6+4t-3t=t+6,AB=3t-(-2-2t)=5t+2；显然BC

-AB=4-4t,是随着t的值变化而变化，当t=0时，最值为4.

【解答】解：(1)二.数轴上点A,B,C表示得数为-2,0,6,

；.AB的长为2,AC的长为8；

(2)由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位,

..•点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长

度和4个单位长度的速度向右运动，

点A可表示的数为-2-23点B可表示的数为33点C可表示的数为6+4t,

；.BC=6+4t-3t=t+6,AB=3t-(-2-2t)=5t+2,

；.BC-AB=t+6-(5t+2)=4-4t,当且仅当t=0时，有最值为4.

【点评】本题考查了数轴和数轴上点之间距离的理解，综合性较强.

22.我们知道，|。-例表示a与b之差的绝对值.实际上，|a-"的几何意义为：数轴上表示

数a的点与表示数6的点之间的距离.如：15-(-3)|的几何意义为：数轴上表示5的

点与表示-3的点之间的距离.根据绝对值的几何意义或所学知识，完成以下问题：

已知多项式-3/+5肛2-1的常数项是以次数是b.a,b在数轴上对应的点分别为A点

和B点.

(1)解关于尤的方程|x-a|=l；

(2)数轴上有一点C表示的数为无，若C到A、8两点的距离和为8,求尤的值；

(3)对任意的有理数x,|x+l|+|x-3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，

请说明理由.

【分析】根据多项式的概念得到a,b的值，再用题目中给出的数轴上两点之间的距离表

示方法解决此题

(1)用题目中给出两个数之差的绝对值的几何意义结合数轴解答；

(2)根据题意用绝对值表示出AC+BC=8,结合数轴解答；

(3)|x+l|+|x-3|表示x到-1和x至I]