高三数学一轮复习 函数的概念及其表示讲义

第一节函数的概念及其表示

【课标要求】

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系

刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中

的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、

解析法)表示函数，理解函数图象的作用。

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学目标：

1.理解函数的概念，会求简单函数的定义域和值域.

2.理解函数的表示，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、

解析法)表示函数，会求函数解析式

3.了解分段函数、抽象函数、复合函数，并会简单应用.

教学重点：函数的概念及表示，分段函数

教学难点：函数概念的理解

教学过程：

一.知识梳理：

1.函数的概念

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中任何一个数X,按照

某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称f：

A玲B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x回A淇中集合A叫作函数

的定义域，｛/(x)|xeA｝叫作函数的值域。

2.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

⑵如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相

等.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.

4.分段函数

函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表

示，这种函数称为分段函数.

分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的____值域是各段值域的.

5.基本函数的理解

解析式图像定义域值域对应特点

一次函数——对——

二次函数二对一

反比例函——对——

数

一次分式y="X+"(ex+dH0)——对——

cx+d

函数

募函数——对、

二对一

b

对勾函数y=ax+—(a>Q,b>0)——对——

X

指数函数——对——

对数函数——对——

二.考点强化

考点一：函数的概念

例1.（人教A版教材必修一P74第17题改编）

（1）请写出满足定义域相同，值域相同，但对应关系不同的两个函数

（2）请写出满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同的两个函数

例2.（1）函数f（x）=/1+ln（3x-1）的定义域为______________;

V1-4%2

（2）已知f（2，）的定义域为[1,2],则丫=/1。81九）的定义域为.

答案：例1⑴例如f（X）=x2,xG（0,+CO）；g（X）=x3,xG（0,+00）

⑵例如f(x)=x2,xe[0,l];g(x)=x2,xG[1,1].答案不唯一

答案：例2.⑴层］；(2)［昌］

方法总结：

L给定解析式求定义域问题，就使解析式有意义的自变量取值集合，所以要了解解析式限制

解析式限制条件

整式(如一次、二次函数)无限制

分式(如反比例函数)分母不为0

根式C〃为偶数，a20；"为奇数,aeR

指数式优a>O.aw1,xwR

对数式log.Xa>O.aw1,x>0

xeR

三角式sinx.cosx

tanxx^—+K71.kEZ

2.求复合函数的定义域

①若f(x)的定义域为［m,n］,则在f(g(x))中，由mWg(x)Wn解得x的范围即

为f(g(x))的定义域.

②若f(g(x))的定义域为［m,n］,则由mWxWn得到g(x)的范围，即为f(x)的

定义域.

对点练习：1.(教材P66例3改编)下列函数中与函数y=x是同一个函数的有

2

(1)y=(2)u=\l^(3)y=(4)m=—

n

(5)y=(6)y=ln靖

2.①(2020•北京卷)函数/(x)=」一+lnx的定义域是.

x+1

②函数y="logo_5(4x2—3九)的定义域为;

③若函数的定义域是[0,2],则函数g(x)=噌的定义域是

X1

答案：1.(2)(6)2.①(0,+oo)；②-；,0卜]；,1；③[0,1)

考点二：函数的表示方法

例3.已知函数/(x)=/,求函数/(x-l),/(2x),并说出/(x)与/(x-1),/(%)

与/(2x)的关系。

变式：1.已知函数/(X-1)=正，求/(X)；

2.已知/(x)是二次函数，</(x+1)+/(x-1)=2x2-4x,求

7

3.已知函数/(x)满足2/(x)+/(—x)=3x+4,求/(x)的解析式；

4.已知函数/(x)=%2与y=g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x).

答案：例3./(x-l)=(x-l)2,/(2x)=4x2

变式：1.f(x)=y/x+l(x>-1)；2./(x)=%2-2x-l3.f(x)=3x+4

4"(x)=-%2—8x—10

方法总结：l"(x)与/(x+a),/(x)与/(ax)图象之间关系；

2.求函数解析式的常用方法：

i.换元法(注意新元的取值范围)

iL待定系数法(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)

iii.整体代换(配凑法)

iv.构造方程组(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为

偶函数等)

3.求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的

的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

4.理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

对点练习：1.请写出3个不同函数y=/(x)的解析式，满足/⑴=1.7•⑵=4.

2.若函数f(x)满足关系式/(%)+2/(—)=3x,求f(x)o

3.设函数/Xx)=’的图象为G，若函数g(x)的图象C2与G关于％轴对称，求

g(x)。

4.若函数/(x)=(x+a)(fcv+2a)(常数a,Z?eR)是偶函数，且它的值域为(ro,4卜

求解析式/(x)

91

答案：1.略2./(%)=---x3.g(x)=-----4./(x)=-2x2+4

x%+1

考点三：分段函数

工2—4x〉2

例4.(1)(2021•浙江高考题)已知〃£火，函数/(九)='若

卜-3|+。/V2

/[/网=3,贝IJ。.

(2)(21新课标1卷15)函数/(x)=|2x—1―21nx的最小值为

解：(1)/[/(V6)]=/(6-4)=/(2)=|2-3|+a=3,,故a=2.

(2)函数/a)=|2x—1|—21nx的定义域为(0,+oo).

上为减函数,

所以/(x)min=£)=21n2；

当x〉g时，/(x)=|2x-l|-21nx=2x-l-21nx,

则7•'(x)=2—2=^^当xejg,1时,

/'(x)<0,f(x)单调递减,

当xe(l,+co)时，/(x)>0,f(x)单调递增,

当%=1时f(x)取得最小值为f(l)=l<2ln2.

.•・函数=——21nx的最小值为1.

方法总结：分段函数是完整的一个函数，其定义域、值域分别是各段定义域、

值域的并集；分段函数是在定义域的不同子集上对应关系不同的函数，所以分段

函数的问题应分段处理。

-x2-2ax-a,x<Q

对点练习：1.（24新课标1卷6）（已知函数为7（x）二

ex+ln(x+l),x>0

在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A.(oo,0)B.[1,0]C.[1,1]D.：0,+oo)

2.设函数/'(xb/'x"。，则满足/(x+i)</(2x)的x的取值范围是()

[l,x>0

A.(-oo,-l]B.(0,+oo)C.[1,0)D.(-oo,0)

3.(2018.全国(理))已知函数/(x)=je、，x<0,g(x)=/(x)+x+a

[inx,x>0

若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

答案：1.B2.C3.C

考点四：抽象函数

例5.(1)(2022•新高考n卷T8)若函数Ax)的定义域为R,f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),

22

f⑴=1,则X/(Z)=()A.3B.2C.0D.1

k=l

(2)(2023新高考I卷11)已知函数的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

则().

A./(0)=0B./(l)=0C."%)是偶函数D.尤=0为的极小

值点

解：(1)因为f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),令x=l,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0),

所以f(0)=2,令x=0可得，f(y)+f(y)=2f(y),即f(y)=f(y),所以函数f(x)为

偶函数，令y=l得，f(x+l)+f(xl)=f(x)f(1),而f(1)=1,即有

f(x+2)+f(x)=f(x+l)f,从而可f(6)知f(x+2)=f(xl),f(xl)=f(x4),故

f(x+2)=f(x4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.因为

f(2)=f(1)f(0)=1,f(3)=f(2)f(l)=2,f(4)=f(2)f(2)=1,f(5)=f(1)f(l)=l,f(6)=

f(0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+.•.+f(6)

=0.由于22除以6余4,

22

所以•之f(k)=/⑴+/\2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3

k=\

故选：A.

(2)因为/(专0=丁"(%)+必/(丁)，

对于A,令x=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=—1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=-1,/(-x)=/(x)+%2/(-1)=/(x),

又函数/⑴的定义域为R,所以/⑴为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时无极值，故D错误.

方法总结：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特

征式子的一类函数，常用赋值法了解函数相关性质后解决问题。

对点练习：1.(24新课标1卷10)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(xl)+f(x2),当

x<3时，f(x)=x,则下列结论中一定正确的是()

A.f(10)>100B.f(20)>1000C.f(10X1000D.f(20)<10000

2.(2022•全国乙(理)T12)已知函数/(x),g(%)的定义域均为R,且

/。)+g(2—x)=5,g(x)—-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，