2023年中考数学《二次函数的交点问题》试题及答案解析

2023中考真题抢先练-数学

二次函数的交点问题

1.（2023自贡11题）经过A（2-30,机），3（46+01,机）两点的抛物线y=g^+bx-b2+2c

（X为自变量）与X轴有交点，则线段A3的长为（）

A.10B.12C.13D.15

【推荐区域：陕西、福建】

【参考答案】

B【解析】♦.•抛物线丁=-1尤2+以一02+2°的对称轴为直线％=一2=一_^=0,且

，、

22a0/12

D—37?+4/?+「一1

抛物线经过A（2-30,M,B（40+。1,m）两点，A=b,即c=6T,

2

.•.原方程为丁=-；/+公-/+26-2,•.•抛物线与x轴有交点，I.D=〃-4ac20,即

/—4'（—/'（—〃+2。—2）20,即层_4b+4W0,即&—2）W0,b=2,

c=Z?-l=2-l=l,/.2-3Z?=2-6=-4,4Z?+c-l=8+l-l=8;・

AB^4b+c-l~（2-3b）-8-（-4）42.

规律探索

2.（2023重庆A卷7题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案

用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用

了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）

ngoxococo-

①②③④

第2题图

A.39B.44C.49D.54

【推荐区域：云南、江西】

【参考答案】

B【解析】由题图可知，第①个图案中木棍根数为4+6-1=9（根），第②个图案中木棍

根数为4+6X2-2=14（根），第③个图案中木棍根数为4+6X3-3=19（根），第④个图

案中木棍根数为4+6X4-4=24（根），…，由此规律可知，第⑧个图案中木棍根数为4+6

X8-8=44（根）.

全等三角形的判定与性质

3.（2023乐山19题）如图，已知A3与CD相交于点。，AC//BD,AO=BO.

求证：AC=BD.

第3题图

【推荐区域：云南、陕西、广西、广东】

【参考答案】

证明：AC//BD,ADA=DB.

在△AOC和△50。中，

DA=DB,AO^BO,DAOC=^BOD,

AAOCABOD（ASA）,

AC=BD.

数据的统计与分析

4.（2023自贡22题）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期以来学

生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）

数据如下：2,4,5,4,3,5,3,4,1,3,2,4,

学生课外读书数量条形统计图

1本2本3本4本5本读书数量

第4题图

（1）补全学生课外读书数量条形统计图；

（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；

（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量

不少于3本的学生人数.

【推荐区域：云南、陕西】

【参考答案】

解：（1）补全学生课外读书数量条形统计图如解图;

第4题解图

710

(2)4,一,-

23

【解法提示】•••本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4,...众数是

4.将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据，按照从小到大的顺序排列为：1,2,

2,3,3,3,4,4,4,4,5,5...•这组数据中位于中间的两位数是3,4,・•.中位数是

班出将*

——3+4=_7.平均数为：为=1-'1--+-2--'2--+--3-'-3-+--4-'-4--+-5--'-2-=1—0.

22123

3+4+2Q

（3）600'----=600'—=450（名），

1212

该校有600名学生，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450

名.

5.（2023重庆A卷21题）为了解A、3两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运

行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、3两款智能玩具飞机各10架，记录下它们

运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，

共分为三组：合格60WxV70,中等70Wx<80,优等xN80）,下面给出了部分信息：

A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：

60,64,67,69,71,71,72,72,72,82.

3款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是:

70,71,72,72,73.

两款智能玩具飞机运行最长时间统计表3款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图

类别AB

平均数7070

中位数71b

众数a67

方差30.426.6

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中a=,b=,m=

（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条

理由即可）；

（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、3款智能玩具飞机120架，估计两款

智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

【推荐区域：云南、陕西、福建、河南、广东】

【参考答案】

解：（1）72,70.5,10；

【解法提示】’.TO架A款智能玩具飞机运行时间中72出现了3次，为最多次数，...众

数a=72；..TO架3款智能玩具飞机中性能为合格的飞机占比40%,・•.飞机运行时间小

于70分钟的数量为10X40%=4（架），I.排在第5,6位的数量为70,71,・•.中位数

尻"4=70.5,：.B款智能玩具飞机性能为优等的数量为1045=1（架），I.

2

m0/=-100%,解得加=10.

010

（2）A款智能具飞机运行性能更好，理由如下（写出一条理由即可）；

①A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数71大于B款智能玩具飞机运行最长时间的

中位数70.5；

②A款智能玩具飞机运行最长时间的众数72大于B款智能玩具飞机运行最长时间的众

数67；

3款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：

A、3两款智能玩具飞机运行长时间的平均数均为70,3款智能玩具飞机运行最长时间

的方差26.6小于A款智能玩具飞机运行最长时间的方差30.4.

(3)200X—+120X(l-40%)=192(^).

答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有192架.

一次函数的实际应用

6.(2023达州22题)某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色

健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱，已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3

件豆笋和4件豆干进货价为340元.

(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；

(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于

豆干数量的三，该特产店有哪几种进货方案？

2

(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎

样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？

【推荐区域：云南、陕西、福建、河南】

【参考答案】

解：(1)设豆笋、豆干的进价分别是。元/件、6元/件，

i2a+3b=240ia=60

则鼻3a+4b=340'解得加=40'

豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件.

(2)设豆干购进〃件，则豆笋购进00°n

4o

n+60(200-«)£10440件，

1

意

得

由

题

可Z

12OO

“33，

H-nn

2

解得78£〃£80,

••.〃=78时，RU—"一1弋即豆干购进件，则豆笋购进122

件

〃=79时，200-〃=121,即豆干购进79件，则豆笋购进121件，

〃=80时，200-H-120,即豆干购进80件，则豆笋购进120件.

(3)设总利润为W元，豆干购进〃件,

则W=(55-40)〃+(80-60)(200-n)

--5n+4000

由（1）可知，78£〃£80且〃为整数，

-5<0,

・•.当78£〃£80时，W随〃的增大而减小，

・•.当九二78时，W取最大值，为卬=-5'78+4000=3610.

此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元.

几何测量问题

7.（2023泸州22题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的

方法：先从与古树底端。在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为，=2：6的斜坡

AB前进20«m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C在点C处测得

古树DE的顶端E的俯角为37°,底部。的俯角为60°,求古树DE的高度（参考数

343_

据：sin37°〜一、cos370心-,tan37°心一，计算结果用根号表不，不取近似值）.

554

【参考答案】

解：如解图，延长BC,OE交于点G,过点3作8尸।于点E

则DAFB=£BFD=90°,

斜面AB的坡度为，=2:4,

・•.设5/=2x,则AR=内,

在RtA/8/中，根据勾股定理得：BF-+AF2=AB2>

即(2x)2+(GA=(2077)2,

解得：x=20(负值已舍去)，

即3R=2，20=40(m),

,.•BC为水平方向，DE为竖直方向,

DBGD=90,

,?DBFD=BFDG=DBGD=90°,

・••四边形3FDG为矩形,

DG=BF=40m,

VZDCG=60°,

...在Rt4℃G中’CG=^^=^=4^

VDECG=37°,

：.在Rt^ECG中，EG=CG•tanZECG=皿〜？'tan37»4°V-'3=10后,

334

/.DE=DG-EG=(40-10^)m.

答:古树DE的高度为(40TO6m.

切线的相关证明与计算

8.(2023南充22题)如图，A3与。。相切于点A,半径0C〃A3,3c与。。相交于点

D,连接AD

(1)求证：ZOCA=ZADC.

(2)若AD=2,tanB=-,求。C的长.

3

第8题图