高考数学专项复习训练：基本不等式的应用（分层练）（原卷版）

第12讲基本不等式的应用

【苏教版2019必修一】

目录

题型归纳................................................................................

题型01利用基本不等式的变形求最值.....................................................................2

角度1积(和)为定值求最值.............................................................................2

角度2常数代换法.......................................................................................5

题型02基本不等式的实际应用............................................................................7

分层练习................................................................................................10

夯实基础...............................................................................................10

能力提升................................................................................................17

创新拓展................................................................................................24

知识梳理

一、利用基本不等式的变形求最值

用基本不等式求最值

已知％,都是正数，如果和x+y等于定值S,

两个正数的和为常数时，它们的积有最y

那么当________时，积孙有最大值否2

________值

两个正数的积为常数时，它们的和有最已知x,y都是正数，如果积犯等于定值产，

________值那么当________时，和x+y有最小值2"

(1)口诀：和定积最大，积定和最小.

(2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等

题型归纳

题型01利用基本不等式的变形求最值

【解题策略】

常数代换（“1”的代换）法求最值的步骤

（I）根据已知条件或其变形确定定值（常数）.

（2）把确定的定值（常数）变形为1.

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.

（4）利用基本不等式求解最值

角度1：积（和）为定值求最值

【典例分析】

【例1】例1⑴若a>0,b>0,。+26=5,则油的最大值为（）

A.25B学

c25-25

c•不DT

⑵若0<x</则y=2x・（l—3x）的最大值是.

⑶设实数x满足x>—1,则函数y=x+£y的最小值为（）

A.3B.4

C.5D.6

【变式演练】

3yx

【变式1］（2324高一下.浙江•期中）若实数x>2y>0,则4二的最小值为（）

尤一2yy

A.25/3B.2A/3-1C.2A/3+1D.2A/3+2

【变式2］已知0<x<l,则彳（3—3尤）取最大值时x的值为（）

A-|B.gc.|D1

【变式3】（2324高一上•浙江杭州•阶段练习）若正数。力满足a+26=4.

⑴求ab的最大值;

⑵求白+5的最小值.

角度2常数代换法

【典例分析】

Q1

【例2】已知x>0,y>O且满足1+1=1.求x+2y的最小值.

f%y

【变式演练】

2

【变式1】（2324高一下•辽宁葫芦岛•开学考试）已知x>0,y>0,且4x+y=l,则工的最小值为（）

口

A.5B.472C.4D.272

41

【变式2］（2324高一上.湖南邵阳•阶段练习）若无>0,>>0,且x+丁=6,则—+一的最小值为______.

xy

【变式3](2324高一上.青海海东•期中)已知x>0,J>0,且x+y=2.

19

(I)求一+一的最小值；

xy

(2)若4x+l—aN0恒成立，求加的最大值.

题型02基本不等式的实际应用

【解题策略】

利用基本不等式解决实际问题的步骤

(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.

(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值.

(4)正确写出答案

【典例分析】

【例3】甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求IWXWIO),每小时可消耗A

材料(依+9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.

⑴设生产机千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；

⑵要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

【变式演练】

【变式1]（2223高一上•全国•期中）小王准备用18m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m,小王需要合

理安排矩形的长、宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（）

8]

A.—m2B.40m2C.36m2D.32m2

2

【变式2]（2324高一上•河北•阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,

售货员先将5g的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，

再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金______10g.（填

“大于,，“小于,，”等于,，“不确定

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有叫乙=利七,其中州，牝分别为左右盘中物体质量，几人分别为左右横梁臂

长.

【变式3]（2324高一上.甘肃临夏•期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位

置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋

顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？

最低总造价是多少元？

分层练习

【夯实基础】

一、单选题

2

1.（2324高一上.广东潮州•期中）已知则无（2-3%）的最大值是（）

1]_

A.-B.-CID.

346

2.（2324高一上•云南昆明・期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形

健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（）

A.32.5m2B.36m2C.37.5m2D.40m2

3.（2324高一上•新疆期末）若正实数x、>满足尤+y=2,则'的最小值为（）

孙

A.0B.1C.2D.3

2

4.（2324高一下.湖南•开学考试）已知加2>〃>0,则m2+/、的最小值为（）

—n）

A.4B.6C.8D.2

二、多选题

5.（2324高一下•山东淄博・期中）已知。>0,b>0,且a+6=l,则下列不等式成立的是（）

49

>25

,1-+--2

A.ab>—B.QbC.Ja+y/b<V2D.a<a+3b

4

6.（2324高一下•云南•阶段练习）已知〃，b均为正数，且2a+5》=l,则下列结论一定正确的是（）

1101

A.->yB.-^7+：的最小值是16

aba+4ba+b

C.而的最大值是士D.8a2+50Z?2>1

40

三、填空题

Q1

7.（2324高一上.安徽马鞍山•期中）已知且a+b=3,则一；+一的最小值为__________.

（2+1b+\

91yn

8.（2324高一上.江西南昌•阶段练习）已知。>。>，且--+-->——恒成立，实数机的最大值是_______

a—bb-ca-c

3yxX

9.（2324高一下.湖南•阶段练习）若实数无>2y>0,则一十+一的最小值为________，此时一=________,

x-2yyy

四、解答题

4

10.（2324高一上.广东韶关.阶段练习）（1）已知X>1,求函数y+x的最小值；

x-i

（2）已知正数满足4x+y=l,求一+一的最小值.

xy

11.（2324高一上•山东荷泽•阶段练习）已知a>0,b>0,a+b=l,求下列代数式的最小值

⑴+^—；

a+2b+2

（2）—0+y）.

ab

【能力提升】

一、单选题

1.（2324高一下•河南周口•阶段练习）已知正数满足乃=1,则T=（a+l）2+（6+l）2的最小值为（）

A.4B.6C.8D.16

2.（2324高一上.安徽芜湖.期末）若实数苍，满足-=1,则/+2丁的最小值为（）

A.1B.72C.2D.272

3.（2324高一上.河北.阶段练习）如图，某地区计划在等腰AABC的空地中，建设一个有一边在8C上的矩形花园，已

知A8=AC=50m,BC=80m,则该矩形花园面积的最大值为（）

A.500m2B.550m2C.600m2D.650m2

4.（2324高一上•福建龙岩•期末）已知尤且x+y-盯=；,则2x+y的最小值是（）

A.2A/2B.4C.4A/2D.5

二、多选题

14

5.（2324高一下•浙江•阶段练习）已知a>0,b>0,且一+丁=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.他有最小值4B.有最小值5

C.2仍+6有最小值40D.4/+从有最小值16

6.（2223高一上•山西大同•阶段练习）下列结论正确的是（）

当尤时，工的最小值是

A.当x>0时，—B.>2x+2

yJXX

XV

C.当x>0,y>0时，一+32D.当x<2时，y=的最小值为3

yxx-2

三、填空题

Q

7.（2324高一上•北京•期中）已知x>0,贝UXH在％=时，取得最小值为.

X

Q

8.（2324高一上•北京•期中）已知y=2x+--（%>3）,则当x=时，，取最小值为.

X-J

9.（2324高一下•安徽•阶段练习）设mb为正实数，且满足。+6=2,则」+「万的最小值是_____

1+a1+b

四、解答题

10.（2324高一上.安徽芜湖•阶段练习）（1）已知a,b&R,比较5a?+/+2与4出?+2。的大小，并说明理由.

（2）已知x>l,求y=4x+」1的最小值，并求取到最小值时x的值.

x-1

11.（2324高一上.吉林长春•期中）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情

期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入X万元（1VXV15）,

珍珠棉的销售量可增加。吨，其中。=ITT<,每吨的销售价格为3-2万元，另外每生产1吨珍珠棉还需

18-x,9<x<15I

要投入其他成本0.5万元.

（1）与出该公司本季度增加的利润y