中考数学重难题型专项训练：圆的综合探究（原卷版+解析）

专题28圆的综合探究

1.（2021•湖北随州市•中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利

用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同

底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用

等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

（图2）

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为

其内切圆的半径长为

（2）①如图1,尸是边长为a的正6c内任意一点,点。为的中心，设点P到

△ABC各边距离分别为4,%，由，连接AP，BP,CP,由等面积法，易知

|a（/z+A+/z）=S可得%+用+%=

123AABC=3SAOAB,；（结果用含。的式子表示）

②如图2,P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距

离分别为%,%,%,%,参照①的探索过程，试用含a的式子表示4+/22+H+4+/25

Q

的值.（参考数据：tan36°。.，tan54°4）

（图3）（图4）

（3）①如图3,已知0。的半径为2,点A为。。外一点，OA=4,AB切。。于点3,

弦BCHOA,连接AC,则图中阴影部分的面积为；（结果保留"）

②如图4,现有六边形花坛A3CD",由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形

状改造成五边形A3CDG,其中点G在AR的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不

变，试确定点G的位置，并说明理由.

2.（2021•北京中考真题）在平面直角坐标系X。》中，。。的半径为1,对于点A和线段8C,

给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到。。的弦8C(8',。分别是5c的对

应点)，则称线段是。O的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点4片,。1,32，。2，4,。3的横、纵坐标都是整数.在线段与0,不。2,83c3中,

OO的以点A为中心的“关联线段”是

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(0/),其中two.若是OO的以点A为

中心的“关联线段”，求/的值;

(3)在AA6c中，AB=1,AC=2.若是OO的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出OA的最小值和最大值，以及相应的长.

3.(2021•四川遂宁市•中考真题)如图，。。的半径为1,点A是。。的直径BD延长线上

的一点，C为。。上的一点，AD=CD,NA=30°.

(1)求证：直线AC是。。的切线；

(2)求AABC的面积；

(3)点E在上运动(不与B、D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

4.(2021•浙江中考真题)如图1,四边形A6CD内接于O。，3。为直径，上存在

点E,满足AE=C£)，连结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.

（1）若ZDBC=a,请用含a的代数式表列NAGfi.

（2）如图2,连结CE,CE=BG.求证；EF=DG

（3）如图3,在（2）的条件下，连结CG,AD=2.

①若tanZADB3,求AFG。的周长.

②求CG的最小值.

5.（2021•山东中考真题）如图1,0为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BQ=CQ.连

接AC并延长，与5D的延长线相交于点E.

图1图2图3

（1）求证：CD=ED；

（2）AZ）与OC,分别交于点F,H.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FOAH；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

6.（2021•浙江台州市•中考真题）如图，BD是半径为3的。0的一条弦，BD=4jL点A

是。。上的一个动点（不与点B,D重合）,以A,B,D为顶点作平行四边形ABCD.

AA

BD

图1图2

(l)如图2,若点A是劣弧8°的中点.

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积.

(2)若点A运动到优弧BO上，且平行四边形ABCD有一边与。0相切.

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值.

7.(2021•天津中考真题)已知4?18。内接于00,43=4。,/区4。=42。，点》是。。

上一点.

D

图①图②

(I)如图①，若30为。。的直径，连接CD,求ND6C和NACD的大小；

(II)如图②，若CD〃B4,连接AD,过点D作。。的切线，与0C的延长线交于点E,

求NE的大小.

8.(2021•浙江中考真题)如图，锐角三角形ABC内接于。。，NR4c的平分线AG交。。

于点G,交边于点连接BG.

（1）求证：AABGs^AFC.

（2）已知=AC=AF^b,求线段FG的长（用含。，〃的代数式表示）.

（3）已知点E在线段A/上（不与点A,点R重合），点。在线段AE上（不与点A,点、E

重合），ZABD=NCBE,求证：BG2=GEGD.

9.（2021•湖北中考真题）如图，在菱形ABCD中，。是对角线3。上一点（60>DO）,

OE±AB,垂足为E,以OE为半径的0。分别交OC于点〃，交£0的延长线于点

EF与DC交于点G.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若G是纤的中点，OG=2,DG=1.

①求HE的长；

②求的长.

10.(2021•四川中考真题)如图，。。的半径为1,点A是。0的直径BD延长线上的一点，

C为。。上的一点，AD=CD,ZA=30°.

(1)求证：直线AC是。。的切线；

(2)求△ABC的面积；

(3)点£在防。上运动(不与B、D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点

F.

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长;

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

11.(2021•四川中考真题)如图，点D在以AB为直径的。0上，过D作。。的切线交AB

延长线于点C,4后_18于点£,交。。于点F,连接AD,FD.

(1)求证：ZDAE=ADAC

(2)求证：DFAC^ADDC；

(3)若sinNC=:,AD=4^/10)求EF的长.

12.(2021•四川中考真题)如图，AB为。。的直径，C为上一点，连接AC3C,D

为A3延长线上一点，连接CD,且/BCD=/A.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若。。的半径为笈。的面积为2百，求8的长；

EF1

(3)在(2)的条件下，E为。。上一点，连接CE交线段OA于点F,若一=—,求BF

CF2

的长.

13.(2021•浙江中考真题)如图，在平面直角坐标系中，0/经过原点0,分别交了轴、

》轴于A(2,0),5(0,8),连结A3.直线CN分别交。取于点。，E(点。在左侧)，

交》轴于点。(17,0),连结AE.

(1)求0M的半径和直线CN的函数表达式.

(2)求点£的坐标.

(3)点P在线段AC上，连结/>£.当/4EP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足

条件的0P的长.

专题28圆的综合探究

1.(2021•湖北随州市•中考真题)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利

用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同

底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用

等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为,

其内切圆的半径长为;

(2)①如图1,尸是边长为“的正6c内任意一点，点。为ATWC的中心，设点P到

△A6C各边距离分别为4,%,由，连接心，BP,CP,由等面积法，易知

+4+4)=S^ABC=，可得4+为+%=；(结果用含a的式子表示)

②如图2,尸是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点尸到五边形ABCDE各边距

离分别为h2,h3,也，h5,参照①的探索过程，试用含a的式子表示4+/4+4+%+%

(3)①如图3,已知。。的半径为2,点A为。。外一点，OA=4,AB切0。于点3,

弦BCHOA,连接AC,则图中阴影部分的面积为；(结果保留")

②如图4,现有六边形花坛ABCDEP,由于修路等原因需将花坛进行改造.若要将花坛形

状改造成五边形A3CDG,其中点G在A厂的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不

变，试确定点G的位置，并说明理由.

1?A552

【答案】(1)一,1；(2)①见4；②一。；(3)①一万；②见解析.

52163

【分析】

(1)根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；

(2)①先求得边长为”的正的面积，再根据3。(4+4+4)=54板=35左.解

题即可；②设点。为正五边形ABCDE的中心，连接OA,0B,过。作A3于。，

先由正切定义，解得。。的长，由①中结论知，S五边形MCDE=5SA。"，继而得到

ga(hl+h2+h3+4+4)=5xgaxgatan54°,据此解题;

(3)①由切线性质解得/Q45=30。，再由平行线性质及等腰三角形性质解得

ZCOB=60°,根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等

的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形0BC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连

接。尸，过点E作EG〃。尸交A尸的延长线于G点，根据

S六边形ABCDEF=S五边形ABCDF+=S五边形ABC»G,据此解题.

【详解】

解：(1)直角三角形的面积为：-x3x4=6,

2

直角三角形斜边为：732+42=5-

设直角三角形斜边上的高为/Z,则工x5/=6

2

丝

5

设直角三角形内切圆的半径为广，则;(3+4+5)=gx3x4

厂.厂=1,

故答案为：—,1;

1

(2)①边长为a的正5c底边的高为正面积为：SAOAR=-.a--a=—ci

2A0AB224

+h+h=SS

1->23)^ABC=^^OAB

4+均+用二旦，

一2

故答案为：-^-a;

2

②类比①中方法可知+4+4+/14+〃5)=S五边形A5CDE，

设点。为正五边形ABCD石的中心，连接OA,0B,

由①得§五边形4BCDE=5s△ORB，

过0作OQLAB于。，ZEAB=1x180°x（5-2）=108°,

故NQAQ=54。，OQ=AQxtan540=^atan54°,

/z+/z+/z+/z+/^-—atan54°^-a.

1234216

(3)①QAB是。。的切线,

:.OBLAB

:.ZOBA=90°

•/OB-2.0A=4

:.ZOAB=30°

:.ZAOB=60°

BCHOA

:.ZAOB=ZOBC=60°

QOC=OB

:.ZOBC=ZOCB=60°

.."05=60°

过点。作OQLBC

・・・BC//OA,

・•.OQ是ACOB'AABC的高，

•C-Q

…0AABC一°AOCB

_60x万r2_60x4乃_2

二3阴影部分=白扇形0BC=一同。—=360=§»

2

故答案为：一兀；

3

②如图，连接小，过点E作EG〃。方交A方的延长线于G点，则点G即为所求,

连接OG,§六边形A3CDE/=§五边形ABCD尸+^DEF，

•；EG//DF，

,•°ADEF-°ADGF'

•V=S_1_V=Q

,•U六边形ABCDEF-u五边形ABC。尸于°ADGF一口五边形A3CDG•

【点睛】

本题考查正多边形和圆的知识，涉及含30°角的直角三角形、正切、切线的性质、扇形面

积公式、平行线的性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键.

2.（2021•北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，QO的半径为1,对于点A和线段BC,

给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到。。的弦8c（8',。'分别是民。的对

应点），则称线段是OO的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点A片,。1，82，。2，鸟,。3的横、纵坐标都是整数.在线段与0,耳。2,83G中，

。。的以点A为中心的''关联线段”是；

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点A(o,f),其中rwO.若是的以点A为

中心的“关联线段”，求f的值；

(3)在AA5c中，AB=1,AC=2.若是。O的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出OA的最小值和最大值，以及相应的长.

【答案】(1)与。2；(2)”土石；(3)当。4min=1时，此时BC=途；当。Anax=2

时，此时

2

【分析】

(1)以点A为圆心，分别以AB1,AC1,,AG,A片,AC3为半径画圆，进而观察是否与。。

有交点即可；

(2)由旋转的性质可得△ABC'是等边三角形，且g'C'是OO的弦，进而画出图象，则

根据等边三角形的性质可进行求解；

(3)由是OO的以点A为中心的“关联线段”，则可知8',C'都在OO上，且

AB'=AB=1,AC'=AC=2,然后由题意可根据图象来进行求解即可.

【详解】

解：(1)由题意得：

通过观察图象可得：线段32c2能绕点A旋转90°得到OO的“关联线段”，与G，&G都

不能绕点A进行旋转得到；

故答案为^G；

（2）由题意可得：当是。。的以点A为中心的“关联线段”时，则有△AB'C'是等边

三角形，且边长也为1,当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

设5'。'与y轴的交点为D,连接。B',易得轴，

B'D=DC=-,

2

•*.OD=yjOB'2-B'D'=—.AD=siAB'2-B'D2=—

22

OA=y/3,

t=/;

当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

y

同理可得此时的。4=6，

t=--\/3；

（3）由是OO的以点A为中心的“关联线段”，则可知8',C'都在。。上，且

AB'=AB=1,AC'=AC=2,则有当以5'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2

为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：

由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1,此时AC为OO的直径,

ZAB'C'=90°^

ZACB'=30°,

ABC=B'C'=AC-cos30。=百；

由以上情况可知当点A3',。三点共线时，0A的值为最大，最大值为2,如图所示：

连接OC',B'C,过点C'作C'P_L于点P,

OC'=1,AC'=OA=2,

设OF=x,则有AP=2—x,

，由勾股定理可得：CP2=AC'7-AP-=OC'--OP1-即22—(2—x)2=1—尤2,

解得：x=L

4

3

/.B'P=OB'-OP=-,

4

在RMB'PC中，B'C'=《BP+CP=—,

2

，BC=—；

2

综上所述：当。4mhi=1时，此时8。=若；当。4max=2时，此时3C=在.

2

【点睛】

本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的

性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.

3.(2021•四川遂宁市•中考真题)如图，。。的半径为1,点A是。。的直径BD延长线上

的一点，C为。0上的一点，AD=CD,ZA=30°.

(1)求证：直线AC是。。的切线；

(2)求4ABC的面积;

(3)点E在MD上运动(不与B、D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点

F.

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

【答案】(1)见解析；(2)£1；(3)①3；②26

4

【分析】

(1)连接0C,利用切线的判定定理，证明0CLAC即可;

(2)要求笈。的面积，结合(1)题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可;

(3)①根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长；

②由①可知，点E在运动过程中，始终有CF=6CE，所以，求出CE的最大值，即可得

到CF的最大值.

【详解】

(1)证明：连结0C,如图所示.

VAD=CD,NA=30°,

・・・NACD=NA=30°.

・・・NCDB=60°.

VOD=OC,

.,.Z0CD=Z0DC=60°.

・・・NAC0=NACD+N0CD=300+60°=90°.

A0C±AC.

・,・直线AC是。0的切线.

(2)过点C作CHJ_AB于点H,如图所示.

VOD=OC,Z0DC=60°,

・・・△ODC是等边三角形.

CD=OD=AD=1,DH=OH=-.

2

在Rt^OCH中，

CH=^JCD2-DH2=1—出=与.

VAB=AD+BD=3,

•CAR「口A6_36

,,SAABC=-AB*CH=-x3x—=^—.

(3)①当点E运动到与点。关于直径BD对称时，如图所示.

此时，CEXAB,设垂足为K.

由（2）可知，CK=

2

：BD为圆的直径，CE±AB,

.•.CE=2CK=73.

VCF±CE,

/.ZECF=90°.

BC=BC，

；.NE=/CDB=60°.

在RIAEFC中，

“CF

・tanNE-,

CE

•••CF=CE-tan60°=A/3x73=3.

②如图所示：

由①可知，在RMEFC中,

CF

***tnnNE-,

CE

•••CF=CE-tan60°=V3CE.

当点E在的D上运动时，始终有CF=y/3CE.

...当CE最大时，CF取得最大值.

...当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为2道.

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、

锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐

角三角函数的定义是解题的关键.

4.（2021•浙江中考真题）如图1,四边形A6CD内接于。。，30为直径，上存在

点E,满足AE=C£),连结BE并延长交CD的延长线于点F,BE与AD交于点G.

(1)若NDBC=a,请用含a的代数式表列NAGfi.

(2)如图2,连结CECEuBG.求证；EF=DG.

(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,AE>=2.

①若tanNADB=，求&FGD的周长.

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)ZAGB=9Q°-a-.(2)见解析；(3)①五史：②百

2

【分析】

(1)利用圆周角定理求得44。=90°,再根据AE=CD，求得NABG=NDBC=a,

即可得到答案；

(2)由NBEC=ZBDC=90°—。，得到ZBEC=ZAGB,从而推出ZCEF=ZBGD,

证得△CFEgABDG(ASA),由此得到结论；

⑶①连结。石.利用已知求出A5=3AD=百，证得D4=CE，得到BG=AD=2,

2

利用中，根据正弦求出NAG3=60°,AG=工5G=1,求出EF的长，再利用

2

RtADEG中,ZEGD=60°,求出EG及DE,再利用勾股定理求出DF即可得到答案；

②过点C作叱于H,证明△BAD也△CHF(A4S),得到"/=AD,证明

ABHC^ACHF,得到等=器，设GH=X,得到CH?=2(2—X),利用勾股定理

得到CG?=GH2+CH2，求得CG2=x2+2(2—x)=(x—1)2+3,利用函数的最值解答

即可.

【详解】

解：(1)；3。为。。的直径，

ZBAD^9Q0,

AE=CD，

:.ZABG=ZDBC=a,

ZAGfi=90°-a.

(2):吕。为。。的直径，

ZBCD=9Q°,

：.ZBEC=NBDC=90°—。，

ZBEC=ZAGB,

■：ZCEF=180°-NBEC/BGD=180°-ZAGB,

：.ZCEF=ZBGD.

又'：CE=BG,ZECF=Z.GBD,

ACFE均BDG(ASA),

EF=DG.

(3)①如图，连结OE.

BD为。。的直径，

：.ZA=ZBED=90°.

在RtAAB。中，tanZADB=—，AD=2,

2

AB=—AD=y/3.

2

,•*AE=CD，

AE+DE=CD+DE^

即DA=CE>

AD=CE.

,:CE=BG,

BG=AD=2.

,/在Rt^ABG中，sinZAGB,

BG2

ZAGB=60°,AG=-BG=\,

EF=DG=AD—AG=1.

•••在WADEG中，ZEGD=60°,

，EG=-DG=-,DE=~DG=—.

2222

在RfVEED中，DF=y/EF2+DE2=-1

，FG+DG+DF=5+近，

2

.••△FG。的周长为立立.

2

②如图，过点C作CHL3尸于H.

,:ABDGRCFE,

：.BD=CF,ZCFH=ZBDA.

■:ZBAD=/CHF=9Q。,

：.ABAD^CHF(AAS).

:.FH=AD，

•：AD=BG,

：.FH=BG.

­：ZBCF=90°,

：.ZBCH+ZHCF=90°.

,：ZBCH+ZHBC=90。,

；•ZHCF=ZHBC,

■：ZBHC=ZCHF=90°,

ABHCSACHF，

.BHCH

"CH-

设GH=x，

BH=2—x,

/.CH2=2(2-%).

在HAGHC中，g=GH°+CH?，

CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

当x=l时，CG?的最小值为3,

；.CG的最小值为

【点睛】

此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角

函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是

解题的关键.

5.(2021•山东中考真题)如图1,。为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BQ=CZ).连

接AC并延长，与3。的延长线相交于点E.

图1图2图3

(1)求证：CD=ED；

(2)AZ)与OC,分别交于点F,H.

①若CF=CH,如图2,求证：CFAF=FOAH；

②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.

7

【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②AC=—

2

【分析】

(1)连接BC,根据NACB=NBCE=90°,48+/68=90。且8。=°£),则

ZE=NECD,即可推导出。。=即；

⑵①CF=CH,则ZAEO=NCHF,又BD=CD，^CAD=ZBAD,则

AAFO^AAHC，进而推导出C/-AF=R)AH；

②连接0。交8c于G,设0G=x,则0G=2—x,根据在RtZXOGB和RtZiBG。中

列式22-V=F—(2-x)2,进而求得x的值，再根据中位线定理求出AC的长.

【详解】

证明：(1)连接8C,

,/AB为直径

ZACB=ZBCE=90°

ZECD+ZBCD=90°

7BD=CD

：.ZEBC=ZBCD

:./E=NECD

CD=ED.

(2)①:CF=CH

：.ZCFH=ZCHF

又,：ZAFO=NCFH

：.ZAFO^ZCHF

又BD=CD

：.ZCAD^ZBAD

/.AAFO^AAHC

.AF_OF

"AHCH

.AF_OF

：.CFAF=OFAH

②连接0。交于G.

设0G=x,则DG=2—x

'•*CD=BD

/.NC0D=NB0D

又；0C=0B

：.ODKBC,CG=BG

在RtAOGB和RtABGD中

22-%2=12-(2-X)2

77

x=—即0G=—

44

OA=OB

/.0G是AABC的中位线

/.OG=-AC

2

【点睛】

本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，

借助辅助线是解决这类问题的关键.

6.（2021•浙江台州市•中考真题）如图，BD是半径为3的。。的一条弦，BD=4及，点A

是。0上的一个动点（不与点B,D重合）,以A,B,D为顶点作平行四边形ABCD.

AA

BD

图1图2

（1）如图2,若点A是劣弧3£）的中点.

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积.

（2）若点A运动到优弧30上，且平行四边形ABCD有一边与。0相切.

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值.

【答案】①证明见解析；②8&；（2）①AB的长为|a或4在；②:J5

【分析】

（1）①利用等弧所对的弦相等可得4）=43,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可

得证；②连接A0,交BD于点E,连接0D,根据垂径定理可得。石=8后=2后，利用勾股

定理求出0E的长，即可求解；

（2）①分情况讨论当CD与。。相切时、当BC与。。相切时，利用垂径定理即可求解；②

根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解.

【详解】

解：（1）①：点A是劣弧BO的中点，

AD=AB，

AD=AB,

1/四边形ABCD是平行四边形，

平行四边形ABCD是菱形；

②连接A0,交BD于点E,连接0D,

A

一

丁点A是劣弧BD的中点，0A为半径，

AOALBD,0A平分BD,

DE=BE=272，

:平行四边形ABCD是菱形，

，E为两对角线的交点，

在RtZiODE中，OE=y/ODr-DE2=1.

AE=2,

/.SARCn=—BD-AEx2=8A/2；

(2)①如图，当CD与。。相切时，连接DO并延长，交AB于点F,

：CD与。。相切，

DFLCD,

:.AB=2BF,

•..四边形ABCD是平行四边形,

AB//CD,

DF±AB,

在RtZkBD尸中，BF2=BD2-DF2=32-((9F+3)2,

在RtZlBO尸中，BF?=BO?-OF?=9—OF?，

,7

/.32-(OF+3)-=9-OF2,解得0R=§,

BF=七母,

3

;.AB=2BF=-y/2；

3

如图，当BC与。。相切时，连接B0并延长，交AD于点G,

4/~7

同理可得AG=OG=—。2,OG=~,

33

所以AB=JBG2+AG2=48，

综上所述，AB的长为或4&；

②过点人作凡以上应），

A

由（2）得：BD=^41,AD=-42,BG=3+-=—,

333

根据等面积法可得-BDAH=-ADBG,

22

32

解得AH=二，

9

在在中，DH=VAD2-AH2=-72,

9

：.Hl=241--41=—42,

99

AH8n-

tan/AJH=----=—。2.

HI5

【点睛】

本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想

是解题的关键.

7.（2021•天津中考真题）已知AABC内接于OO,AB=ACN8AC=42。，点D是0。

上一点.

（I）如图①，若3。为。。的直径，连接CD,求NDBC和NACO的大小；

（II）如图②，若CD//B4,连接AO,过点D作。。的切线，与OC的延长线交于点E,

求NE的大小.

【答案】（I）ZDBC=48°,ZACD=21°；（II）NE=36。.

【分析】

（I）由圆周角定理的推论可知N6CD=90°,ZBDC=ZBAC=42°,即可推出

ZDBC=90°-ABDC=48°；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出

ZABC=ZACB^69°,从而求出NACD=NBCD—NACB=21°.

（II）连接。£）,由平行线的性质可知NACD=4AC=42°.由圆内接四边形的性质可

求出NA£>C=180°—/45c=111°.再由三角形内角和定理可求出NZMC=27°.从而

由圆周角定理求出"OC=2/ZMC=54。.由切线的性质可知NODE=90。.即可求出

ZE=90°-ZDOE=36°.

【详解】

（I）3。为。。的直径，

ZBCD=90°.

•.•在。。中，ZBDC=ZBAC=42°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=48°；

VAB=AC,ABAC=42°,

：.ZABC=ZACB=1(180°-ABAC)=69°.

ZACD=ZBCD-ZACB=21°.

(II)如图，连接O£).

1.•CD//BA,

：.ZACD=ZBAC=42°.

•.•四边形ABCD是圆内接四边形，ZABC=69°,

：.ZADC=18O0-ZABC=1U°.

：.ZDAC=180°-ZACD-ZADC=27。.

ZDOC=2ZDAC=54°.

DE是OO的切线，

：.DE±OD,即NODE=90°.

：.ZE=900-ZDOE=36°.

【点睛】

本题为圆的综合题.考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平

行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质.利用数形结合的思想以及连接常用的

辅助线是解答本题的关键.

8.(2021•浙江中考真题)如图，锐角三角形ABC内接于O。，N54c的平分线AG交。。

于点G,交边于点P,连接BG.

(1)求证：AABGS/\AFC.

(2)已知AC=AF^b,求线段FG的长(用含。，b的代数式表示).

(3)已知点E在线段AF上(不与点A,点/重合)，点。在线段AE上(不与点A,点、E

重合)，ZABD=NCBE,求证：BG2=GEGD.

【答案】(1)见解析；⑵FG=a—b；(3)见解析

【分析】

(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角

形相似；

(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由尸G=AG—AE即可求得；

(3)要证3G之=GE-GD即证△OGBs/XBGE,已知条件有一对角相等，利用外角关系

可以证明NB£)G=N£BG,从而得证.

【详解】

(1)因为AG平分N54C,

所以NB4G=NE4C,

又因为NG=NC,

所以△ABGs/iAFC.

,、上，、“ABAG

(2)由(1),知---=----

AFAC

因为AC=A/,

所以AG=A5,

所以尸G=AG—AF=a—b.

（3）因为NC4G=NCBG,

又因为NBAGuNCAG,

所以NBAGn/CBG,

因为/ABD=NCBE,

所以ZBDG=ZBAG+ZABD=NCBG+NCBE=ZEBG，

又因为NDGB=NBGE,

所以△DGBsLBGE,

…GDBG

所以一=—,

BGGE

所以3G2=GEGD.

【点睛】

本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题

关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似.

9.（2021•湖北中考真题）如图，在菱形ABCD中，。是对角线30上一点（60>DO）,

OE±AB,垂足为E,以0E为半径的。。分别交OC于点”，交石。的延长线于点尸，

EF与DC交于点G.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若G是叱的中点，OG=2,DG=1.

①求的长；

②求AD的长.

Q]5

【答案】（1）见解析；（2）①二万；②二

32

【分析】

（1过点。作OM±BC于点M,根据菱形的性质得到ZABD=/CBD,证明出aOEB

乌△OMB,得到对应边相等，对应边为圆的半径，得出结论；

（2）①根据菱形的性质得到CD,再由G是"的中点，OG=2,£>G=1,根据

sinZGHO=-,推出NGH0=30°,ZGOH=6Q°,NHOE=120°,再由弧长的计算

2

公式得到结果；

②先由平行相似，得到△ODG~AOBE,对应边成比例求出BE=2DG=2,推出BN=3,

0E=4,DN=6,再由勾股定理求出即可.

【详解】

(1)证明：如图，过点。作5c于点V,

V3。是菱形ABC。的对角线，

ZABD=ZCBD,

•/OMVBC,OE1AB,

.•.Z0EB=Z0MB=90°,

VOB=OB,

/.△OEB^AOMB(AAS)

OE-OM,

/.BC是。。的切线.

(2)解:①如图，

是O9的中点，OF=OH,

：.OG=-OH.

2

VABIICD,OELAB,

：.OFVCD,

...ZOGH=90°,

sinZ.GHO=—,

2

ZGHO=30°,

：.ZGOH=6Q0,

：.NHOE=120°,

；OG=2,

：.OH=4,

120x4xa*X

由弧长公式，得到的长：1=[go=犷

②方法一:如图，过点。作。N,48于点N,

VAB//CD,

：./\ODG~/\OBE,

•_D__G__O__G___O__G___1

…BE~OE~2OG~2,

/.BE=2DG=2,

,.,DG//NE,DN//GE,ZGEN=900

，四边形NEGD是矩形，

:.NE=DG=\,BN=3,0E=4,DN=6,

在菱形ABC。中，AD=AB,在RtAADN中，设AO=A5=x，

Ax2=(X-3)2+62,

15

..x——.

2

方法二：如图，过A作AN_LB。于点N,

；DG=1，0G=2,0E=0H=4,

L尺

：.0D=5OB=2yj5,DN=-!—，

2

ADOG-ADAN,

DODG

"AD~DN"

…DO-DN

【点睛】

本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性

质，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的

应用，特别是菱形的性质.

10.(2021•四川中考真题)如图，。。的半径为1,点A是。0的直径BD延长线上的一点，

C为。。上的一点，AD=CD,ZA=30°.

(1)求证：直线AC是。。的切线；

(2)求△ABC的面积；

(3)点E在航。上运动(不与B、D重合)，过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点

F.

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长.

【答案】(1)见解析；(2)空；(3)①3；②2若

4

【分析】

(1)连接0C,利用切线的判定定理，证明OCLAC即可；

(2)要求笈。的面积，结合(1)题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可;

(3)①根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长；

②由①可知，点E在运动过程中，始终有CF=6CE，所以，求出CE的最大值，即可得

到CF的最大值.

【详解】

(1)证明：连结0C,如图所示.

VAD=CD,NA=30°,

AZACD=ZA=30°.

/.ZCDB=60°.

VOD=OC,

/.Z0CD=Z0DC=60°.

・・・NAC0=NACD+N0CD=300+60°=90°.

・・・OC_LAC.

・•・直线AC是。。的切线.

(2)过点C作CHLAB于点H,如图所示.

V0D=0C,Z0DC=60°,

・・・△ODC是等边三角形.

/.CD=OD=AD=1,DH=OH=-

2

:,在RtQCH中，

,.・AB=AD+BD=3,

•。_1_1Q6_373

,,SAABC'A4BR。。"=5X3X5-=2—.

(3)①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，如图所示.

此时，CE±AB,设垂足为K.

由(2)可知，CK=—.

2

；BD为圆的直径，CE±AB,

.\CE=2CK=V3.

VCF±CE,

.•.ZECF=90°.

BC=BC，

.•.ZE=ZCDB=60°.

在RtAEFC中，

CF

VtanZE=-----,

CE

CF=CE-tan60°=V3x^=3.

②如图所示：

由①可知，在RMEFC中,

CF

VtanZE=----,

CE

・・・CF=CE-tan60°二^CE.

c

，当点E在脓D上运动时，始终有CF=RE.

...当CE最大时，CF取得最大值.

...当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为2g.

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、

锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐

角三角函数的定义是解题的关键.

11.(2021•四川中考真题)如图，点