湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节典型例题

第一章二元一次方程

【知识点归纳】

1.含有个未知数，并且项的次数都是的方程叫做二元一次方程。

2.把个含有未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成

的方程组，叫做二元一次方程组。

3.在一个二元一次方程组中，使每一个方程两边的值都的一组未知数的值，叫做这个二元一次方

程组的解。

4.由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有的代数式表示，再代入另一方程，便得到

一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做消元法，简称代入法。

5.两个二元一次方程中同一未知数的系数或时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从

而得到一个一元一次方程。这种解方程组的方法叫做消元法，简称加减法。

6.列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找。

【典型例题】

1.已知关于x,y的方程组[3x+5尸2m的解满足*+2丫=2.

[x+y=m-l

（1）求m的值；（2）若a2m,化简：|a+l|-|2-a|.

2.己知二元一次方程组的解为x=a,y=b,求a+b的值.

l-3x+2y=21

3.解方程组：

'x+4y=14

①[3x-2尸6

l2x+3y=17

3~^12

4.为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只,

很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲种节能灯3040

乙种节能灯3550

（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元?

5.随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其

中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）.小明、小刚两人用该打车方式出

行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

时间（分钟）里程数（公里）车费（元）

小明8812

小刚121016

（1）求x,y的值；（2）小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？

第二章整式的乘法

【知识点归纳】

1.同底数早相乘，不变，相加。a"a=（m,n是正整数）

2.塞的乘方，不变，相乘。（an）=（m,n是正整数）

3.积的乘方，等于把，再把所得的累o（ab）三（n是正整数）

4.单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘。

5.单项式与多项式相乘，先用单项式，再把所得的积,a(m+n)=

6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘,再把所得的积

(a+b)(m+n)=__________________________

7.平方差公式，即两个数的与这两个数的的积等于这两个数的平方差(a+b)(a-b)=

8.完全平方公式，即两数和(或差)的平方，等于它们的,加(或减)它们的积的0

(a+b)2=,(a-b)。

9.公式的灵活变形：

(a+b)2+(a-b),(a+b)2-(a-b):,a2+b2=(a+b)2-,

a2+b2=(a-b)2+,(a+b)2=(a-b)2+,(a-b)2=(a+b)2-»

【典型例题】

1.已知a*=5,ax+y=25,求a*+ay的值.

2.a-a(a>0且aWl,m,n是正整数)，则m=n.

你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行!

①如果2X8*X16*=222,求x的值；②如果(271)=38,求x的值.

2.已知y=2,尸=3,求(x2m)3+(ym)6-(x2y)的值.

12.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

(1)求xy的值.(2)求x°+3xy+y2的值.

运用乘法公武荷便计算:

例1.(993)：

=(1000-2>

-1000000-400(H4

096004

例2.197*203

=(200-3)(200+3)

-200:-3:

=40000-9

-3999]

4.请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算;

(1)6992(2)20192-2017X2021

5.先化简，再求值：(x+3y)"-(x+3y)(x-3y),其中x=3,y=-2.

第三章因式分解

【知识点归纳】

1.把一个多项式表示成若干个的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.

恒等变形；3.分解彻底。）

2.几个多项式的称为它们的公因式。

3.如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因

式法。am+an=a（）

4.找公因式的方法：

找公因式的系数：取各项系数绝对值的o

确定公因式的字母：取各项中的相同字母，相同字母的的。

5.把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。

a2-b2=,a2+2ab+b2=,a2-2ab+b2=。

【典型例题】

1.已知二次三项式2x、3x-k有一个因式是（2x-5）,求另一个因式以及k的值.

2.已知ab?=6,求ab(a2b5-ab'!-b)的值.

3.因式分解：

(1)3ax2-6axy+3ay2(2)(3x-2)2-(2x+7)

(3)-2m2+8mn-8n2(4)a2(x-1)+b2(1-x)

(5)(m2+n2)-4m2n2(6)9a"(x-y)+4b^(y-x)

第四章相交线与平行线

【知识点归纳】

1.同一平面内的两条直线有、、（或平行）三种位置关系。

2.在同一平面内，没有的两条直线叫做平行线。（记作a〃b）

3.过直线外一点有直线与这条直线平行。

4.平行于同一条直线的两条直线（平行线的性）-

5.有共同的,其中一角的两边分别是另一角的两边的线，这样的两个角叫做对顶角。对顶

角0两条直线相交，有2对对顶角，n条直线相交于一点，有n（n-1）对对顶角。

6.同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在,同一侧的角，是同位角。

7.内错角：在“三线八角”中，夹在两直线，位置____________角，是内错角。

8.同旁内角：在''三线八角”中，夹在两直线,在第三条直线的角，是同旁内角。

9.平移不改变图形的和,不改变直线的,一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应

点的连线（或在同一直线上）。

10.平行线的性质：

（1）两直线平行，角相等；（2）直线平行，相等；（3）两直线平行，角互补。

11.平行线的判定：

（1）角相等，两直线平行；（2）角相等，两直线平行；（3）角互补，两直线平行。

12.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做o

(记作a，b)

13.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线o

14.在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于0

15.在同一平面内，过一点一条直线与已知直线垂直。

16.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，从直线外一点到这条直线的的长度，叫

做点到直线的距离。

17.两条平行线的所有都相等。两条平行线的公垂线段的叫做两条平行线间的距离。

【典型例题】

1.如图，直线AB,CD相交于点0,0A平分NE0C.

(1)若/E0C=80°,求/BOD的度数；

(2)若/EOC=/EOD,求NB0D的度数.

2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，AABC的顶点A、B、C

的顶点上，将AABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△AJ3C

(1)在网格中画出△AiBC；

(2)计算AAiBC的面积.

3.如图，AB〃CD,EF平分NAEG,若/EGD=130°，求/EFG的度数.

4.已知：如图，AB〃CD,点E在AC上，ZA=115°,ZD=20°,求/AED的度数.

5.如图，已知/1=/2,ZB=100°,求/D的度数.

6.如图，BD是/ABC的平分线，ED//BC,/FED=/BDE,则EF也是/AED的平分线.完成下A

列推理过程：

证明：：BD是NABC的平分线(__________________________

ZABD=ZDBC(_____________________________)

VED//BC(_____________________________)

ZBDE=ZDBC(_____________________________)

・・・_______________________(_____________________________:)

又・.・NFED=NBDE(_____________________________)

..._______//________(_______________________________)

ZAEF=ZABD(_____________________________)

・・・NAEF=NDEF(_______)

；.EF是/AED的平分线(____________________________)

7.如图，已知直线BC、DE交于0点,OA、OF为射线，OA±BC,OF平分NCOE,ZC0F=17°.求N

ZA0D的度数.

1一1

BC

D

8.如图，AB与CD相交于0,0E平分NAOC,OF_LAB于0,OGJ_OE于0,若NB0D=40°,F

G\

支/ACF和ZROG的底和

C

第五章轴对称图形

【知识点归纳】

1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线_____—，直线两侧的部分能够________，那么这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做它的________。等腰三角形有一一条对称轴，等边三角形有一条对称轴，长方形有_____条对称轴，正

方形有条对称轴，圆有条对称轴。

2.轴对称变换不改变图形的和（含长度、角度、面积等）。

3.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴=

4.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所

成的相等。旋转不改变图形的和。

【典型例题】

1.在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊的三角形中，是轴对称图形的有个.

2.在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有个旋转对

称图形.一~~~~~~一

3.在图中涂黑一个小正方形，使得图中黑色的正方形成为轴对称图形，这样的小正方形——

可以有个.一■■■一

第六章数据的分析~~~~~~

【知识点归纳】

1.加权平均数：权数之和为O

2.中位数：把一组数据按顺序排列，如果数据的个数是数，位于的数称为这组数据的中位数;

如果数据的个数是数，位于中间的两个数的数称为这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中，出现的数。

4.方差：一组数据中，各数据与其之差的平方的______值。即0

【典型例题】

1.物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分情况如表:

得分（分）10987

人数（人）5843

①求这20位同学实验操作得分的众数、中位数.

②这20位同学实验操作得分的平均分是多少？

③将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图.扇形①的圆心角度数是多少？

笔试面试体能

甲858075

29.某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、

乙809073

体能三个方面进行量化考核.甲、乙、丙各项得分如下表：

丙837990

（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排序.

(2)该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%,30%,10%的比例计入总分(不

计其他因素条件)，请你说明谁将被录用.

30.甲乙两名运动员进行射击选拨赛，每人射击10次，其中射击中靶情况如下表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次

甲71081099108109

乙107109910810710

(1)选手甲的成绩的中位数是分；选手乙的成绩的众数是分；

(2)甲的平均成绩是分，方差是；

(3)已知选手乙的成绩的方差是1.4,则成绩较稳定的是哪位选手？(直按写出结果)

和、差、倍、分问题

公式：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量

1、某公园有东、西两个门，开园半小时内，东门售出成人票65张，儿童票12张，收票款568元；西门售出成人票81

张，儿童票8张，收票款680元。请你算一算，该公园成人票、儿童票单价分别为多少？

2、某校课外小组的学生分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人。求课外小组的人数和应分

成的组数。

3、2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还

多0.6亿立方米。问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？

产品配套问题

加工总量成比例

1、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么

每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

2、一张方桌由一张桌面和四条腿做成，已知1立方米木材可做50个桌面或300个桌腿，现有5立方米木料，恰好能

做成方桌多少张？

3、某车间每天能生产500只甲种零件或者乙种600只，或者丙种零件750只，已知甲，乙，丙三种零件各一个配成一

套，现需要在30天内生产出最多的配套成品，问甲，乙，丙三种零件各应生产几天？

行程问题

与路程问题有关的等量关系：路程=速度义时间，速度=路程+时间，时间=路程+速度

1、从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4

千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。甲地到乙地全程是多少？

2、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A处，甲组下车步行,

汽车返回接乙组，最后两组同时到达北山站。已知车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山的距离。

3、通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要

迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？

行程问题一一相遇问题

相遇问题:这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。

1、甲、乙两人从相距36米的两地相向而行。如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙

比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米?

2、甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果同时、同地相向出发，经过80秒相遇；已知乙的速度是甲速度

的2/3,求甲、乙两人的速度.

行程问题一一追击问题

追击问题：其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程；

1、某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发lh后乙车出发，则乙车出发后5h追上甲车；若甲车先开出20km后乙车

出发，则乙车出发4h后追上甲车.求两车速度.

2、甲乙两人相距6km,两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙。两人的平均速

度各是多少？

行程问题一一航行问题

航行问题：①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；

②船在静水中的速度一水速=船的逆水速度；

③顺水速度一逆水速度=2X水速。

1、两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

2、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。

3、A市至B市的航线长1200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需要3小时

20分。求飞机的平均速度与风速。

工程问题

公式：工作量=工作效率X工作时间，各部分工作总量=1

1、一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独

做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？

2、小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下

的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元,若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选

甲公司还是乙公司？请你说明理由.

3、甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时甲先花了1小时修理工具，因此甲每小时比

以前多加工10件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了10件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？

增长率问题

公式：原量X（1+增长率）=增长后的量，原量X（1-减少率）=减少后的量

1、某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今

年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

2、某储蓄所去年储户存款为2300万元，今年与去年相比，定期存款增加了25%,而活期存款减少了25%,但存款总

额增加了15%,问今年的定期、活期存款各是多少？

3、某中学现有学生500人，计划一年后在校女生增加3%,在校男生增加4%,这样，在校学生将增加3.6%,那么该

学校现有男生和女生人数分别是？

4、革命老区百色某芒果种植基地，去年结余500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15%,支

出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少万元？

浓度问题

公式：溶液X浓度=溶质

1、现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3：7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4：1,今要得到酒精

与水的比为3：2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

2、要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？

银行利率问题

免税利息=本金x利率X时间，税后利息=本金X利率X时间一本金X利率X时间X税率

1、小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反

复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率

为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

利润问题

公式：利润=售价一进价，利润率=（售价一进价）・进价X100%

1、五.一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲