高考数学一轮复习讲义：导数中的极值点偏移问题（新高考）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展09导数中的极值点偏移问题（精

讲+精练）

一、知识点梳理

一、极值点偏移基本定义

对于函数丁=/（%）在区间（机/）（机〈打）内只有一个极值点沟,函数y=/（x）与直线y=b交

于点A（%i，b）,BO2/）两点，即/（西）=/（%2），且机＜项＜％2＜九・

（1）若x0手理产，则称函数y=f（x）在区间（占户2）上极值点%0偏移.

⑵若3＜幺产，则称函数y=/（x）在区间（修户2）上极值点向左偏移，简称极值点左

偏.

⑶若4＞甘旦，则称函数y=/（x）在区间（修/2）上极值点X0向右偏移，简称极值点右

如上图所示，为为函数的极值点，％处对应的曲线的切线的斜率为0

由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。

当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有/=

当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有/=0。

当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，/土产〉/'(%)=0；

当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有/‘五产</'(%)=0。

如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，%和与处对应的函数值相等，我们

X

可以作%2关于0的对称点尤3，则％=2/一々〉石，且与<玉)，故/(x3)>/(xj,即

/(2%0-x2)>/(%!),故我们可以构造函数歹(x)=/(2xo—/)—/(xj,只需要判断函数

产(%)的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足/々工仙〉。，我们就可以得

到西+々<2%。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构

造函数。

二'答题模板(对称构造)

若已知函数/(x)满足)=/"(%),%为函数/(x)的极值点，求证：%1+%2<2x0.

(1)讨论函数/(X)的单调性并求出/(X)的极值点x0；

假设此处/(X)在(7),/)上单调递减，在(々,笆)上单调递增.

(2)构造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=/(x)-/(2x0-x)的形式.

(3)通过求导广(x)讨论尸(%)的单调性，判断出尸(x)在某段区间上的正负，并得出

f(xo+X)与/(x0-X)的大小关系；

假设此处F(x)在(0,+oo)上单调递增，那么我们便可得出

F(x)>F(%0)=f(x0)-f(x0)=0,从而得到：X〉/时，f(x0+x)>f(x0-x).

(4)不妨设Xi<X。<々，通过/(X)的单调性，/(%1)=/(x2),f(x0+X)与f(x0-X)的

大小关系得出结论；

接上述情况，由于X〉/时，/(/+X)>/(4-X)且X[</<%2,/(%1)=/(%2).故

/(七)=/(x2)=f[x0+(%2-x0)]>/[x0-(x2-x0)]=/(2x0-x2),又因为芯<%,

2%-％<X()且/(X)在(Y。，X0)上单调递减，从而得到X]<2%-%，从而毛+%2<2%得

证.

(5)若要证明/(H^)<0,还需进一步讨论上产与X。的大小，得出所在的

单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为

七+々<2/，故七三<七,由于/(%)在(—8,%)上单调递减，故尸(五]^(o.

三、其他方法

1.比值代换

比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用

两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用比值(一般用f表示)表示

两个极值点，即/=工，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于/的函数

问题求解.

2.对数均值不等式

两个正数。和6的对数平均定义：L(a,b)=hna-lnb

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：病(”4力4?(此式记为对数平均不

等式)

取等条件：当且仅当。=6时，等号成立.

3.指数不等式

mn

'e_e

,------(m丰n)

在对数均值不等式中，设口=葭，b=e",则E(a,")=m-n,根据对数均

e'n(m=ri)

一+〃m.n

值不等式有如下关系：VE(a,b)《三幺

二、题型精讲精练

【典例1］已知函数〃九)=(x-l)lnxr2+-(々ER).

⑴若函数y=7'(x)有两个零点，求，的取值范围；

(2)设冷%2是函数/(%)的两个极值点，证明：％+工2>2.

【答案】⑴(2,+00)

⑵证明过程见解析.

【详解】(1)/(x)=(x-l)lnx-x2+ox=>/r(x)=1--4-lnx-2x+tz=0,

该方程有两个不等实根，由=1---Flux—2x+(2=0=>a=2x4----Inx—1,

xx

所以直线y与函数8(力=2犬+:-111%-1的图象有两个不同交点，

由g(x)=2x+^-Inx一lng〈x)=2一4二=2/丁一l=(2x+l)(xf,

XXXXX

当xe(O,l)时，g<x)<0,g(x)单调递减,

当xe(l,+co)时,g，(x)>0,g(x)单调递增,因此g(x)1nhi=g(l)=2,

当x.0时，g(x)f+00,当Xf+8,g(x)f+oo,

所以要想有两个不同交点，只需“>2,即。的取值范围为(2,+8)；

(2)因为占，%是函数〃x)的两个极值点，

所以/'(药)=/'(々)=0,由⑴可知：g(%)=g(w)=a,不妨设0<J<1<局,

要证明玉+%>2,只需证明%>2-再，显然2-再>1,

由(2)可知：当x«l,+a>)时，g(x)单调递增,所以只需证明g(%)>g(2—再),

而g(%)=g(电)=。，所以证明g(%)>g(2-％)即可,

即证明函数为(司=8(%)­(2-同>0在%«0,1)时恒成立,

114x-1)-x-1

由〃(无)=4XH-----In.r-----------bln(2-无)一4n/z'(x)=-------------------鼻

无2-尤尤2(2-尤)

显然当xe(O,l)时，//(x)<0,因此函数/?(x)=g(x)-g(2-x)单调递减，

所以当0<x<l时，有/M)>项)=0,所以当0<占<1时，g(M>g(2-石)恒成立，因此命

题得以证明.

【典例2】已知函数/(x)=ei-aln(x-l)

⑴当。=1,研究Ax)的单调性;

X

⑵令g(x)=,若存在玉<X2使得g(%)=g(2,求证In尤2-ln(l-%)>In3.

f(x+2)+Qln(x+1)

【答案】(1)〃无)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增

⑵证明见解析

(1)/(%)=er-2-ln(x-1)(尤>1),八尤)=--L,在(1,内)上单调递增，且(⑵=1-1=0,

x-1

所以l<x<2时，/(无)<0,x>2时，r(x)>0,

/(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增;

，/、1—x

(2)g(x)=---------------------------------=—(x>-l),•二g(%)-——

i'ex_〃ln(x+l)+〃ln(x+l)e"e

—1VXV1时g'(x)>。，g(x)递增，龙〉1时，gXx)<0,g(x)递减,

x>l时，gM>0,

存在王〈尤2使得g(^)=g(x2)，贝！|，。<%<1<尤2，3=V，令土=e"=/>1,

e1e之玉

_InZ

x2=txx玉—]

%-玉=ln/'_tint

%=口

31nrtint，+33(^-1)人/、1史”1)，

3%+%—3=口+3=口[n3-^],令中)=1型-

73r1+3

]12(7—3)2

则，⑺丁记产。,"⑺在("上单调递增，.•，(”⑼=。,

/.3玉+%,—3>0,

毛>3(1—玉)>0,lnx2>In3(1-%!),/.Inx2-ln(l—％J>ln3.

【题型训练1-刷真题】

x

1.（2022届高考全国卷甲理22题）已知函数/（%）=e---Inx+x-.

x

（1）若〃x）W0,求°的取值范围；

（2）证明：若/'（X）有两个零点芯则XR＜1.

【解析】解法一：

x

e

(1)因为/(%)=----lnx+x-a,

x-1

—+1

xx)

令/(九)=0,得％=1

当x£(0,l)"'(x)<0,/(x)单调递减；当X£(1,田)"'⑴>0,/(x)单调递增,

所以/（x）2〃l）=e+l-〃，

若于（x）—。，则c+1—。力0,即a«e+l,

所以。的取值范围为（一8,e+l].

（2）由（1）知，%£（0/）"（％）单调递减;当%£（1,+8）J（X）单调递增，

若/（X）有两个零点冷马,则一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设石＜1＜々

1

要证X/2＜1，即证王＜一,

1(1A(\\

因为石,一6(0,1),即证/(%)>/一，因为/(%)=/(9),即证—

*2\X2J\X2)

0—|

即证----lnx+x-xe^-Inx——>0,XG(1,+QO),

xx

即证----xcx_2Inx—(x—]>0,

x21x)

x

eiifiA

下面证明1〉1时,----xex>0,lnx——x——<0,

x21x)

、c

设g(%)=----xex,x>1,

x

设O(x)=J(x〉l)，d(x)=(l--^卜=^-^-er>0,

XkJVXJX

所以0(x)>O(l)=e,而e：<e，

x

所以e上—e*1>0,所以小。)>0,

X

所以g(x)在(l,+8)单调递增

v

即g(x)>g⑴=。,所以^e--xe~x>0

…，

所以丸⑴在(1,a)单调递减,

即=0,所以Inx-g

<0；

>0,所以％%<L

2.(2021.全国.统考高考真题)已知函数〃x)=x(l-Inx).

(1)讨论的单调性；

(2)设。，匕为两个不相等的正数，且blnq-alnb=a-),证明：2<，+：<e.

ab

【答案】(D〃尤)的递增区间为(。,1),递减区间为(1,+s);(2)证明见解析.

【详解】⑴/⑺的定义域为(。,+口).

由〃x)=x(l-Inx)得，r(x)=-lnx,

当x=l时，/'(力=0;当xe(O,l)时r(x)>0；当无<1,同时，尸(x)<0.

故〃x)在区间(0』内为增函数，在区间［L+⑹内为减函数，

(2)［方法一］:等价转化

由》ln“一alnb=a-〃得工(1—In')=工(1—In'),即f(―)=/(—).

aabbab

._11

由a】b,得一W一.

ab

由(1)不妨设,£(0,1),1£(1,+00),贝！I/d~)>0,从而得:w(Le),

ababb

①令g(x)=〃2-x)-/(x),

贝！Ig'(%)-ln(2-x)+\nx=ln(2x-x2)=ln[l-(x-l)2],

当尤e(O,l)时，g[x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数，g(x)>g⑴=0,

从而/(2—x)>/(x),所以〃2-f>=/(》，

由(1)得2-L<!即2<工+工.①

abab

令/z(x)=x+f^x),贝(j用'(x)=1+/'(x)=1一Inx,

当尤w(l,e)时，//(x)>0,在区间(l,e)内为增函数，h(x)<h(e)=e,

从而x+/(x)<e,所以!+/(《)<e.

bb

又由，w(0,l),可得，<，(l—lnL)=/(L)=/(1),

aaaaab

所以，+[</(1)+:=e.②

abbb

由①②得2<，+?ve.

ab

【题型训练2-刷模拟】

1.对称构造

一、解答题

1.已知函数/(x)=x2(lnx-T。)，4为实数.

⑴求函数/(另的单调区间；

⑵若函数/(X)在x=e处取得极值，/(%)是函数"X)的导函数，且/'(为)=/'(々)，%<%，

证明：2<xT+x2<e

(3a-l\(3所1、

【答案】⑴/⑴递减区间为]0，e亍],递增区间为卜亍,+8〉

⑵证明见解析

【分析】(D求导，由导函数的正负即可确定“X)的单调区间，

(2)构造函数f(x)=g(2-x)-g(x),x«0,l),求导得“x)的单调性，即可证明号+双>2,构

造函数g(x)-(-2元)=2xlm;,%(x)=g(x)-(2x-2e),求导，利用单调性即可求证

mm

再+々<——++e=e.

3

【详解】(1)函数〃尤)=尤2(也》-声)的定义域为(。,+8),

令/(无)=。，所以皿片胃，得x=詈，

(3a-lA(3a-l\

当xe10,e2I,/'(无)<0,当xe|e2,+ooj,f'(x)>0,

(3a-lA(3a-l\

故函数/(X)递减区间为0,ehJ,递增区间为1丁,+8)

(2)因为函数/⑺在x=e处取得极值，

所以x-e等-e，得。=1，

a

所以/(%)=炉(Inx-,得/(%)=尤(2In犬-2)=2x(lnx-1),

令g(x)=2x(ln%-1),

因为g'(%)=21nx,当％=1时，g")=。，

所以函数g(%)在尤£(0,1)单调递减，在y)单调递增，

且当％£(0,e)时,8(%)=2](111¥—1)<0,当％£(於+00)时,且(芯)=*(111%—1)>0,

故0<玉<1<%2<©・

先证%+工2>2,需证％2>2—玉.

因为无2>1,2-3>1,下面证明g(E)=g(x2Ag(2-

设《x)=g(2-x)-g(x),xe(0,l),

贝(jf(x)=-g'(2-x)-g'^x)/(x)=-21n(2-x)-21nx=-21n[(2-x)x]>0

故*x)在(0,1)上为增函数，故r(x)<《l)=g⑴-g⑴=o,

所以«)=g(2-三)-g(±)<。,则g(2-xj<g(w),

所以2-尤1<%,即得玉+%>2,

下面证明：%+/<e

令g(%)=g(%)==，当%£(0,1)时g(%)-(—2x)=2HnxvO,所以g(%)<2%成立,

所以—2%>g(xj=机，所以玉

当兀£(Le)时，记力(九)=g(%)—(2x—2e)=2%ln%一4%+2e,

所以无£(1,e)时h\x)=21nx-2<0,所以/z(x)为减函数得无⑺>浜)=2e4e+2e=0,

所以加=g(无2)>2尤2—2e,艮|］得々<y+e.

所以玉+马〈一£+£+e=e得证，

综上，2<占+々<e.

【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的

正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其

单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和

等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.

2.已知函数/（x）=lw「ox.

（1）讨论函数段）的单调性；

⑵当a=l时，若/（石）=/（%）（&＜4）,求证：xt+x2＞2

【答案】（1）答案见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）先求定义域，再求导，分aWO与。＞0两种情况，由导函数的正负求出函数的

单调性；

（2）先结合（1）中函数单调性得到。构造*x）=/（x）-〃2-力

求导得到其单调性，从而证明出马＞2-玉，得到结论.

【详解】（1）/（幻=1僦-双的定义域为（0,+。），

因为r（x）=』-a=L^，尤＞0

XX

当aVO时,用彳）＞0,

所以〃尤）在（0,+8）上单调递增；

当a＞0时，令用x）＞0得O＜X＜L令r（x）＜0得x＞）,

所以〃无）在（0,：）上单调递增，在。，”）上单调递减；

综上，当aWO时，“X）在（0,+8）上单调递增；

当a＞0时，”尤）在（0,，）上单调递增，在（：+»）上单调递减.

（2）当°=1时a＞0,/（x）=lnr-x,定义域为（0,+。），

r（x）=--l,所以在（0,1）上单调递增，在（1,此）上单调递减，

又因为/（王）=/（%）（玉＜%）,所以0"＜1＜三，

设尸（x）=〃x）-y（2-力（x«0,l））,

则/⑺=--2在（0,1）上恒成立，

所以*x）=〃x）—“2—X）在（0,1）上单调递增，

所以川为）=/（西）-〃2-％）＜0,即/（番）=〃々）＜〃2-石），

又因为々＞1,0＜%；＜1,所以2-玉＞1,

又因为/（X）在（1,口）上单调递减，

所以%＞2-尤］,即为+%＞2.

【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参

数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用历InX?=In%进行变形，

X2

可构造关于"五的函数，利用导函数再进行求解.

X2

3.己知函数=丘+111》-：左（左eR）.

（1）求函数/（*）的单调区间和最大值；

⑵设函数g（x）=/（x）-Ax+:有两个零点外,工，证明：xl+x2＞1.

【答案】⑴答案见解析；

⑵证明见解析.

【分析】（1）求出导函数，分类讨论，研究单调性，求出最大值；

（2）利用极值点偏移直接求解.

【详解】⑴函数〃同=履+111%-1（壮2的定义域是（0,+8）"'（司=左+：.

当左20时，0（x）＞0恒成立，故了（》）在（0,+。）上单调递增，无最大值；

当左＜0时，令/得0＜无＜—；令/得x＞—,

kk

所以“无）的单调递增区间为,单调递减区间为,

(2)g(x)=f(^x)-kx+—=-+\nx-^k,

因为占为g（x）的两个零点,

所以g（%）=g（X2）=0,不妨设玉＜3.

因为g'（x）=\",所以g（x）在（0,1）上单调递减，在。,也）上单调递增,

所以0＜玉＜1＜芍.

又证明％+为＞2等价于证明%＞2-％,

又因为2-石>1,々>l,g(x)在(l,—)上单调递增,

因此证明原不等式等价于证明g(%)>g(2-M，即要证明g(M>g(2-M),

即要证明一+1叫一：左>-+ln（2-x）--^（0<Xj<1）,

Xj4，一%41

1।1

即1+1叫-不一ln(2-玉)>。(0<%<1)恒成立.

^/z（x）=—+lnx-----------ln（2-x）（0<x<1）,

x2—九

贝！（尤）=一：+：—^^1-4（1-x）2

+------<0,

XX—X）2—xX?（2-尤）2

所以力⑺在(。,1)上为减函数，

所以//(x)>/z(l)=l+lnl-l-lnl=0,

即〃(x)=工+Inx-----------In(2-x)>0在Xe(0,1)时恒成立,

x2—x'

因此不等式，+1叫一］%>9—+山(2-再)—1左恒成立，

即玉+%2>2.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)利用导数证明不等式.

4.已知函数/'(x)=2alnx+x2-2(a+l)x(a<。).

⑴讨论的零点个数；

(2)当/■(》)有两个零点时，分别设为4，%(%<9)，试判断国+%与2的大小关系，并证

明.

【答案】⑴答案见解析；

(2)XJ+X2>2,证明见解析.

【分析】(1)利用导数可求出了(X)的最小值为T-2a,后讨论最小值与。的大小结合零点

存在性定理可解决问题；

(2)由(1)可得。<为<1<%，"X)在区间(1,入)上单调递增，则％+尤2与2的大小关系，

等价于巧与2-%的大小关系，即与，(2-玉)的大小关系，又注意到“9)=/&)，

故利用导数研究函数〃2-x)-/(x)的单调性即可.

【详解】(1)/,(x)=^+2x-2(a+l)

_2x2一2(〃+l)x+2a_2(x-a)(x-1)

——，

XX

因为。<0,所以当xe(O,l)时，/(无)<0,“X)单调递减；

当无e(l,+s)时，f^x)>0,单调递增，

所以〃彳濡=〃1)=一1一20

所以当-l-2a>0,即a<=时，的零点个数为0；

当-l-2a=0,即a=-g时，的零点个数为1；

当—1—2。<0,即—5<。<0时，注意到0<e；<1,

‘工、2

aaa

fe=2+-2(Q+1)=e°e-2a+21-e>0

\7\J\J

eV〉]，fe"=-2+ea-2(^a+l^ea=eaea-2a-2-2

因—则一，>2,令—工=方，则/=e'(e'H----2^1—2.

2Qa[Vt

fx

令g(%)=e"+---2,xG(2,+oo),则g(x)=e-----,

•XX

9io

因e'>e2,4<i得g'(x)=-4>0,即g(x)在(2,+s)上单调递增.

x2x

则g(%)>g(2)=e2-1>6,则/e。>6e?-2>6e2-2>0.

I7

故办ee%l,叫£l，e、,使得了(%)=〃%2)=。，得-时，八X)的零点个

kJkJ2

数为2.

综上：a<-g时，的零点个数为0;

a=-g时，/(X)的零点个数为1;

得-;<。<。时，"可的零点个数为2.

(2)玉+x?>2.证明如下:

由⑴可知，当时，函数〃%）有两个零点，且0＜%＜1＜三.

令尸（x）=/（2__r）_/a）=2a[ln^^+2x_2）,xe（0,l）,

(AV

贝！|尸'（冗）=-4〃・

x(2-x)

当尤e（O,l）时，尸（x）＞0,所以尸（x）在区间（0,1）上单调递增，

所以网占）=〃2-芭）一〃占）＜网1）=0,

所以/（2—再）＜/（再）=/（々）.因为。＜叠＜1＜三,所以2-%＞1.

又由（1）知/（X）在区间。,内）上单调递增，贝！|2-尤―尤2，

故占+%＞2.

【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.

（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在

于取点；

（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.

5.己知函数〃无）=lnx-a（x-2）（aeR）.

⑴试讨论函数的单调性；

3

（2）若函数/（%）有两个零点七，/（石＜%2）,求证：玉+3兀2＞----4+2.

a

【答案】⑴当时，”%）在区间（0,+8）上单调递增；

当。＞0时，“X）在区间，,J上单调递增，在区间g,+口上单调递减.

⑵证明见解析

【分析】（D求导后，根据。的不同取值范围，对尸（x）的符号进行讨论即可;

,12

（2）由已知及（1）中单调性，可知〃＞0,兀2＞—且％＞2,故只需证明玉+々〉一，再借

aa

33

助不等式性质和放缩，即可证出石+3々＞一+2〉--。+2.

aa

【详解】（1）由已知，“力的定义域为（0,+。），/

①当4«0时，VXG（0,+OO）,1⑴=:一〃＞0恒成立，

・•・此时〃%）在区间（。,+a）上单调递增；

②当〃>0时，令/'(%)」-4=0,解得X=L

xa

当时，:⑺=「a>0,〃尤）在区间（0,J上单调递增,

当xe1,+8）时,f'（x）=^-a<0,〃x）在区间上单调递减,

综上所述，当a40时，/'（X）在区间（0,+e）上单调递增；

当a>0时，在区间（。,£|上单调递增，在区间+8）上单调递减.

（2）若函数/（元）有两个零点七，巧（玉<%）,

则由（1）知，a>0,在区间上单调递增，在区间+8）上单调递减,

K/f-Ko,/（^）=/（x,）=0,0<xl<-<x2,

\aJa

当xe（%,工）时,/（x）>0,当xe（0,%）5孙+oo）时,/（x）<0,（*）

V/（2）=ln2>0,二2«玉,々），/.x2>2,

又,«•兀2>—9・'.2X2>---H2,

aa

233

，只需证明玉+工2>—9即有％I+3%2>—F2>—。+2.

aaa

2

下面证明石+々>—，

a

设“尤）=〃尤）Tlnx-tz(x-2)-ln

a)

4ax-4

x2(2-ax)2,

令G，（x）=0,解得x=L

a

当xe（0,£|时，G’（无）<0,6（力=9（力在区间（0,£|单调递减，

当时，G（x）>0,G（x）=%x）在区间单调递增，

.•.尸（x"9]J=0,%x）=--x1在区间10,、上单调递增，

又...讨0,£|,.•.尸（％）=小）-\>卜叫卜（汨卜0,

222

・••由(*)知，--G(Xx)•*.-----<X即玉+兀2>一・

ai92fa29a

又•-9%2>2,

a

33

%+3々>—I-2>—〃+2,原命题得证.

aa

【点睛】本题第(2)问为极值点偏移的变式，首先需要通过%>工和%>2,确认只需证

a

2

+X>-,再通过构造关于其中一个零点的一元差函数，利用导数研究该函数的单调性,

X12a

233

证出占+%>V,最后使用不等式性质和放缩得到x1+3x2>-+2>--a+2.

aaa

2.比值代换

一、解答题

1.设％eR,函数/1(x)=lnx-Ax.

⑴若芋=2,求曲线y=/(x)在尸(1,-2)处的切线方程;

(2)若/(尤)无零点，求实数人的取值范围；

(3)若/(无)有两个相异零点为,三,求证：111%+111元2>2.

【答案】(1)x+y+l=O；(2)(-,+«)；(3)见解析.

e

【分析】(1)求函数"X)的导数，当％=2时/⑴=-1,点斜式写出切线方程即可；

(2)当人<0时，由/⑴/(e*)<0可知函数有零点，不符合题意；当％=0时，函数/(x)=lnx

有唯一零点x=l有唯一零点，不符合题意；当人>。时，由单调性可知函数有最大值，由函

数的最大值小于零列出不等式，解之即可；

(3)设/(尤)的两个相异零点为七，々，设%>尤2>。，则比%一封=0,1吨-d=0,两

式作差可得，InXj-lnx2=k(X［-工2)艮［JInXj+lnx2=左(玉+x2),由xxx2>e?可得］wc}+lnx2>2gp

k(xi+x2)>2,町>_2_-E五>2区-三),设"五>1上式转化为血>笆於。>1),

石一%2%%%2%+光2X21+1

构造函数g«)=lm-生?，证g(f)>g(1)=0即可.

£+1

11—kx

【详解】解：(1)函数的定义域为(0,+刈，f\x)=--k=—^,

XX

当左=2时,Al)=l-2=-l,则切线方程为y-(-2)=-(x-l),即x+y+l=0.

(2)①若左<0时,则尸(幻>0,/*)是区间(0,+s)上的增函数，

V/(1)=-^>0,f(ek)=k-k£a=k(l-ek)<0,

：.f(l)-f(ek)<0,函数f(x)在区间(0,+oo)有唯一零点；

②若％=0,"x)=lnx有唯一零点》=1；

③若人>0,令f\x)=0,得％,

k

在区间(0,；)上，f'M>0,函数/⑴是增函数；

k

在区间4,+s)上，rw<o,函数,(X)是减函数；

k

故在区间(。,+00)上，/(X)的极大值为/(：)=In。-1=-In左-1,

kk

由于/(x)无零点，须使/(；)=-ln%-l<0,解得左「，

ke

故所求实数k的取值范围是d,+8).

e

(3)证明：设/(X)的两个相异零点为X],X2，设玉>%>。，

V/(jq)=0,f(x2)=0,—点i=0,Inx2-fcv2=0,

/.In玉-lnx2=左(玉一电)，In石+In/=左(再+/)，

1

Vxxx2>e,故In%+ln%2>2,故左(％+9)>2,

即心-1眸>上,即]n上>也工2,

玉-x2玉+x2x2玉+x2

设上式转化为(»),

设g⑺=ln"丝三D,

••.gQ)在(1,口)上单调递增，

.•.g(t)>g(l)=0,

r+1

,In玉+In%>2.

【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论思

想方法和构造函数法，以及转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题.

2.已知函数/(x)=alnx-x.

(1)若420,讨论函数”X)的零点个数；

(2)设4，演是函数的两个零点，证明：x1+x2-2elna>0.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.

【分析】(1)当。=0时，显然无零点；当。>0时，考查函数y=ln尤图象与函数

y=m(a>0)图象的公共点个数，数形结合可得结果；

a

(2)由(1)得2elnaK2a,将要证不等式转化为再+%>2〃，根据玉,马是函数〃尤)的两个

_.>2&_/)x

2

零点得一in五，不等式转化为''inA，不妨设°<玉<々，令f=：e(O,l),

x2x2工2

通过换元不等式转化为1型<史=3,构造函数/?(r)=lnf-也?(0</<1),由单调性可证

t+1t+1

得不等式成立.

【详解】⑴f(x)=alnx-尤(x>0),

①当。=。时，/(x)=-尤，因为无>0,所以/⑺无零点；

②当。>0时，/(x)=0«lnx=-,下面考查函数y=lnx图象与函数y=二(a>0)图象的公

aa

共点个数.

%=1啄

当二者相切时，设切点为(%，%),贝！I%=也，解得〃=e,即函数y=lnx图象与函数y=2

图象相切.

由图可知，当“=e时，两函数图象有且只有一个公共点，即/⑴有1个零点；当即

ae

0<a<e时，两函数图象无公共点，即"刈无零点；当!<!，即a>e时，两函数图象有2

ae

个公共点，即/(无)有2个零点.

综合①②可知，当0Va<e时，函数/⑴无零点；当“=e时，函数/(元)有1个零点；当"e

时，函数/(无)有2个零点.

x

(2)由(1)知，当〃=e时，—>Inx,即对任意x>0,elnx-x<0.

e

因为函数/(九)有2个零点，由(1)知，〃>e,所以elna—a<0,即2elna<2a.

要证％i+%2-2elna>0,即证为+%>2eln〃，只需证玉+%>2a.

因为为，Z是函数/⑺的两个零点，所以*,两式相减得“=：2,所以只需证

111

[aInx2=x21

2(再一马)

In区•

2五一1

不妨设。<罚<%，贝!I。<生<1,即证In上<25一多)=上一L,令仁&e(O,l),即证

X2%玉+%2土+]”

2(f

In%<

t+1

令/i⑺=lnf-%^(O<f<l),贝旷?’")=；-忌y=*$>。，所以函数W)在(0,1)上单

调递增.

所以对任意年(0,1),无“)</乂1)=0,即Inf<也二D成立.

?+1

故原不等式成立.

【点睛】关键点点睛：第(2)问的关键点是：通过层层转化，把要证的不等式转化为“(0」)

时，1型〈竺?，最终通过构造函数九⑺=ln"型?(0</<1),由单调性证得不等式成

t+1t+1

立.

3.已知函数〃(x)=x-alnx(acR).

⑴若人(力有两个零点，。的取值范围；

2

e

⑵若方程屁*-a(lnx+x)=。有两个实根4、X],且占*%，证明：>——.

XxX2

【答案】⑴(e,+8)

⑵证明见解析

【分析】(1)分析可知awO,由参变量分离法可知直线y=：与函数/(x)=W的图象有两

个交点，利用导数分析函数/(x)的单调性与极值，数形结合可求得实数。的取值范围；

X1

⑵令.=%e">0,其中无>。，令％=犬村，t2=x2e,分析可知关于方的方程，-aln，=。也

2f41]

有两个实根芍，且乙二4,设乙＞匀＞0,将所求不等式等价变形为in±＞人」，令

G4+1

,2

S=?＞1,即证lns＞正D,令g(s)=lns-变二D,其中s＞l,利用导数分析函数g(s)

T2