高考数学复习专项训练：概率与统计（思维导图知识串讲12题型过关检测）（原卷版）

专题05概率与统计

放回简单随机抽样

简单随机抽样＜不放回简单随机抽样

简单随机抽样把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀

抽签法后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本

随机数表法利用随机试验或信息技术生成的随初数进行抽样

分层随机抽样的定义

分层随机抽样比例分配如果每层的大小成比例

分题样的步骤分层-计算抽样比一定数-抽样-成样

分层抽样的相关计算关系

统计频率分布直方图的画法

频率

频率分布直方图，1出方形的面积理距X麻率

所有小长方形的面积和等于1

频率分布防图的特点

所有小长方形的高的和■靠

d※方形的高

第通分位数定义

按从小到先例原始数据

用样本估计总体总体百分位数

计算，=〃卬％.

求解步骤

若坏是球，而大于i的比邻朝为j,贝悌p百分位数为第j项数据

若7是壮，贝悌p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

总体集中趋势的估计谭、中皿平均数

方卓S述一组数围绕平均数的波动大小

总体离散期的估计

有限样本空间的定义

有限样本空间与随机时间/----------------------

<1随机事件：随机事件、必然事件、不可能事件

互斥(互不相容)：事件A与事件B不能同时发生

,互为对立：割牛A与割牛B在眄一次魄中有且仅有Y雄

事件的关系和运算y包含关系：若事件A发生，则事件B一定发生

随机事件与概率,并事件(和事件)：事件A与事件B至少有一^生

V交事件(积事件)：事件A与事件B同时发生

有限性：样本空间的样本点只有有限个

古典概型/---------------------------------------

-----------<等可能性：每个样本点发生的可能性相等

,古典概型与概率的基本性质尸(H)=t=匹2

古典概型的概率计算公式〃

概率的基本性质

相互独立事件对于任意两个事件懈B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与B互相独立

事件的相互独立性

\相互独立事件的概率计算公式表

随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，

频率的稳定性即事件A发生的频率口勺会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)

频率与概率频率的求法当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率.

频率与概率的区别与联系

®@®0

知识点1:简单随机抽样

1、简单随机抽样

(1)放回简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取几(l<n<N)

个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样

的抽样方法叫做放回简单随机抽样.

(2)不放回简单随机抽样：如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概

率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

2、抽签法

(1)定义：把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从

中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个样本容量为n的样本.

(2)抽签法的操作步骤：

第一步，编号：将N个个体编号(号码可以从1到N,也可以使用已有的号码).

第二步，写签：将N个号码写到大小、形状相同的号签上.

第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取几次，并记录其编号.

第四部，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本.

3、随机数法

（1）定义：利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样.

（2）随机数表法步骤：

①把总体中的每个个体编号.

②用随机数工具产生编号范围内的整数随机数.

③把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，知道抽足样本所需要

的数量.

知识点2：分层随机抽样

1、分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于

一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样

本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

2、比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为

比例分配.

3、分层随机抽样的步骤

（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分（层）；

（2）计算抽样比：抽样比k=段碧；

总体容量

（3）定数：按抽样比确定每层抽取的个体数；

（4）抽样：每层分贝按简单随机抽样的方法抽取样本

（5）成样：综合各层抽样，组成样本.

4、分层随机抽样的相关计算关系：

样本容量"该层抽取的个体数

⑴总体的个数N—该层的个体数：

（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：不=3一++=汇4+供?.

m-\~nm~\~nM~\~N

知识点3：用样本估计总体

1、频率分布直方图

（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：

①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差;

极差

②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且组距=

福;

③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多

取一位小数分组.

④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率.

⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以磊的值为纵坐标绘制直方图.

组距

（2）频率分布直方图的特点：

频率

①小长方形的面积=组距X=频率,

丽

②所有小长方形的面积和等于1,

③小长方形的高=熏，所有小长方形的高的和=&.

组距组距

2、总体百分位数的估计

（1）第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有侬

的数据小于或等于这个值，且至少有（100—p）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组〃个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=nxp0/o.

第3步，若，不是整数，而大于i的比邻整数为则第p百分位数为第2项数据；

若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

3、总体集中趋势的估计

（1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

（2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，

若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数.

（3）平均数：设样本的数据为石，尤②，…，斗，则样本的算术平均数为元=、+/…%；

4、总体离散程度的估计

用样本的标准差估计总体的标准差

（1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述；

（2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度;

（3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；

一般地，设样本的数据为尤「马，…，当，样本的平均数为无，

定义样本方差为S?=（占一君2+5—君2+-・+（乙—稻2；

n

简化公式：/=—[（片++…+%；）—MX?]——（%；+%；+\-—X2

nn

（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方）

（4）样本的标准差是方差的算术平方根.

样本标准差S=心「元）2+（々-f+...+（%-制；

s>0•

Vn

标准差越大数据离散程度越大，数据越分散；标准差越小，数据集中在平均数周围.

知识点4：随机事件与概率

1、有限样本空间与随机事件

（1）有限样本空间：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用。表示样本点；全体样本点

的集合称为试验E的样本空间，用a表示样本空间；如果一个随机试验有W个可能结果。1，。2，…，叫,

则称样本空间a=｛劭,初，…，为有限样本空间，a=｛g,。2,…，叫｝

（2）随机事件：我们将样本空间o的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基

本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，

称为事件A发生；0作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以a

总会发生，我们称a为必然事件；空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不可能

事件。

2、事件的关系和运算

（1）互斥（互不相容）:一般地，如果事件A与事件2不能同时发生，也就是说Ang是一个

不可能事件，即AnB=0,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）

（2）互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，

即AU2=a,且Ang=0,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为了

（3）包含关系：一般地，若事件A发生，则事件2一定发生，我们就称事件8包含事件A

（或事件A包含于事件B）,即B24（或A£B）.

特殊情形：如果事件8包含事件A,事件A也包含事件8,即且则称事件A与

事件8相等，记作A=8.

（4）并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的事件中的样本点

或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）AU8（或A+2）

（5）交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在

事件A中，也在事件B中，则称这样的事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）AC2（或AB）

4、古典概型与概率的基本性质

（1）古典概型的定义：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型,

简称古典概型.

有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

（2）古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含n个样本点，事件A包

含其中k个样本点，则定义事件A的概率以人)=：=嘿，其中n(A)和n(。)分别表示事件A和样本空间Q

1114乙J

包含的样本点个数.P(A)=±=31

nn(Q)

(3)概率的基本性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)K).

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1,尸(。)=0.

性质3：如果事件A与事件8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(2).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1—P(8).

性质5：如果那么P(A)WP(8).

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AU8)=尸(A)+P(8)—P(AnB).

知识点5：事件的相互独立性

1、相互独立事件的：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)PCB)成立，则称事件A与事件2相互独

立，简称为独立.

2、性质及推广：

如果事件A与事件B相互独立，则A与石，3与3,1与m也都相互独立.

两个事件的相互独立可以推广到〃5〉2,”eN*)个事件的相互独立性,即若事件A，A，…，4相互独立，

则这〃个事件同时发生的概率尸(A4…4)=尸(A)P(A)…尸(4).

3、相互独立事件的概率计算公式

已知两个事件A,B相互独立，它们的概率分别为尸(A),P(B),则有

事件表示概率

A,B同时发生ABP(A)P(B)

48都不发生ABP(A)P(S)

A,8恰有一个发生(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,B中至少有一个发生(AB)U(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

A,8中至多有一个发生(AB)U(AB)U(AB)P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

知识点6：频率与概率

1、频率的稳定性：大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机

性.一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率%(A)会逐渐稳定

于事件A发生的概率尸(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率加A)估计概率尸(A).

2、频率的求法：频率是事件A发生的次数机与试验总次数w的比值，利用此公式可求出它们的频率，

频率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率.

3、频率和概率区别和联系

区别：(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数

磔为事件A出现的频数，称事件A出现的比例%(A)=与为事件A出现的频率.

(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量

(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性.

联系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率力(A)随着试验次数的增加稳定于概率尸(A),因此可

以用频率力(A)来估计概率P(A).

，题型归纳

【题型1两种随机抽样的判断】

满分技法

1、简单随机抽样：从总体中随机选择样本，每个样本被选中的概率是相同的。每个单位被选中的机会

是均等的，抽样过程不涉及对总体的分组，适用于总体相对均匀的情况。

2、分层随机抽样：首先将总体分成不同的层或组，这些层在某些特征上是同质的，然后在每一层内

进行简单随机抽样。总体被分成多个层，每层内部具有相似的特征。每一层的样本大小可以相同，也可以

根据层的大小或重要性进行调整。可以提高样本的代表性。

1.(2324高一下•江苏无锡・月考)在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的

是()

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些

B.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些

C.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

D.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些

2.(2324高一下•全国.专题练习)为了保证采用分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求

()

A.每层等可能抽取

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的比例为WYl（其中〃为抽取的样本容量，N是总体容量）

N

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

3.（2324高一下•全国•专题练习）①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在

90〜100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员

为参加4x100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（）

A.分层随机抽样，简单随机抽样

B.简单随机抽样，简单随机抽样

C.简单随机抽样，分层随机抽样

D.分层随机抽样，分层随机抽样

4.（2023・湖南岳阳•模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检

测；②在某校800名学生中，。型、A型、8型和48型血的学生依次有300,200,180,120人.为了研究血型与

色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（）

A.①②都采用简单随机抽样

B.①②都采用分层随机抽样

C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样

D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

【题型2随机数表法的应用】

满分技法

应用随机数表法的两个关键点：

1、确定以表中的哪个数（哪行哪列）为起点，以哪个方向为读数的方向；

2、读数时注意结合编号特点进行读取.若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号为三位数字，则三

位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本.

?~（2324高一下•江苏连云港•期末）总体编号为01,02,…，29,30的30个个体组成.利用下面的随机

数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，

则选出来的第6个个体的编号为（）

78161572080263150216431997140198

32049234493682003623486969387181

A.02B.14C.15D.16

6.（2324高一下•云南玉溪•月考）某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700个零件进行抽样，先

将700个零件进行编号，001,002,……,699,700.从中抽取70个样本，下图是利用软件生成的随机数，只需

随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3位数，只要读取的号码落在编号范围内，该号码

就是所抽到的样本编号，这样即可获得70个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中第2行第6列的

数2开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253,则得到的第6个样本编号是（）

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

A.007B.328C.253D.623

7.（2324高一下•江苏常州・月考）现利用随机数表法从编号为00,01,02,…，18,19的20支水笔中随

机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来

的第6支水笔的编号为.

952260004984012866175168396829274377236627096623

925809564389089006482834597414582977814964608925

8.（2324高一下•河北邢台・月考）要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验,

利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002,850进行编号，如果从随机数表第2行第2

列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是.

（下面抽取了随机数表第1行至第3行）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

【题型3分层抽样的相关计算】

满分技法

解决分层抽样的两个常用公式

先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数.

、......样本容量各层样本容量

m于田评比一总体容量一各层个体总量；

（2）层1的容量：层2的容量：层3的容量=样本中层1的容量：样本中层2的容量：样本中层3的容量.

9.（2324高一下.河北.期末）某公司共有940名员工，其中女员工有400人.为了解他们的视力状况，用分

层随机抽样（按男员工、女员工进行分层）的方法从中抽取一个容量为47的样本，则男员工的样本量为（）

A.21B.24C.27D.30

10.（2324高一下.湖南永州.期末）在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高

校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者

中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）

A.250B.220C.30D.20

11.（2324高一下.全国•月考）某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三

800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分

配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）

12.（2223高一下•山东聊城•期末）某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计

高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体

重为49kg,60个男生的平均体重为57kg,依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理

的计算方法为（）

【题型4几种常见统计图表的应用】

满分技法

1、条形图：一般与小长方形的宽无关，主要是高的值；要注意条形图横、纵坐标的含义；复合条形图是不

同数据在同一条形图中反映，对相同横坐标含义进行对比，准确确定彼此间的差异；

2、折线图：可以观察点的个数，从而得到数据的数量，同时直观得出数据变化趋势以及变化幅度的大小，

也可得到所有数据中的最大值与最小值，因而容易得到所要解决的问题数值，如果不同的折线图反映在同

一坐标系中，可以已通过比较观察期波动程度大小，并进行优劣判断；

3、扇形图：需要运用各个圆心角或弧长得百分比，同时可清楚得到各部分与总体检的关系，用百分比X总

体个体数，估算某含义的个体数.

13.（2324高二下.浙江绍兴•学业考试）下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该

同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（）

第一次月考成绩第二次月考成绩

治语治语

Z17%16%X.16%18%

17%

169/大力％H%

理/英语^理/英宿、/

\15%/20%/114%/18%\/

A.该同学数学学科成绩一定下降B.该同学政治学科成绩一定下降

C.该同学化学学科成绩可能下降D.该同学语文学科成绩一定提升

14.（2324高一下•吉林通化・月考）2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统

计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则

下列命题错误的是（）

A.成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30

B.成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人

C.高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多

D.成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多

15.（2324高一下.四川.期末）（多选）某校为更好地支持学生的个性化发展，开设了学科拓展类、创新素

质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位学生从中选择一门课程学习.现对该校4000名学生的选课情况

进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取2%的学生对其所选课程进行了满意率调查，如图②.

/学科创新、

拓展美明质类

兴趣、40%

、爱好类\/

V35%V

①

A.抽取的样本容量为4000

B.该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为700

C.若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为24,则。=70

D.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1000

16.（2324高一下•湖南•月考）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据

该图，下列结论正确的是（）

（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）

1-2月1-2月

A.2324年1~2月份，商品零售总额同比增长9.2%

B.2023年3〜12月份，餐饮收入总额同比都降低

C.2023年6~10月份，商品零售总额同比都增加

D.2023年12月，餐饮收入总额环比增速为-14.1%

【题型5频率分布直方图及其应用】

满分技法

1、由频率分布直方图进行相关计算需掌握的2个关系式

频率

（1）组函x组距=频率.

频数频数

（2）样9］量=频率，此关系式的变形为箍=样本容量，样本容量x频率=频数.

2、利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.

（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.

（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标.

17.（2324高一下•海南•期中）如图是某校高一年级1000名男生体检时身高的频率分布直方图，现用分层

随机抽样的方法从身高在160〜175cm的男生中抽取130名，则抽取到的身高在165〜170cm的人数为（）

频率

A.20B.30C.40D.50

18.（2324高一下•山西大同•期末）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400

棵，统计这400棵树苗的高度（单位：cm）,将所得数据分成7组：[70,80）,[80,90）,[90,100）,[100,110）,

[110,120）,[120,130）,[130,140],并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可推测，在这4000

棵树苗中高度小于110cm的树苗棵数约是（）

19.（2324高一下.湖北武汉•期末）（多选）供电部门对某社区100位居民6月份人均用电情况进行统计后，

按人均用电量分为[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方

图，则有关这100位居民，下列说法正确的是（）

f频率

0.04--p-i

0.03--k-J—

。1020304050用电量/度

A.6月份人均用电量人数最多的一组有40人

B.6月份人均用电量在[30,40）内的有30人

C.6月份人均用电量不低于20度的有50人

D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在

[20,30）一组的人数为3

20.（2223高一下•吉林长春・月考）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），LU[160,180）,[180,200）,

[200,220）,[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]分组的频率分布直方图如图.

（1）求直方图中X的值;

（2）在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？

（3）在月平均用电量为[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户

居民，则月平均用电量在[220,240）的用户中应抽取多少户？

【题型6平均数与方差的和差倍分】

满分技法

1、平均数的相关结论

①如果两组数毛,毛,…,%和%,%，…，笫的平均数分别是无和歹，则一组数%+%，9+%，…，%+%的平均数

是“5.

②如果一组数为,马，…，%的平均数为无，则一组数句，也，…，句，的平均数为位.

③如果一组数外,无2,…，%的平均数为0则一组数占+。,3+。，…，%+。的平均数为元+4.

2、方差的相关结论

①如果一组数为户2,…，X.的方差为Y，则一组数为+a,x2+。,…,X”+4的方差为52；

②如果一组数为/2,…，X”的方差为S2,则一组数何，也，…，牝的方差为居2.

21.（2324高一下•山东聊城•月考）已知数据再,马,…，无，的平均数为8=5,贝|数据2为+1,2%+1,…,2%+1的

平均数为.

22.（2324高一下.河南•月考）已知样本数据…,Aw的平均数为14,样本数据必,马，…，Moo的平均数为

a,若样本数据不，々,…，尤2oo，%，%，…，%）o的平均数为。+1，则。=（）

A.12B.10C.2D.11

23.（2324高一下.江苏南京.期末）己知数据…%的平均数为10,方差为5,数据

3%一1,3%—1,3鼻一1，…3%—1的平均数为了,方差为S2,则（）

A.%=10,d=14B.%=9,$2=44

C.x=29,$2=45D.x=29,？=44

24.（2324高一下•山西忻州・月考）有一组样本数据网,%，…，天（其中不是最小值，%是最大值）的平均数

为工,方差为卡,中位数为V,贝|（）

A.2%1+1,2%+1,…,2%+1的平均数为2x

B.2%+1,2%+1,…,2%+1的方差为s?

C.2%+1,2%+1,…,2%+1的中位数为2x'+l

D.2%+1,2々+1,…,2%+1的极差为％-王

【题型7百分位数的计算】

满分技法

计算一组w个数据的的第p百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=p%.

③若，不是整数而大于i的比邻整数j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项

与第"1项数据的平均数.

25.（2324高一下•天津南开•期末）某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37,30,42,32,

41,46,45,48,35,53,则这组数据的第60百分位数为（）

A.45B.42C.43.5D.45.5

26.（2324高一下•河北廊坊・期末）一组数据：5,1,3,5,2,2,2,3,1,2,则这组数据的85%分位数

是（）

A.3B.4C.4.5D.5

27.（2324高一下•河南•期末）样本数据14,16,18,20,21,22,24,28的第三四分位数为（）

A.16B.17C.23D.24

28.（2324高一下•河北•期末）若一组数据3,4,6,加，8,3,7,9的第40百分位数为6,则正整数加的

最小值为.

【题型8判断互斥与对立事件】

满分技法

判断互斥与对立事件的两种方法：

（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

29.（2223高一下•广东阳江•期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥

而不对立的两个事件的是（）

A.“至少有1件正品”与“都是次品”B.“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”

C.“至少有1件次品”与“至少有1件正品”D.“都是正品”与“都是次品”

30.（2223高一下•山西朔州•期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是

互斥事件而不是对立事件的两个事件是（）

A.恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球

B.至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球

C.至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球

D.恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球

31.（2223高一下•河南洛阳・月考）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料.甲、乙两名同学

都购买了这种饮料，设事件A为“甲、乙都中奖”，则与A互为对立事件的是（）

A.甲、乙恰有一人中奖B.甲、乙都没中奖

C.甲、乙至少有一人中奖D.甲、乙至多有一人中奖

32.（2223高一上•山东潍坊・期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数

学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（）

A.至少有1名男生与全是男生；

B.至少有1名男生与全是女生；

C.恰有1名男生与恰有2名男生；

D.至少有1名男生与至少有1名女生.

【题型9古典概型的概率计算】

满分技法

用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间a所含的基本事件个

数求解事件A发生的概率P（A）.解题的关键如下：

①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型.

②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Q及事件A所含的基本事件数.

4包含的基本事件的个数

③求值，代入公式（）求值.

PA=基本事件的总数

33.（2324高一下•河北廊坊•期末）用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数

是偶数”发生的概率为（）

23

C.D.

3