中考数学专项复习：有理数的减法与减法

有理数的减法与减法

知识点一、有理数加法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

若aA0,6>0,则a+b=+(|a|+|6|)；

若<0,则(/+6=-(|(z|+|“)。

2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对

值减去较小的绝对值。

绝对值相等：若a>0,6C0,且㈤=回,则a+b=0；

绝对值不相等：

①若a〉0,6<0,且|a|>回，则a+b=+(⑷一|〃)；

②若a<0,6>0,且|a|>\b\,则a+b=-(|a|—|6|)»

3.一个数与0相加，仍得这个数。

a+0=a

例：计算

(1)(+16)+(-23)

(2)(—6.5)+6.5

【解答】见解析

【解析】(1)(+16)+(—23)=—(23-16)=-7；

(2)(-6.5)+6.5=0

知识点二、有理数加法运算律

1.有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变；

加法交换律：a+b=b+a

2.有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

加法交换律：(a+b)+c=a+(b+c)

在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加.

3.有理数加法中的一些计算技巧：

U)相反数结合法：互为相反数的两个数先相加；

(2)同号结合法：符号相同的数先相加；

(3)同分母结合法：分母相同的数先相加；

(4)凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加.

例：计算(-2.6)+(-1.5)+(-3.5)+(+2.6)

【解答】-5

【解析】(-2.6)+(-1.5)+(-3.5)+(+2.6)

=[(-2.6)+(+2.6)]+[(-1.5)+(-3.5)]

=0+(-5)

=-5

知识点三、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b^a+(-6)

1.较大的数一较小的数=正数，即若a>6,则a—6>0；

2.较小的数一较大的数=负数，即若则Q—b<0；

3.相等的两个数相减等于0,即若a=6,则a—6=0；

4.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.

例:计算3.5—4.5—3

【解答】-4

【解析】3.5-4.5-3

=3.5+(-4.5)-3

=-1-3

=-1+(-3)

=-4

知识点四、有理数加减法混合运算

1.利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算;

2.去掉括号和括号前的加号(有绝对值的要先去掉绝对值后再计算)；

3.利用加法法则和加法运算律进行计算.

例：用简便方法计算

1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12H——F2013-2014—2015+2016+2017—2018

【解答】-1

【解析】原式=(1-2-3+4)+(5—6—7+8)+•••+(2013-2014-2015+2016)+2017-2018

=0+0+-+0+2017-2018

=2017-2018

=-1

巩固练习

一.选择题

1.计算5+(-3)正确的是()

A.2B.-2C.8D.-8

【分析】根据有理数异号相加法则即可处理.

【解答】解：5+(-3)=2,

故选：A.

【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键.

2.计算-1-1的结果是()

A.-2B.0C.1D.2

【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值.

【解答】解：-1-1

=-1+(-1)

=-2.

故选：A.

【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键.

3.与-3期等的是()

1111

A.-3--B.3--C.-3+-D.3+-

2222

【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论.

【解答】解：A.-3-1=-31,选项A的计算结果是-3点

B.3-1=21,选项B的计算结果不是-3点

C.-3+|=-2p选项C的计算结果不是-3点

D.3+1=31,选项D的计算结果不是-3点

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键.

4.圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为-6℃,最高气温为2℃,

则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（）

A.-8℃B.-4℃C.4℃D.8℃

【分析】由最高温差减去最低温度求出该地这天的温差即可.

【解答】解:根据题意得：2-（-6）=2+6=8（℃）,

则该地这天的温差为8℃.

故选：D.

【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键.

5.计算I-3-（-2）1的结果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

【分析】先计算有理数的减法，再根据绝对值的性质即可得出答案.

【解答】解：原式=1-3+2

=1-1|

=1,

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.

6.下列关于有理数的加法说法错误的是（）

A.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

B.异号两数相加，绝对值相等时和为0

C.互为相反数的两数相加得0

D.绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号

【分析】根据有理数的加法法则判断即可.

【解答】解：A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；

B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0,故该选项不符合题意；

C选项，互为相反数的两数相加得0,故该选项不符合题意；

D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了有理数的加法法则，掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并

用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0是解题的关键.

7.设。是最小的正整数，6是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于()

A.-1B.0C.ID.2

【分析】由。是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，。=1,b=-l,c=0,

则a+b+c=\+(-1)+0=0.

【解答】解：依题意得：a—l,b--1,c—0,

.'.a+b+c=l+(-1)+0=0.

故选：B.

【点评】本题考查了有理数加法，掌握正整数、负整数的概念和绝对值的性质是解题的关键.

8.如果a-b>0,且a+6<0,那么一定正确的是()

A.0为正数，且B.4为正数，且

C.6为负数，且㈤〉㈤D.6为负数，且㈤

【分析】根据。-6>0可知然后两种情况：或6<0分别讨论.

【解答】解：：a-Q0,

①6N0则a一定是正数，止匕时a+b>0,与已知矛盾，

：.b<0f

•「a+bVO,

当6V0时，

①若a、b同号，

a>b,

.'.\a\<\b\,

②若a、b异号,

.'.\a\<\b\,

综上所述6<0时，a>0,|a|<|ft|.

故选：C.

【点评】本题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数的加法、正数和负数，掌握加法、减法运算法则,

分情况讨论是解题关键.

二.填空题

9.某地周六白天最高温度+4℃,与夜晚最低气温的温差是6℃,则夜晚最低气温是-20c.

【分析】根据白天最高温度降低6℃就是夜晚最低温度列式计算即可.

【解答】解：4-6=-2(℃),

故答案为：-2.

【点评】本题考查了有理数的减法，掌握温差=最高温度-最低温度是解题的关键.

10.在横线上填上适当的符号使式子成立：(+6)+(-18)=-12.

【分析】根据有理数的加法法则即可得出答案.

【解答】解:6+(-18)=-12,

故答案为：+.

【点评】本题考查了有理数的加法，掌握绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的

绝对值减去较小的绝对值是解题的关键.

11.已知㈤=9,㈤=3,则|a-6|=6-a,则。+6的值为-6或-12.

【分析】根据绝对值的定义求出a,b的值，根据|a-6|=6-a,得到aW6,然后分两种情况分别计算即可.

【解答】解：："=9,161=3,

.'.a=±9,6=±3,

•\ci-b\=:b~cif

:.aWb,

当a=-9,6=3时，a+b=-9+3=-6；

当a—-9,b--3时，a+b—-9-3—-12；

故答案为：-6或-12.

【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减法，考查分类讨论的数学思想，分两种情况分别计算是解题的

关键，不要漏解.

12.小明在计算1-3+5-7+9-11+13-15+17时，不小心把一个运算符号写错了(“+”错写成“-”或“-”

错写成“+”)，结果算成了-17,则原式从左往右数，第6个运算符号写错了.

【分析】算出原式的正确结果，与-17作差然后除以2求解.

【解答】解：VI-3+5-7+9-11+13-15+17=9,

9>-17,

小明不小心把“+”写成“-

V9-(-17)=26,26+2=13,

.,.小明将+13写错为-13,

故答案为：6.

【点评】本题考查有理数的计算，解题关键是熟练掌握有理数混合运算.

13.矿井下A、B、C三处的高度分别是-37.4心，-129.8m,-71.3m,则矿井最高处比最低处高92.4

米.

【分析】先确定最高处和最低处，根据有理数的减法，可得两地的相对高度.

【解答】解：...最高处：-37.4米，

最低处：-129.8米，

最高处比最低处高：-37.4-(-129.8)=92.4(米)，

故答案为：92.4.

【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数.

14.点A,B,C是数轴上的三个点，且BC=2AB.已知点A表示的数是-1,点B表示的数是3,点C表

示的数是11或-5.

【分析】由于点A表示的数是-1,点B表示的数是3,则线段AB的长度为4；又BC=2AB,则BC=8；

本题即求数轴上到点B的距离是8的点C所表示的数.分两种情况，①点C在B的右边；②C在B的左边.

【解答】解：：点A表示的数是-1,点B表示的数是3,

.*.AB=|-1-3|=4；

又：BC=2AB,

；.BC=2X4=8.

①若C在B的右边，其坐标应为3+8=11；

②若C在B的左边，其坐标应为3-8=-5；

故点C表示的数是H或-5.

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗

漏，体现了数形结合的优点.

15.若a的相反数等于它本身是到原点的距离等于2的负数,c是最大的负整数，则a-b+c的值为]

【分析】先根据题意确定。、6、c的值，再把它们的值代入代数式求值即可.

【解答】解：是相反数等于它本身的数，6是到原点的距离等于2的负数，c是最大的负整数，

.".a—Q,b--2,c--1,

：.a-b+c=0+2-1=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查的是有理数的相关知识.相反数等于它本身的数是0,最大的负整数是-1.

16.绝对值大于1而小于3.5的所有整数的和为0.

【分析】根据已知得出求出符合条件的数即可.

【解答】解：绝对值大于1而小于3.5的整数包括±2,±3

2+(-2)+3+(-3)=0.

故答案为：0.

【点评】本题考查了对绝对值、相反数的意义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力.

三.解答题

17.计算：

(1)+5+(-8)+(-4)-(-10)；

、S31

⑵%+7)T_0-251一(一注

【分析】(1)先把减法转化成加法，然后再利用加法交换律和结合律进行计算即可；

(2)先化简绝对值，然后再进行有理数的混合运算即可.

【解答】解：(1)+5+(-8)+(-4)-(-10)

=5+(-8)+(-4)+10

=(5+10)+[(-8)+(-4)]

=15+(-12)

=3；

(2)-+(-|-0.25|-(

646

=(-+i)+[(--)+(-i)l

6644

=1+(-1)

=0.

【点评】本题考查了绝对值的意义和有理数的加减混合运算，要注意运用加法交换律和结合律可以使计算

简便.

18.已知一列数列0,-1,

(1)求最大的数和最小的数的差；

(2)若再添上一个有理数加，使得五个有理数的和为0,求机的值.

【分析】(1)根据有理数的减法计算即可；

(2)先求出这四个数的和，再根据五个有理数的和为0即可得出机的值.

【解答】解：(1)2-(-1)

=2+1

=3；

(2)2+0+(-1)+(-i)=i,

22

•..五个有理数的和为0,

.1

••"一,

【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.

19.琪琪和佳佳计算算式“4+6-11-2”.

(1)琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“-求此时的运算结果；

(2)佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7,求佳佳所抄数字的最小值.

【分析】(1)把运算符号“+”错看成了“-”，根据有理数的减法法则计算即可求解；

(2)设佳佳所抄数字为x,根据题意可得：4+6-X-2W7,解不等式求解即可.

【解答】解：(1)4-6-11-2

=_2-11-2

=-13-2

=-15；

(2)设佳佳所抄数字为x,根据题意可得：

4+6-X-2W7,

解得xNl.

.••佳佳所抄数字的最小值为1.

【点评】本题考查有理数的加减混合计算，解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握有理数的加减混合运

算法则.

20.若两个有理数A、B满足A+B=8,则称A、B互为“吉祥数”.如5和3就是一对“吉祥数”.回答下

列问题：

(1)求-5和2x的“吉祥数”；

(2)若3x的“吉祥数”是-4,求x的值；

(3)4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由.

【分析】(1)根据“吉祥数”的定义即可得到答案；

(2)根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；

(3)根据“吉祥数”的定义，计算㈤的值，再根据绝对值的性质判断即可.

【解答】解：(1)根据“吉祥数”的定义可得，

-5的吉祥数为8-(-5)=13,

2x的“吉祥数”为8-2%,

答：-5的吉祥数为13.2%的“吉祥数”为8-2x；

(2)由题意得，3x-4=8,

解得x—4,

答：x的值是4；

(3)不能，

由题意得，4|x|+9=8,

则Ix|=-1,

因为任何数的绝对值都是非负数，

所以4|x|和9不能互为“吉祥数”.

【点评】本题考查有理数的加法运算、''吉祥数"的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

21.一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站.下表记录了这辆公共汽车全

程载客变化情况，其中正数表示上车人数.

停靠起点站中间中间中间中间中间中间终点

站第1站第2站第3站第4站第5站第6站站

上下车+21-3-40-7-9-7-12

人数+8+2+4+1+60

（1）中间第4站上车人数是1人,下车人数是7人;

（2）中间的6个站中，第6站没有人上车,第3站没有人下车:

（3）中间第2站开车时车上人数是24人,第5站停车时车上人数是22人;

（4）从表中你还能知道什么信息？

【分析】（1）用正负数来表示意义相反的两种量：上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获

取信息，即可得解；

（2）0表示既没有人上车，也没有人下车，看出中间3站上车4人，下车0；中间6站下车7人，上车0；

因此得解；

（3）根据上车记为正数，则下车就记为负数；通过统计表可以获取信息，即可得解；

（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多.

【解答】解：（1）中间第1站上车8人、下车3人；

中间第2站上车2人、下车4人;

中间第3站上车4人，没有人下车;

中间第4站上车1人、下车7人；

中间第5站上车6人、下车9人；

中间第6站没有人上车，下车7人；

（2）中间第6站没有人上车，中间第3站没有人下车；

（3）中间第2站开车时车上人数是为：21-3+8-4+2=24（人），第5站停车时车上人数是：21-3+8-4+2

-0+4-7+1=22（人）；

（4）从表中可以知道：第5站下车的人数最多，第1站上车的人数最多.

故答案为：（1）1,7；（2）6,3；（3）24,22；（4）如起点站上车21人（答案不唯一）.

【点评】此题考查了简单的统计表，要求学会通过统计表获取信息，进一步认识负数的意义，理解正负数

的意义是解题的关键.

22.某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如表.

与标准重量偏差（单位：千克）-2-10123

袋数5103156

(1)这30袋大米的总重量比标准总重量是多还是少？相差多少？

(2)大米单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花多少钱？

【分析】(1)求出偏差的和，依据和的正负即可判断，以每袋50千克为标准，计算出总质量，再加上偏差

即可解决；

(2)根据30袋大米的总重量乘上单价，即可得到总费用.

【解答】解：(1)-2X5-1X10+0X3+1X1+2X5+3X6=9千克，

即这30袋大米共多出9千克；

(2)•.•这30袋大米的总质量是：50X30+9=1509千克，大米单价是每千克5.5元，

总费用=1509X5.5=8299.5元.

【点评】此题考查有理数的加减运算问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反

意义的量，依据这一点可以简化数的求和计算.

23.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售.他以每套55元的价格为标准，将超出的记

作正数，不足的记作负数，记录如下：+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2(单位：元)他卖完这八套儿

童服装后是盈利还是亏损？他盈利(或亏损)了多少钱？

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.“正”和“负”相对.他

以每套55元的价格出售，售完应得盈利5义8=40元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据

相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损.

【解答】解：+2+(-3)+2+1+(-2)+(-1)+0+(-2)=-3,

(55-4004-8)X8+(-3)=37(元).

答：他盈利了37元.

【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.

24.我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，丘-引的几何意义就是：

数轴上数x,y对应点之间的距离.比如：2和5两点之间的距离可以用|2-5|表示，通过计算可以得到他

们的距离是3.

(1)数轴上1和-3两点之间的距离可以用「(-3)1表示，通过计算可以得到他们的距离是4.

(2)数轴上表示x和-3的两点A、B之间的距离可以表示为AB=lx-(-3)1；如果AB=2,结合

几何意义，那么x的值为-1或-5；

(3)代数式|x7|+1x+2］表示的几何意义是数轴上表示数x的点到1和-2两点的距离的和，该代数

式的最小值是3.

-5-4-3-2-10123456

【分析】(1)根据题目中的几何意义可以直接得到1和-3两点之间的距离的表示方法，再计算即可；

(2)根据题目中的几何意义可以直接得到x和-3两点之间的距离的表示方法，再解关于x的绝对值方程

|x-(-3)|=2即可；

(3)根据两点之间距离的几何意义，结合数轴发现x在1和-2之间时，代数式的值最小.

【解答】解：(1)数轴上1和-3两点之间的距离可以表示为|1-(-3)|；

•••1和-3两点之间的距离是4.

故答案为：|1-(-3)|；4.

(2)数轴上表示x和-3的两点A、B之间的距离可以表示AB=|x-(-3)|；

VAB=2,

|x-(-3)|=2,

；.x=-1或-5.

故答案为：(-3)；-1或-5.

(3)代数式l|+|x+2|表示的几何意义是数轴上表示数尤的点到1和-2两点的距离的和；

x位于-1到2之间时它们的距离和有最小值为3.

故答案为：数轴上表示数x的点到1和-2两点的距离的和；3.

【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合思想.

25.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达

B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下(单位：千米)：

+14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5.

(1)请你帮忙确定B地相对于A地的方位？

(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？

(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？

【分析】(1)把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地

的西