2025年中考数学复习之图形的相似

2025年中考数学复习新题速递之图形的相

选择题（共10小题）

1.（2023秋•交城县期末）如图，AB//CD,AC,8。相交于点O,若。4=1,OC=3,BD=7,则OD的

长为（）

721

A.-B.4C.—D.5

24

CD3

2.（2023秋•交城县期末）如图，在△ABC中，DE//AB,尸为A5的中点，CF交DE于点G,且一=一,

BD2

则下列结论错误的是（）

DE3

A.—=-

AE2AB~5

S^CDG____3

C.DG=EG

S^CBA10

3.（2024•道里区校级开学）如图，点。是AABC边3C上一点，连接AD,使NBAO=NC,则下列结论

正确的是（）

C.AC：BC=AB：ADD.A^=BD・BC

4.（2024•罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪

开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（)

c

5.（2023秋•岳阳县期末）如图，AB//CD//EF,AF交BE于点、G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错

1DG1CG1

A.—=―B.—=一C.—=―D.—=一

BG2EF2BE3CF3

6.（2024•海淀区校级模拟）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家

曾发行过紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内

的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2）,

我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形是位似

图形，点。是位似中心，点4是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）

A.四边形ABCD与四边形A8C。的相似比为1：1

B.四边形ABC。与四边形ABC。的相似比为1：2

C.四边形ABC。与四边形ABO的周长比为3：1

D.四边形ABC。与四边形A'BC。的面积比为4：1

7.（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2,今有井直

径CD为5尺，不知其深AD,立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入

径C—为4寸，问井深4。是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深4。为（）

E

井深

井水水面

图1图2

A.500寸B.525寸C.50寸D.575寸

8.（2024•陆丰市模拟）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农神庙（Parthenon

Temple）,我们把图中的虚线表示为矩形ABC。，并发现A。：OC-0.618,这体现了数学中的（）

C.轴对称D.黄金分割

9.（2024•巧家县模拟）如图，。是△ABC边上一点，添加一个条件后，仍不能使△AC£>S^ABC的

是（）

ADCD

A./ACD=/BB.ZADC^ZACBC——=一D.AC2^AD'AB

ACBC

10.（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC与是位似图形，点O为位似中心，OC：CF=1：2.若

△ABC的周长为6,则△£）£1下的周长是（

二.填空题（共5小题）

11.（2024•哈尔滨模拟）如图，△ABC中，/ABC=60°,A8=15,8C=24,是△ABC的角平分线,

E在AC上，ZAZ）E=30°，则线段DE的长为.

abc3x4~2v—z

12.（2024•永修县校级模拟）已知一=一二-，则-------（其中3x-2y+zW0）的值

xyz3x-2y+z

是.

39

13.（2024•宛城区校级开学）已知一=一（％、y均不为0）,则％,y成比例关系，

4%5y

x

y-,

abca+b

14.（2023秋•潍坊期末）已知一=一=一40,则;一值为

432b+c-------------------------------

15.（2024•湖北模拟）如图，将正方形A8C。沿直线EF折叠，使点8的对应点M落在边上，点C落

DP1AE

在点N处，MN与CD交于点、P,折痕分别与边AB,CD交于点、E,F,连接若二■=：,则二的

CP2BE

三.解答题（共5小题）

16.(2024•湖北模拟)如图，A8是。。的直径，弦CD交AB于点RBELCD,垂足为E,AC=5,BC

=10.

(1)求证：ADBEsAABC；

(2)若AC=CF,求A尸和即的长.

17.(2024•榕江县模拟)如图，在平行四边形A3CD中，E是边上的中点，连接CE并延长与54的延

长线交于点F,与BD交于点G,连接DF、AC.

(1)试判断四边形ACZ)尸的形状，并证明；

(2)若CF=n,求CG的长.

18.(2024•斗门区校级模拟)如图，点。是△ABC的边上一点，ZABC=ZACD.

(1)求证：AABC^^ACD；

(2)当AO=2,AB=3时，求AC的长.

19.(2024•包河区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B

(-1,4),C(-3,2).

(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△ALBICI,并直接写出CI点的坐标；

(2)以原点。为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出AABC放大后的图形232c2,并直

20.(2023秋•陵城区期末)如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,

3),C(-3,1).

(1)画出△ABC关于y轴对称的△421Ci；

(2)以8为位似中心，在8的下方画出28c2,使23c2与△ABC位似且相似比为2：1；

(3)直接写出点42和点C2的坐标.

2025年中考数学复习新题速递之图形的相似（2024年9月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2023秋•交城县期末）如图，AB//CD,AC,相交于点。若。4=1,0c=3,BD=1,则0。的

长为（）

721

A.-B.4C.—D.5

24

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】c

【分析】先证明进而得到空=即可求出。D=

0D3BD44

【解答】解：・・・A8〃C。，

AAOB^ACOD,

.OBOA

…OD~OC

VOA=1,OC=3,

.OB1

••OD—3，

•££2

••BD—4，

•；BD=7,

.OD3

••—―f

74

故选：c.

【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟记相似三角形的性质与判定定理是解题的关键.

CD3

2.（2023秋•交城县期末）如图，在△ABC中，DE//AB,尸为A2的中点，CF交DE于点G,且——=一,

BD2

则下列结论错误的是（）

A

DE3

A.--=-B.—=—

AE2AB5

DSHDG3

C.DG=EG

SLCBA10

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例.

【专题】图形的相似；运算能力.

【答案】D

【分析】由。得出AECG^AACF,ABCF^ADCG,根据相似三角形的性质

进行判断.

【解答】W：,：DE//AB,

：.AEDC^AABC,AECGSAACF,ABCFS^DCG,

.DECDCECEEGDGCD

"BA~CB~CACA~AF,BF~CB'

..CD3

•=—，

BD2

.CD_CE_CD_3

・•CB-CA-CD+BD-5'

CECE3

~故A选项正确，不符合题意；

AECA-CE2

DE3

—­=7,故5选项正确，不符合题意；

BA5

丁方为A3的中点，

1

・・人/=BF，S。CF~S^BCF~]^LABC?

..DGCDCEEGCDCE

・BF-CB'CA~AFfCB~CA

.DGEG

BF~AF

・・.Z)G=EG故C选项正确，不符合题意；

・・CD3i

,~S4ACF~S^BCF=04ABC，

:.S；CDG=故。选项不正确，符合题意；

S^CBA2S&CBF2cB250

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成

的三角形与原三角形相似是解题的关键.

3.（2024•道里区校级开学）如图，点。是AABC边BC上一点，连接A。，使则下列结论

正确的是（）

A

D

A.AC：BC=AD：BDB.AB2=CD・BC

C.AC：BC=AB：ADD.AB2=BD,BC

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似.

【答案】D

【分析】由已知条件：/BAD=/C,可判定再根据相似三角形的性质进

行判断即可.

【解答】解：：/胡乃二/3/B=NB,

：.AABDsdCBA,

.ABBD

••一,

BCAB

即：AB2=BD'BC.

故选：D.

【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，能够发现隐含条件公共角是解答此题的关键.

4.（2024•罗湖区校级模拟）如图，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪

开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A.ABB.A-B

c

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】解：4阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似,

故本选项不符合题意;

8、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似,

故本选项不符合题意;

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似,

故本选项符合题意;

。、阴影三角形中，/A的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两

三角形相似,

故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

5.（2023秋•岳阳县期末）如图，AB//CD//EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错

1DG1CG1

A.—=―B.—=一C.—=一D.—=—

BG2EF2BE3CF3

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可.

【解答】解：

.DGCG

••—,

BGAG

'：AC=CG,

.DGCG1

••BG-AG-2’

故A正确，不符合题意；

9：CD//EF,

.CDCG

••—,

EFFG

*：AC=CGfAG=FG,

:・FG=2CG,

：.EG=2DG,

CDCG1

•••__—____—__—_,

EFFG2

故5正确，不符合题意；

u

：AB//CD//EFf

.BGAG

••,

EGFG

■:AG=FG,

：・BG=EG,

：.BE=2BG,

..DGCG1

9BG~AG~2

：.BG=2DG,

•；BE=4DG,

.DG1

••—―,

BE4

故C错误，符合题意；

U：CD//EF,

.CGDG

••CF-DE

■;BG=2DG,BE=4DG,

：.DE=3DG,

,CGDG1

,,CF―DE―3’

故。正确，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误

是解题的关键.

6.（2024•海淀区校级模拟）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家

曾发行过紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内

的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2）,

我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形AECD是位似

图形，点。是位似中心，点A是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）

A.四边形A8C。与四边形AEC7J的相似比为1：1

B.四边形ABC。与四边形的相似比为1：2

C.四边形A8CO与四边形AECD的周长比为3：1

D.四边形ABC。与四边形ABC。的面积比为4：1

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；几何直观.

【答案】D

【分析】先利用位似的性质得到A'B'：AB=1：2,然后根据相似的性质进行判断.

【解答】解：：四边形ABC。与四边形AEC。是位似图形，点。是位似中心，点A是线段04的中点，

：.OA'：OA=l：2,

.\A,B'：AB=1：2,

四边形ABC。与四边形ABCD'的相似比为2：1,周长的比为2：1,面积比为4：1.

故选：D.

【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应

边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.两个位似图形必须是相似形;

对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线.

7.（2024•温州模拟）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2,今有井直

径CO为5尺，不知其深AD,立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入

径CF'为4寸，问井深是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深4。为（）

E

末梢,|

I

/井深,”

-------------A1----------'B

井水水面

图1图2

A.500寸B.525寸C.50寸D.575寸

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根据数学常识和相似三角形的性质，构建方程求解即可.

【解答】解：5尺=50寸，

设8C=尤尺.

•.•四边形A8CD是矩形，

J.CF//AB,

:.4EFCsdEAB,

.CFEC

••—,

ABEB

.450

50%+50

解得尤=575,

经检验：x=575是分式方程的解.

.1.40=575（寸）.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决

问题，属于中考常考题型.

8.（2024•陆丰市模拟）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农神庙^Parthenon

Temple},我们把图中的虚线表示为矩形A8CQ,并发现A。：DC-0.618,这体现了数学中的（）

AB

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

【考点】黄金分割；轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识.

【答案】D

【分析】根据黄金分割的定义，即可解答.

【解答】解：神奇的自然界中处处蕴含着数学知识.如图是古希腊时期的帕提农神庙Temple）,

我们把图中的虚线表示为矩形ABC。，并发现ADDC^0.618,这体现了数学中的黄金分割，

故选：D.

【点评】本题考查了黄金分割，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，熟练掌握黄金分割的定义是

解题的关键.

9.（2024•巧家县模拟）如图，。是△ABC边A3上一点，添加一个条件后，仍不能使的

是（）

ADCD

A./ACD=/BB.ZADC^ZACBC.—=—D.

ACBC

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.

【解答】解：A、当/ACO=N3时，再由NA=/A,可得出△ACDS^ABC,故此选项不合题意；

B、当NAOC=NAC8时，再由NA=NA,可得出△AC^S/VIBC,故此选项不合题意；

ZDCD

C、当一=一时，无法得出△ACOSAABC,故此选项符合题意；

ACBC

ACAD

D、当4。2=&。乂8时，即一=_,再由NA=/A,可得出AACDs△age,故此选项不合题意；

ABAC

故选：C.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

10.（2024•五华区校级模拟）如图，△ABC与△£）£产是位似图形，点。为位似中心，OC：CF=1：2.若

△A8C的周长为6,则的周长是（）

A.6B.12C.18D.24

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根据位似图形的概念得到△ABCs△。.，BC//EF,得到△BOCs△EOF,根据相似三角形

Be

的性质求出一，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可.

EF

【解答】解：：OC：CF=1：2,

：.OC：。尸=1：3,

•；△ABC与ZxDEF是位似图形，

:.△ABCs^DEF,BC//EF,

:.ABOCsAEOF,

.BCOC1

•'EF-OF—3’

.,.△ABC的周长：△。所的周长=1：3,

△ABC的周长为6,

.•.△。跖的周长为18,

故选：C.

【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记位似图形的概念是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2024•哈尔滨模拟）如图，△ABC中，ZABC=60°,AB=15,8c=24,AO是△ABC的角平分线,

E在AC上，ZAZ）E=30°,则线段£>£的长为2企T.

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力.

【答案】2旧.

【分析】先过点C作C兀LAB于T,先算出B7=12,CT=12V3,再算出力C='AT?+E=21,然

后过点8作BK〃AC交4。延长线于点K,证明△BOKs/Xc/M,列式计算得8。=10,CD=]4,运用

角的关系得出8。=10,CD=14,证明△朋△EA。，最后运用勾股定理列式计算，即可作答.

【解答】解：如图，过点C作C7UAB于T,

VBC=24,ZABC=60°,

：.BT=24Xa=12,CT=V242-122=12V3

VAB=15,

：.AT=AB-BT=3,

RtA4CT中，AC=>JAT2+CT2=21,

过点B作BK//AC交AD延长线于点K,

,：AD是△ABC的角平分线，

：.ZBAD=ZCAD=a,

,JBK//AC,

：.ZK=ZDAC,

；.NBAD=NK,

：.BK^AB=15f

•：NBDK=NCDA,

：.ABDK^/\CDA,

.BDBK155

99CD~AC~21~77

：.BD=10,CD=14,

VZB=60°,/BAD=a,

ZADC=ZBAD+ZB=60°+a,

VZADE=30°,

：.ZEDC=30°+a,

VZDEC=ZADE+ZDAE=30°+a,

：.ZEDC=ZDEC,

：.EC=CD=14.

：.AE=AC-CE=1,

在AB上截取A7=AE=7,连接。R

U：AD=AD,

：.AFAD^AEAD,

：.DF=DE,

过点。作ZUJLA3于L

：.BL=5,DL=5V3,LF=AB-BL-AF=3,

RtADLF中，DF=2V21=DE

故答案为：2V21

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，正确

掌握相关性质内容是解题的关键.

abc3x+2y-z3CI+2Z7-c

12.（2024•永修县校级模拟）已知一=一=一,t（其中3尤-2y+zW0）的值是

xyz3a-Zb±c

【考点】比例的性质.

【专题】分式；运算能力.

3a+2b-c

【答案】

3Q—2b+c

X"Vz

【分析】设一=:=一=k,则攵，z=或，代入原式化简计算即可.

abc

abc

【解答】解：・・・一=一=一，

xyz

txyz

abc

贝!Jx~~cikjy~~bkjz=c%,

3x+2y—z3ak+2bk—ck3a+2b-c

3%—2y+z3ak-2bk+ck3a—2b+c

3a+2b-c

故答案为:

3a—2b+c

【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

39X5

13.（2024•宛城区校级开学）已知募=豆（x、y均不为。），则尤，y成^比例关系，厂f

【考点】比例的性质.

【专题】实数；运算能力.

【答案】正,.

【分析】判断两种相关联的量是否成正、反比例，就看这两种量是对应的乘积一定还是商一定，如果是

乘积一定，就成反比例，如果是商一定，就成正比例.

39

【解答】解：因为一=二，

4%5y

13

所以一=—,

4%5y

所以12x=5y,

_x5

所以一=

y12

x5

所以x,y成正比例关系，-=—.

故答案为：正，

【点评】本题考查了正比例、反比例的判断，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例

的外项，中间的两项叫做比例的内项.

abca+b7

14.（2023秋•潍坊期末）已知一=一=一40,则;一值为-.

432b+c-5-

【考点】比例的性质.

【专题】计算题；运算能力.

7

【答案】

abc

【分析】设i=]=5=k(kK0),则a=4k,b=3k,c=2k,据此代入所求式子中求解即可.

【解答】解：=7=1*0,

432

一、r。bc

:•可设1=~=~=k(kW0),

.\a=4k,b=3k,c=2k,

.a+b4/c+3/c7

b+c3/c+2/c5

7

故答案为：g.

【点评】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

15.(2024•湖北模拟)如图，将正方形A3CQ沿直线跖折叠，使点3的对应点“落在边上，点。落

DP1AE

在点N处，MN与CD交于点P,折痕分别与边A3,CD交于点2F,连接3M.若3=二，则菽的

CP2BE

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换(折叠问题).

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】

MDMPDP1

【分析】延长MMBC交于点Q.根据△OA/Ps/^c。尸得出万]=——=—=解方程得.

【解答】解：如图，延长MN,8C交于点Q.

A

\9AD//BC,

：.ADMPs^CQP.

tMDMPDP1

••QC-QP-CP-2’

；・QC=2MD,QP=2MP,

设。尸=〃，MD=x,则。尸=2〃，QC=2x,正方形ABC。边长为3〃，

.\BQ=3a+2x,

由翻折和正方形的性质可得，NEMP=/EBC=90°,EM=EB=3a-AE.

：./EMB=ZEBM.

：.ZEMP-NEMB=ZEBC-ZEBM,即/BMP=ZMBC,

JMQ=BQ=3Q+2x.

八

.•.MRP.n=^1MnQ"=—3Q+—2%.

在RtZXOMP中，M0+Dp2=Mp2,

解得：xi=0(舍)，％2=可。・

.123

AM=3。—g-ci=5。.

在RtZxAEM中，AEr+AM1=EM1,

：.AE2+(|a)2=(3a-AE)2

解得：AE=^a,

BE=EM=3a—a=a,

36

•.些・一_或qq-_，

BE—a13

故答案为：—.

【点评】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾

股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2024•湖北模拟）如图，48是。。的直径，弦CO交A8于点RBEA.CD,垂足为E,AC=5,BC

=10.

(1)求证：ADBEsAABC；

(2)若AC=CF,求AF和的长.

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】（1）见解析；

（2）AF=2V5,ED=3.

【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90°得出/AC8=90°,由已知条件可知/BED=90°,由同弧

所对的圆周角相等得出即可证明△OBESAMC.

（2）过点C作CGLAB,垂足为G,由勾股定理求出A8,证明△ACGs^ABC,由相似三角形的性质

得出AC2^AG'AB,求出AG,由等腰三角形的性质得出FG=71G=V5,ZCAF^ZCFA,即可求出AF,

根据对顶角相等以及同弧所对的圆周角相进一步得出/。4/=/。弘=/3尸£）=/_8。/，进一步可求出

BDDE

BD,由（1）得结论得出——=——即可求出ED.

ABAC

【解答】（1）证明：：AB为直径，

AZACB=90°,

'：BE±CD,

：.ZBED=90°,

所对的圆周角为汨和/BAC,

NBDE=ZBAC,

:ADBEsAABC.

(2)解:如图，过点C作CGLA2,垂足为G,

VZACB=90°,AC=5,8c=10,

：.AB=<AC2+AB2=V52+102=575,

,：CG1AB,

：.AGC=ZACB=90°,

又NA=/A,

AACG^AABC,

.ACAG

••一,

ABAC

即AC2=AG^B,

•.AG=V5.

9

：AC=CFf

：.FG=AG=y[S9ZCAF=ZCFA,

：.AF=2V5,

•:NCFA=NBFD,ZCAF=ZBDF,

：.ZCAF=ZCFA=ZBFD=/BDF,

：.BD=BF=AB-AF=5A/5-2^5=3V5,

,/△DBES^ABC,

BDDE

••一j

ABAC

3V5DE

即B=—

5V55

：.ED=3.

【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90°,同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以

及性质，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键.

17.(2024•榕江县模拟)如图，在平行四边形ABCQ中，E是边上的中点，连接CE并延长与54的延

长线交于点F,与8。交于点G,连接。AAC.

(1)试判断四边形AC。尸的形状，并证明；

(2)若CP=12,求CG的长.

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】(1)四边形ACL不是平行四边形，见解析；

(2)CG=4.

【分析】(1)先证明四△DEC(ASA),则AP=C。，可证四边形ACDP是平行四边形;

(2)先证明△BCGs/XOEG,再由相似三角形的性质可得结论.

【解答】解：(1)四边形AC。尸是平行四边形，证明如下：

,/四边形ABCD是平行四边形，

J.AF//CD,

：.ZFAE=ZCDE,

是边上的中点，

C.AE^DE,

在△AEf'和△OEC中，

^FAE=NCDE

,AE=DE，

^AEF=/.DEC

:.△AEF妥ADEC(ASA),

J.AF^CD,

"."AF//CD,

.,•四边形ACDF是平行四边形；

(2),・,四边形ACOb是平行四边形,

1

：AE=DE=CE=FE,

9：CF=n,

：.CE=6,

・・•四边形ACDF是平行四边形，

：.CB//DA,BC=DA,

・•・ABCGs&DEG,DE=^CB,

CGCB

•••—_―_4,o

EGED

：.CG=4.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质

等知识.掌握平行四边形的判定与性质是关键.

18.(2024•斗门区校级模拟)如图，点。是△ABC的边上一点，ZABC^ZACD.

(1)求证：AABC^^ACD；

(2)当AD=2,AB=3时，求AC的长.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】(1)见解答；

(2)V6.

【分析】(1)利用NABC=/AC£),加上NCAB=/D4C,则根据相似三角形的判定方法可得到结论;

(2)由于△A2CSZ\ACZ),则利用相似比可求出AC的长.

【解答】(1)证明：VZABC=ZACD,ZCAB=ZDAC,

：.△ABCs△A。。；

(2)解：VAABC^AACZ),

ABACr3AC

--=---,即—=—,

ACADAC2

.,.AC=V6.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公

共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.利用相似三角形的性质可以计算相应线段的长.

19.(2024•包河区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B

(-1,4),C(-3,2).

(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△AiBiCi,并直接写出Q点的坐标；

(2)以原点。为位似中心，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出AABC放大后的图形282c2,并直

接写出C2点坐标；

y八

X

【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换.

【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观.

【答案】⑴△A1B1C1见解答,(3,2)；

(2)△/hB2c2见解答，(-6,4).

【分析】(1)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可;

(2)根据位似图形的概念作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可.

【解答】解：(1)如图所示，△4B1C1即为所求,

由图知，。点的坐标为(3,2)；

(2)如图所示，AA222c2即为所求，C2点坐标为(-6,4).

【点评】本题主要考查作图一轴对称变换与位似变换，解题的关键是掌握轴对称变换与位似变换的定义

与性质，并据此得出变换后的对应点.

20.(2023秋•陵城区期末)如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,

3),C(-3,1).

(1)画出△ABC关于y轴对称的△481C1；

(2)以B为位似中心，在2的下方画出△A2BC2,使28c2与△ABC位似且相似比为2：1；

(3)直接写出点A2和点C2的坐标.

【考点】作图-位似变换；点的坐标；作图-轴对称变换.

【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解;

(2)根据位似变换的性质找出对应点即可求解；

(3)根据作图直接写出坐标即可.

【解答】解：(1)如图1所示，△ALBCI即为所求；

图1

(2)如图所示，△A2BC2即为所求;

图2

(3)依据图2可知，&2(1,1),C2(-3,-1).

【点评】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是

解题的关键.

考点卡片

1.点的坐标

(1)我们把有顺序的两个数。和6组成的数对，叫做有序数对，记作(。，6).

(2)平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴(横轴)，竖直数轴叫y轴(纵轴)，x轴一般取向右为正方向，y轴一般取

象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于无轴，又属于y轴.

(3)坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，

第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

2.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

3.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解

决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的

思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

4.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么/+/=,2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式次+廿二。？的变形有：a=Vc2-b2,b=7c2—d2及c=+炉.

(4)由于/+庐=02>/,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

5.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

6.矩形的性质

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有