5-2平面向量的坐标运算 作业教师版

第第页平面向量的坐标运算作业【题组一】一．单选题1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案B解析对于A，C，D都有e1∥e2，所以只有B成立．2．在如图所示的平面直角坐标系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是()A．(2,2)B．(－2，－2)C．(1,1)D．(－1，－1)答案D解析因为A(2,2)，B(1,1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．故选D.3．(2020·太原模拟)设向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，且a与b的方向相反，则实数m的值为()A．－2B．1C．－2或1D．m的值不存在答案A解析向量a＝(m,2)，b＝(1，m＋1)，因为a∥b，所以m(m＋1)＝2×1，解得m＝－2或m＝1.当m＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)，a与b的方向相同，舍去；当m＝－2时，a＝(－2,2)，b＝(1，－1)，a与b的方向相反，符合题意，故选A.4．已知A(1,0)，B(0,1)，C在第一象限，∠AOC＝eq\f(π,4)，且OC＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)答案A解析因为OC＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，C为第一象限内一点，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，所以λ＋μ＝2eq\r(2).5．已知△ABC，向量m＝(a，eq\r(3)b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)答案B解析因为m∥n，所以asinB－eq\r(3)bcosA＝0，得sinAsinB－eq\r(3)sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝eq\r(3)，由于0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).6．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))与向量a＝(1，－1)共线，若eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，则λ等于()A．－3B．3C．1D．－1答案D解析设eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，y)，则由eq\o(OP3,\s\up6(→))∥a知x＋y＝0，于是eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，－x)．若eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.7．2.若a＝（6，6），b＝（5，7），c＝（2，4），则下列结论成立的是（）A.a－c与b共线B.b＋c与a共线C.a与b－c共线D.a＋b与c共线答案C解析a－c＝（4，2），因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；b＋c＝（7，11），因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；b－c＝（3，3），因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；a＋b＝（11，13），因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.8．已知向量，，则与共线的单位向量为（）A．B．C．或D．或答案D解析因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或，所以与共线的单位向量为或，故选D．二．多选题9.已知O为坐标原点，A（2，－1），B（1，2），则（）A.与AB同方向的单位向量为（－1010，31010）B.若AP＝2PB，则点P的坐标为（C.若a＝（1，－3），则a∥ABD.若C（1，－3），则四边形OBAC为平行四边形答案ACD解析因为AB＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以与AB同方向的单位向量为（－110，310）＝（－1010，31010）设P（x，y），由AP＝2PB，得（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x－2=2（1－x),y+1=2（2－y),解得x＝4因为a＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，选项C正确；因为OB＝（1，2），CA＝（1，2），所以OB＝CA，又显然O，B，C不共线，所以OB∥CA且OB＝CA，所以四边形OBAC为平行四边形，选项D正确；故选A、C、D.10.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知向量，则下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，向量与向量的夹角为锐角C．存在，使得D．若，则答案AD解析当时，，所以，故A项正确；，当时，，但当时，向量与向量同向，夹角为，故B错误；若，则，故C项错误；若，则，即，解得，故D项正确．故选：AD．11.如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．D．设Z为线段AK上任意一点，则的取值范围是答案AD解析以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.A选项：易知，，，，所以，，则，所以，所以A正确.B选项：易知，，，，，，所以，，，所以，得，解得，，所以，所以B错误.C选项：由选项A，B知，则，，，所以C错误.D选项：易知，，设，则，，所以.因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值40.所以的取值范围是，所以D正确；故选：AD.三．填空题12．已知O为坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，－1)，若2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析设P点坐标为(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－1)－(1,2)＝(－3，－3)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，则由2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2＝－3，,2y－4＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2)，))故|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2).13．(2020·荆门检测)在△AOB中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，D为OB的中点，若eq\o(DC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λμ的值为________．答案－eq\f(6,25)解析因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，因为D为OB的中点，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→)).eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(4,5)，μ＝－eq\f(3,10)，则λμ的值为－eq\f(6,25).14.已知点A(－1，2)，B(2，8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，则eq\o(CD,\s\up6(→))的坐标为________.解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).由题意得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，6)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6).因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4))和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4).答案(－2，－4)【题组二】一．单选题1.下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝答案B解析两个不共线的非零向量构成一组基底，答案B2.已知在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2，8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A.(－1，－12)B.(－1，12)C.(1，－12)D.(1，12)答案B解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，12)，答案B3.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)答案A解析设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.4.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A.e1＋e2B.－2e1＋e2C.2e1－e2D.2e1＋e2答案B解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－3，,y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))故a＝－2e1＋e2.答案B5.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A.－eq\f(2,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案A解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).答案A6.在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，Q是AC中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)答案B解析eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3，2)，∵Q是AC中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6，4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6，21).答案B7.已知平面向量a＝（1，－3），b＝（－2，0），则｜a＋2b｜＝（）A.32B.3C.22D.5答案A解析因为a＝（1，－3），b＝（－2，0），所以a＋2b＝（－3，－3），因此｜a＋2b｜＝9+9＝32.故选A.8.已知点，，则与向量同方向的单位向量为A．B．C．D．答案A解析，所以，这样同方向的单位向量是．二．多选题9．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则()A．|a|＝|b|B．4a－3b＝(5，－3)C．{a，b}可以作为平面向量的一个基底D．(a－b)∥b答案BC解析选项A，|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，即|a|≠|b|，A错误；选项B,4a－3b＝(5，－3)，B正确；选项C,2×1－0×1≠0，即a，b不共线，则{a，b}可以作为平面向量的一个基底，C正确；选项D，a－b＝(1，－1)，由1×(－1)－1×1≠0，即a－b与b不共线，D错误．10．(2023·昆明模拟)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－1答案ABD解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1；所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形．11.已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))D.eq\f(2,