第30讲 直线、平面平行与垂直的判定与性质（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第30讲直线、平面平行与垂直的判定与性质（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第6题,5分线面关系有关命题的判断2024年天津卷，第17题,15分证明线面平行面面角的向量求法点到平面距离的向量求2023年天津卷，第17题,15分证明线面平行广求点面距离求二面角2022年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法2021年天津卷，第17题,15分空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法2020年天津卷，第17题,15分空间向量垂直的坐标表示线面角的向量求法面面角的向量求法2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为15分【备考策略】1.理解、掌握空间集体中的线面关系。2.能掌握线面平行与垂直的问题。3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的平行与垂直关系去参数问题。【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题。知识讲解知识点一.直线和平面平行1.定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行知识点二.两个平面平行1.定义:没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行∥3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线【解题方法总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．性质性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面1.证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；2.证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；知识点三.直线与平面垂直1.定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面⊥面⇒线⊥面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a平行与垂直的关系一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直__平行与垂直的关系两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直_b_a3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行__线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直知识点四.平面与平面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直__3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直___a【解题方法总结】线线线面面面1.证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性（）．2.证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；⑤面面垂直的性质（）．3.证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．性质性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面考点一、线面平行问题1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体ABCD−A1B1(1)证明：BD1//(2)若正方体棱长为2，求三棱锥D−2.（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，M,N分别是PD和BC的中点，平面(1)证明：MN//平面PAB(2)求三棱锥M−1.（2024·江西·模拟预测）如图所示，四边形BCDE为直角梯形，且BC//DE，ED⊥CD，BC=2，CD=3，ED

(1)线段AC上是否存在一点G，使得DG//平面ABE，若存在，请说明G(2)空间中有一动点Q，满足AQ⊥BE，且QB⋅2.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA(1)试确定点E的位置，并说明理由；(2)是否存在实数λ，使三棱锥E−BPD体积为3.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD,AD//BC,4.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC,A考点二、面面平行问题1.（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=3，AB=2，四边形ABCD为菱形，∠ABC=π3，2.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1.（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AD,AB

2.（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SBD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且E、F分别是SB、SD(1)求证：AC⊥(2)在SC上是否存在一点M，使平面MBD//平面AEF？若存在，求出SM3.（2024高三·全国·专题练习）如图1，直角梯形ABCD中，AB=12CD=2,AD=2,AD⊥CD,AB//CD，将直角梯形ABCD绕AD旋转一周得到如图2的圆台，

考点三、平行中的动点问题1.（2024·四川乐山·三模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，满足VA−BCC1D=4A．2 B．3 C．4 D．52.（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长3的正方形，PA=3，PA⊥平面ABCD，M为线段PA的中点，若空间中存在平而α满足BD//α，MC⊂α，记平面α与直线PD，PB分别交于点E，F1.（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥P−ABCD的所有棱长都为2,E为PC的中点，M是底面ABCD内（包括边界）的动点，且EM∥平面PAB，则EM2.（2024·陕西榆林·三模）如图是一个半圆柱，DC,AB分别是上､下底面圆的直径，O为AB的中点，且AB=AD=2,(1)证明：平面DEA⊥平面CEB，并在图中画出平面DEA与平面CEB(2)若点E满足DE=62EB，空间中一点P满足考点四、线线、线面垂直问题1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6,AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为

(1)证明：OD⊥平面PAQ(2)若BE＝2AE，求三棱锥2.（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且M,N分别为棱AB,PC(1)求证：MN∥l；(2)若PD与底面ABCD所成角为α，当α满足什么条件时，MN⊥平面PCD1.（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1

(1)在底面A1B1(2)设平面CPQ交棱AA1于点T，平面CPTQ将四棱台2.（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=AP，点F为线段PC的中点，过A，D，F(1)求证：PB⊥(2)求平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积之比.3.（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是B1A4.（2025高三·全国·专题练习）如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，△FBC是等边三角形，EF//AB，EF=12AB考点五、面面垂直问题1.（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1(1)求证：平面A1MNA⊥(2)求三棱柱的体积和表面积.2.（2022·河南安阳·模拟预测）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2,CC1

(1)求证：平面BDE⊥平面BC(2)求多面体A11.（2025高三·全国·专题练习）在三棱台ABC−A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面A1ACC1是等腰梯形，O是AC的中点，B12.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面PBC，△PAC和△ABC均为等腰直角三角形，且PA=3.（2025高三·全国·专题练习）如图，AB是圆的直径，平面PAC⊥面ACB，且AP⊥AC．求证：BC4.（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱台ABC−A1B1C1.中，AB⊥BC考点六、垂直中的动点问题1.（2024高三·全国·专题练习）已知二面角α−l−β是直二面角，A∈α,    A． θ1+C．θ1+θ2.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知三棱锥A−BCD中，AC=A．266 B．263 C．1+131.（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，正方形ABCD的边长为4，矩形ABEF的边AF的长为2，若G是边EF上的动点，则三棱锥C−ABG2.（23-24高三上·河南·期中）已知在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=3,BC=1，PB=32，PA⊥3.（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，过点F1的直线与C交于A,4.（2024·黑龙江·三模）如图所示，△ABC中，AC⊥BC,AC=2,BC=4，E,F分别是AB,BC边上的点，EF//AC，将

1．（2023·河北保定·一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α//A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点.(1)求证：直线BD1//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面BDD1；(3)求三棱锥D﹣PAC的体积.3．（22-23高三上·广西玉林·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥(1)求证：EF//(2)求四面体P−4．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，6．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB求证：BD⊥7．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知多面体ABCD−A1B1C1D11．（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥A−BCDE是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A−A．点A,B,C,FC．FG⊥CD D．2．（2025高三·全国·专题练习）由平行六面体ABCD−A1B1(1)证明：D1O∥(2)证明：平面D1DO⊥3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=CC14．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=65．（2025高三·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵ABC−A1B1C1中，已知AC=BC，且点M，N，P分别是AB6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1