第15讲导数与不等式问题（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第15讲导数与不等式问题（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握导数与不等式的关系2.能掌握不等式的恒成立与有解问题3.具备数形结合的思想意识，会借助图像解决不等式问题4.会证明不等式问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数，证明不等式成立，以及求解不等式恒成立及有解问题。知识讲解知识点一.不等式1．恒成立问题的转化：a>f(x)恒成立2．能成立问题的转化：a>f(x)能成立3．恰成立问题的转化：a>f(x)在M上恰成立a>f(另一转化方法：若x∈D,fx≥A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值f(x)min4．设函数f(x)、g(x)，对任意的x5．设函数f(x)、g(x)，对任意的x16．设函数f(x)、g(x)，存在x7．设函数f(x)、g(x)，存在x18．设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使得f(x1)=g(x2)，设f(9．若不等式fx>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D10．若不等式fx<g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D知识点二.恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象．考点一、导数与不等式解集问题1.（24-25高三·上海·随堂练习）若函数y=fx，其中fx=A．0,+∞ B．C．2,+∞ D．2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数fx的导函数为f'x，且f1=e，当A．0,1 B．0,+∞ C．1,+∞ 1.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f'(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)+xf'(x)>0A．(1,+∞) C．(−∞,1) 2.（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xfA．−∞,1 B．−∞,2 C．3.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f2+x=f−x，且当x>1时，有xf'x4.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2fx+x5.（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在0,+∞上的函数y=fx的导函数为y=f'x，当x>0时，xf'考点二、单变量不等式的证明1.（2023·陕西榆林·二模）已知函数f(x)=ln(1)讨论fx(2)当a=2时，证明：fx2.（2024·陕西榆林·三模）已知函数fx(1)讨论fx(2)当m=1时，证明：fx1.（2024高三·全国·专题练习）设函数fx=x+alnx+b，曲线y=f(1)求y=fx(2)证明：fx2.（2024·河北保定·三模）已知函数f(x)=x2−ax+lnx(1)求a；(2)证明：f(x)≤2x考点三、双变量不等式的证明1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx(1)求不等式fx(2)若fx的最小值为m，正实数a,b满足1a+2.（2024·贵州黔东南·二模）已知函数fx=lnx−a(1)求实数a的值；(2)若x1>x1.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数f(x)=txln(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>b>0，证明:lna2.（2024·陕西榆林·一模）已知函数fx(1)求fx(2)已知α∈0,π2考点四、不等式恒成立问题1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)满足f(x)=ex−x2+2x，若关于x的不等式f(x)>(2−a)x+12.（24-25高三上·浙江金华·开学考试）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当x>1时，不等式fx1.（2024·黑龙江大庆·三模）已知a,b∈R，函数fx=a(1)求fx(2)若fx≥0恒成立，求2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=xlnx，gx3.（2024·陕西西安·三模）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若当x≥0时，fx≥1恒成立，求4.（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数f(x)=ae(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥2x−x+1恒成立，求实数考点五、不等式有解问题1.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的方程5x3=15x−mA．−10,10 B．−10,+∞ C．−∞,−102.（2024·西藏拉萨·二模）已知函数fx(1)当a=0时，求函数fx(2)若方程fx=ex+11.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−(1)若φx的最小值为0，求a(2)当a<0.25时，证明：方程fx=2x在2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx(1)讨论fx3.（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知函数fx(1)求fx在x=1(2)若fx≤ax在x∈0,+4.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若对任意x>0,fx>11．（2022·福建南平·三模）对任意的x1,x2∈1,3，当A．3,+∞ B．3,+∞ C．9,+∞2．（2024·四川成都·二模）在区间−4,2上随机取一个实数x，使x≤sinA．23 B．12 C．133．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于x的方程ex=ax4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数fx(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有两个不同的零点x1,5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知fx(1)求f'1并写出(2)证明：f(x)≤x−1.6．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数f(x)=1(1)求fx(2)证明：ln47．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=ex−1−ax+lnx1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fx=x2+cosx−1A．−4,4 B．−C．−42,422．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知a∈N∗，函数fxA．2 B．3 C．6 D．73．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数fx(1)讨论fx(2)当a≤2时，证明：fx4．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)=alnx+bx，曲线y=f(x)在点(1)求a,b；(2)证明：f(x)>e5．（2024·广西·模拟预测）设函数fx=−aln(1)当a=e时，求函数f(x)(2)证明：fx6．（2024·四川内江·三模）已知函数fx=ln(1)若fx(2)证明：1n+17．（2024·福建福州·三模）已知函数f(x)=ax−ln(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值1.（2024·全国·高考真题）已知函数fx(1)求fx(2)当a≤2时，证明：当x>1时，fx2.（2023·全国·高考真题）已知函数fx(1)讨论fx(2)证明：当a>0时，fx3.（2023·天津·高考真题）已知函数fx(1)求曲线y=fx在x=2(2)求证：当x>0时，fx(3)证明：564.（2023·全国·高考真题）（1）证明：当0<x<1时，x−x（2）已知函数fx=cosax−ln5.（2021·全国·高考真题）已知函数fx（1）讨论fx（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna−aln6.（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=e(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有7.（Ⅰ）若a≤0，讨论fx（Ⅱ）若0<a<1（i）证明fx8.（2019·天津·高考真题）已知a∈R，设函数f(x)=x2−2ax+2a,x⩽1,x−alnx,x>1,若关于A．0,1 B．0,2 C．0,e D．1,e【答案】C【解析】先判断a≥0时，x2−2ax+2a≥0在(−∞,1]上恒成立；若x−alnx≥0在(1,+∞)上恒成立，转化为【详解】∵f(0)≥0，即a