2024-2025学年山东省青岛市胶州市瑞华实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年胶州市瑞华实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.方程−5x2=1的一次项系数是A.3 B.1 C.−1 D.02.下列命题中，真命题是(

)A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形3.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是(

)A.AD=CD

B.四边形ABCD面积不变

C.AC=BD

D.四边形ABCD周长不变4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，则四边形ADCE的对角线ED的长为(

)

A.125 B.3 C.4 D.5.关于x的方程(m−3)x2−4x−2=0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是A.−1 B.0 C.2 D.36.如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(

)A.AB//DC

B.AB=DC

C.AC⊥BD

D.AC=BD7.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率.设每次下调的百分率为x，则可列方程为(

)A.16(1+x)2=25 B.16(1+x2)=258.某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(

)A.x(x+1)=2550 B.x(x−1)=2550

C.2x(x+1)=2550 D.x(x−1)=2550×29.已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是(

)A.55cm B.203310.如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙).设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，若(a+b)2=25，四边形ABCD的面积为13，则中间空白处的四边形EFGH的面积为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.春节过后，甲型流感病毒(以下简称：甲流)开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人______．12.根据下列表格对应值：x−1.5−1−0.500.51a1325152可求得关于x的方程ax2+bx+c=2(a≠0)13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为

．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，则经过______秒后，四边形BEDF是矩形．15.把长为40cm，宽为30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分)，把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边长为xcm，(纸板的厚度忽略不计)若折成的长方体盒子表面积为950cm2，求此时长方体盒子的体积为______．16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE=2，OF=4，则点A到DF的距离为______．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在△ABC的3条边上.你能设计出此菱形花园吗？18.(本小题16分)

用适当的方法解下列方程：

(1)2(x−1)2−92=0；

(2)x2−2x=4；19.(本小题6分)

已知：如图，在▱ABCD中，AB=BD，点E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：△ABF≌△CDE；

(2)当∠A=______°时，四边形BEDF是正方形？请证明你的结论．20.(本小题6分)

阅读下列材料，并解答问题：

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明.我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x−14=0(x>0)，即x(x+5)=14(x>0)的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是(x+x+5)2，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52=81，据此易得x=2．

(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2−4x−12=0(x>0)的正确构图是______.(从序号①②③中选择)

(2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程x221.(本小题6分)

教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙的最大可用长度为14m)，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留2m宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏的总长为32m，设苗圃ABCD的一边CD长为x m．

(1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边AD的长是______m；

(2)若苗圆ABCD的面积为96m2，求x的值；

(3)苗圆ABCD的面积能否为110m222.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，∠BAD，∠BCD的平分线分别与BC，AD相交于点E，F．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形？请说明理由．23.(本小题10分)

为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：

①该苹果的市场价预计每天每千克上涨0.1元；

②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；

③每天的冷藏费用为300元；

④这批苹果最多保存110天．

若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．

(1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？

(2)求2天后一次性全部售出所得的利润为多少元？

(3)若n天后一次性出售所得利润为9600元，求n的值．24.(本小题6分)

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点D出发沿DA向终点A运动；点Q从点B出发沿BC向终点C运动.P，Q两点同时出发，它们的速度都是2cm/s.连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为t s(0<t<6)．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？25.(本小题10分)

我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+m)2=n，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到.配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用．

[探究方法]

已知a，b为任意实数，

∵a2+b2−2ab=(a−b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

即对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时代数式a2+b2取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较a+b和2ab的大小关系(写出过程)．

[类比应用]

运用上面的结论，完成填空：

(1)x2参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.B

9.C

10.A

11.1个人

12.−1或1

13.24514.2或10

15.1500cm16.317.解：如图所示：四边形BEDF为所求菱形．

18.解：(1)2(x−1)2−92=0，

(x−1)2=94，

∴x−1=±32，

∴x1=52，x2=−12．

(2)x2−2x=4，

x2−2x+1=4+1，即(x−1)2=5，

∴x−1=±5，

∴x1=1+5，x2=1−19.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵AB=BD，

∴CD=BD，

∵E，F分别是BC，AD的中点，

∴BF⊥AD，DE⊥BC，

∴∠AFB=∠CED=90°，

在△ABF与△CDE中，

∠A=∠C∠AFB=∠CEDAB=CD，

∴△ABF≌△CDE(AAS)；

(2)解：当∠A=45°时，四边形BEDF是正方形，

证明：∵点E，F分别是BC，AD的中点，

∴DF=12AD,BE=12BC，

∵AD=BC，

∴DF=BE，

∵DF//BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BF⊥AD，

∴∠BFD=90°，

∴四边形BEDF是矩形，

∵∠A=45°，AB=BD，

∴∠A=∠ADB=45°，

∴∠ABD=90°，

∴BF=DF=12AD，

∴四边形BEDF是正方形，

20.(1)②；

(2)如图2所示的图形，

图中的大正方形面积是(x+x+2)2，

其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+2)=15，中间的小正方形面积为22，

所以大正方形的面积又可表示为4×15+221.(1)(36−3x)；

(2)根据题意得：x⋅(36−3x)=96，

解得x=4或x=8，

∵x=4时，36−3x=24>14，

∴x=4舍去，

∴x的值为8；

(3)不能，理由如下：

假设苗圆ABCD的面积能为110m2，

由题意得：x(36−3x)=110，

整理得：3x2−36x+110=0，

∵Δ=(−36)2−4×3×110=−24<0，

∴原方程没有实数根，

∴苗圆ABCD的面积不能为110m2．

22.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠D，

∵∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，∠BAD=∠BCD=120°，

由题意可知：

∠BAE=∠EAF=12∠BAD=60°，∠BCF=∠FCD=12∠BCD=60°，

∴∠BAE=∠FCD，

∴△ABE≌△CDF；

(2)解：当AB=12BC时，四边形AECF为菱形，

由题意可知：AD//BC，

由(1)得结论可知：

∴∠D=∠B=600，∠BAE=∠FCD=60°，

∴△ABE和△CDF都是等边三角形，

∴AB=BE=AE，

∴∠BEA=∠BCF=60°，

∴AE//CF，

∴AECF为平行四边形，

23.解：(1)设：x天后这批水果的销售价格为13元，

依题意得：10+0.1x=13，

解得

x=30，

答：30天后这批水果的销售价格为13元．

(2)依题意得：(10+0.1×2)×(6000−10×2)−300×2−10×6000=396(元)，

答：2天后一次性全部售出所得的利润为396元；

(3)依题意得：(10+0.1n)(6000−10n)−300n−10×6000=9600，

整理得：n2−200n+9600=0，

解得：n1=80，n2=120(不合题意，舍去)．

24.解：(1)∵P，Q两点同时出发，它们的速度都是2cm/s，

∴PD=BQ=2t，

∴AP=CQ=12−2t，

∵四边形ABQP是矩形，

∴AP=BQ，

即12−2