第11讲导数的概念与切线方程（学生版） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

PAGE1第11讲导数的概念与切线方程（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)2023年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题2022年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零2021年天津卷，第20题,16分求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析2020年天津卷，第20题,16分利用导数证明不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数2.能掌握导数的几何意义与切线的性质3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。知识讲解知识点一.导数的定义1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→∞fx0+∆x−f(x02.函数y=f(x)的导数：f(x)=3.利用定义求导数的步骤：=1\*GB3①求函数的增量：∆y=fx0+∆x=2\*GB3②求平均变化率：∆y∆x=f=3\*GB3③取极限得导数：fx0=知识点二.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点三.导数的运算1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝eq\f(1,xlna)特别地(lnx)′＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；3.复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法链接考点一、导数的定义1.（2025高三·全国·专题练习）设函数f(x)可导，f'(1)=1则lim△x→02.（2024·湖北黄石·三模）已知函数fx=log2x1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数fx=−1A．e B．−2 C．−122.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲线y=fx经过点1,2且在该点处的切线方程为ax+y−5=0，则limℎ→03.（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在t1②在t2③在[t④在[t1,其中所有正确结论的序号是．考点二、导数的运算与求值1.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值A．−1 B．−12 C．12.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=2f'3x−292.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列an中，a1013=2，若函数fA．−22024 B．22024 C．−4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数fx=x3+2x−1，若考点三、在一点处的切线方程1.（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1A．y=e4x B．y=e2x2.（2020·全国·高考真题）函数f(x)=x4−2A．y=−2x−1 B．y=−2x+1C．y=2x−3 D．y=2x+11．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知fx=x3+A．y=x+2 B．y=−4x+1 C．y=−x+4 D．y=4x−12．（21-22高三上·天津·期中）曲线y=xexA．y=x−1 B．y=x C．y=0 D．y=3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知f(x)=x2−lnx在x=1处的切线与圆C:4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数y=lnx−2x的导数为，曲线y=考点四、过一点的切线方程1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx(1)求fx在区间2023,2024(2)求曲线y=fx在点2,f(3)求曲线y=fx过点2,02.（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=eA．eb<a C．0<a<eb 1.（2025·四川内江·模拟预测）若过点m,n(m>0)可以作两条直线与曲线y=A．2n<lnm C．2m>lnn>0 2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线y=x2−3lnxA．−2 B．−1 C．1 D．23.（2024高三·全国·专题练习）过点3,0作曲线fx=xex的两条切线，切点分别为x1A．−3 B．−3 C．3 考点五、切线的倾斜角与斜率1.（全国·高考真题）曲线y=x3−2x+4A．30° B．45° C．60° D．120°2.（重庆·高考真题）曲线y=2−12x2与1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数f(x)=x3−f'(1)x22.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线y=2x−lnx在x=1处的切线的倾斜角为α3.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数fx有三个零点x1，x2，x3，且在点xi4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数y=−xA．0,π4 B．0,π4∪3π5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线y=a与函数fx=ex，gx=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=fA．1 B．e C．ea D．考点六、公切线1.（2024·全国·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a2.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线(1)若x1(2)求a的取值范围．1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2A．0或2 B．−2或0 C．－1或0 D．0或3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=4ex−2x−2x(x>0)，函数gx=−x4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−1,gx=14A．ex−y=0 B．C．x−y=0 D．x−y−1=01．（22-23高三上·天津·期中）若fx=xA．0,+∞ B．−∞,−1∪2,+∞2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2x2A．18,5−2C．14,4−23．（22-23高三上·天津·期中）函数f(x)=log124．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数fx的导函数，满足fx=2xf'5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3x−y=0，则a=6．（22-23高三上·天津河北·期末）函数fx=xlnx−1，gx=ax+ba,b∈R7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数fx=11−x+11．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线y=x3+alnx在点(1,1)A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·天津宁河·一模）设曲线y=ax−lnx2+1在点0,13．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x-2y4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数fx=log2x+5．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线y=ex在x=0处的切线方程为；若该切线也是曲线y=lnx+b的切线，则6．（2020·天津·一模）设函数fx=x3−17．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线y=lnx+a的一条切线为y=ex+b，其中a,b为正实数，则1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为A．x−y−π−1=0 B．2x−y−2π−1=0C．2x+y−2π+1=0 D．x+y−π+1=02.（2021·全国·高考真题）曲线y=2x−1x+2在点−1,−33.（2019·天津·高考真题）曲线y=cosx−x2在点4.（2019·全国·高考真题）曲线y=3(x2+x)ex5.（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2A．16 B．