数学课后导练：直线与圆锥曲线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1．若椭圆=1的弦被点（4,2）平分,则此弦所在直线的斜率为（)A。2B.—2C。D。答案：D2．已知椭圆x2+2y2=4,则以(1，1）为中点的弦的长度为(）A.32B.23C。D.答案：C3．以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的渐近线相切的圆的方程为…()A。x2+y2—10x+9=0B。x2+y2—10x—9=0C。x2+y2+10x-9=0D.x2+y2+10x+9=0答案:A4．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7，0)，直线y=x—1与双曲线交于M、N的中点横坐标为，则此双曲线的方程为()A。=1B.=1C。=1D.=1答案：A5．直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆=1恒有公共点，则t的取值范围是。答案：1≤t＜56．直线l与椭圆+y2=1交于P、Q两点,已知l的斜率为1,则弦PQ的中点轨迹方程为。答案：x+4y=07．过抛物线y=ax2(a〉0）的顶点O作两条互相垂直的弦OP和OQ。求证：直线PQ恒过一个定点.证明：设P(x1,ax12)、Q（x2,ax22），则kPQ=a(x1+x2)，直线PQ的方程为y—ax12=a(x1+x2）(x—x1),即y-a(x1+x2）x+ax1x2=0，∵OP⊥OQ,∴kOP·kOQ=a2x1x2=—1.∴y-分式-a（x1+x2）x=0,即y-分式=a(x1+x2)(x—0).∴PQ恒过定点M（0,).8．已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P（—2,0)及线段AB的中点Q。(1)求k的取值范围;（2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围。解：(1）把y=kx—1代入双曲线方程x2-y2=1,化简整理得（1-k2）x2+2kx—2=0.由题设条件＜k＜—1。（2）设A(x1，y1）、B(x2,y2)、Q(x，y),则x==，y=,∴直线l的方程为y=分k2+k—2式（x+2)。令x=0,b==,∵—＜k＜—1，u=2k2+k-2为减函数,∴—1＜u＜2—.又u≠0，∴b＜-2或b＞2+。9．对于椭圆x2+=1,是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰好被直线x+=0平分,若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由.解:设l的方程为y=kx+m,代入x2+=1，得（k2+9)x2+2kmx+m2-9=0，∴Δ=4k2m2—4（k2+9）(m即m2-k2-9＜0.①又，∴m=.代入①得k2＞3,∴k＞或k＜-.从而直线l存在,且倾斜角的范围是（,)∪（，）。综合运用10．过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,使｜AF|>|BF|,过A作x轴的垂线交抛物线于C,则S△BCF等于（）A.64B.32C.16D.8解析：S△BFC=S△BAC-S△AFC=·8（8+8）-（4+4）（8+8)=32+64—16-16—16-32=16。答案：C11．设P为双曲线=1右支上一点，F1、F2分别为其左、右焦点，M、N分别为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2的内切圆与边F1F2A.M点或N点B.在线段MN上C。M点D。N点解析：设三个切点分别为A、B、C,则｜AF1|-｜AF2|=｜CF1｜-|BF2｜=（|CF1|+｜PC|）—(|BF2｜+|PB|）=|PF1|—｜PF2|=2a.∴点A在双曲线上。又点A在F1F2∴点A为右顶点。答案：D12．直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2—y2=1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围。（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解:（1)将y=kx+1代入2x2—y2=1，得（k2-2）x2+2kx+2=0。①依题意解得—2＜k＜-。（2）设A(x1，y1)、B(x2，y2），由（1）得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0），则由FA⊥FB，得(x1-c）（x2—c）+y1y2=0,即(x1-c）(x2—c）+(kx1+1)(kx2+1）=0,整理得(k2+1）x1x2+（k-c）(x1+x2）+c2+1=0.③把②及c=代入③并化简得5k2+2k—6=0。解得k=-或k=（-2,-)舍去。可知k=使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。∴k=±。∴直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.13．抛物线关于x轴对称，的顶点为如右图,原点，点P（1，2)、A（x1，y1)、B(x2,y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及准线的方程；（2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率。解:（1）由已知可设抛物线方程为y2=2px。∵P在抛物线上,∴4=2\5p\51.∴p=2。故抛物线方程为y2=4x，准线方程为x=-1。（2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA=(x1≠1），kPB=(x2≠1）.∵PA与PB的斜率存在且倾角互补，∴kPA=-kPB.∴.∴y1+2=-（y2+2）。∴y1+y2=-4。又A、B在抛物线上，∴y12=4x1，y22=4x2.∴y12—y22=4(x1—x2）.∴kAB==-1（x1≠x2）。拓展探究14．设双曲线C—y2=1与直线l:x+y=1相交于A、B两点。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P,且=，求a的值。解：(1)由得(1-a2）x2+2a2x—2a2=0。由于直线与双曲线有两交点,∴解得0＜a＜且a≠1.∴e=，而0＜a＜且a≠1。∴e＞且