数学课后导练：用数学归纳法证明不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“<n+1”时，由“假设n=k时命题成立”到“当n=k+1时”,正确的步骤是（）A。=k+2B。<k+2C。=k+2D.=k+2答案：D2已知一个命题P（k）,k=2n（n∈N),若n=1，2,…,1000时P（k)成立，且当n=1000+1时它也成立，则下列判断中正确的是（）A。P（k）对k=2004成立B.P（k）对每一个自然数k成立C.P（k)对每一个正偶数k成立D.P（k）对某些偶数可能不成立答案：D3用数学归纳法证明(n≥2）,从k到k+1需在不等式两边加上（）A。B。C.D。答案：C4欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2n〉n3，n0为验证的第一个值，则（)A.n0=1B。n0为大于1小于10的某个整数C。n0≥10D。n0=2答案：C5已知Sk=(k=1,2,3，…),则Sk+1等于（)A。Sk+B。Sk+C。Sk+D.Sk+答案:C综合运用6证明不等式1+（n∈N）。证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2。左边<右边.不等式成立.2°假设当n=k时，不等式成立,即1+，则当n=k+1时,1+(现在关键证明).∵=（基本不等式放缩)==0,∴,即当n=k+1时，原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n∈N,原不等式成立。7设n〉1,n∈N,证明〉1.证明：1°当n=2时，左边=>1,不等式成立;2°假设当n=k(k≥2）时，原不等式成立，即>1,则当n=k+1时，左边比n=k时增添了>0（k≥2).故当n=k+1时，不等式成立。由1°,2°,可知对任意n∈N，n≥1,原不等式成立.8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n〉1且n∈N时，试证明an+cn〉2bn.证明：（1）当n=2时，∵a2+c2〉2()2=2b2,即命题成立。（2）设当n=k（k≥2）时，有ak+ck>2bk。由于a，c为正数，所以（ak—ck）与a—c同号,即(ak-ck)（a-c）〉0，亦即ak+1+ck+1>akc+ack,∴ak+1+ck+1=12（ak+1+ck+1+ak+1+ck+1）〉(ak+1+ck+1+akc+ack)=（ak+ck)(a+c）=（ak+ck）b〉2bk+1，即n=k+1时成立。由(1)、（2），知对于n>1且n∈N时命题成立。拓展探究9已知x1〉0,x1≠1且xn+1=(n=1,2，3，…),试证:数列{xn｝或者对任意n∈N都满足xn<xn+1，或者对任意n∈N都满足xn>xn+1.证明:由于xn+1-xn=-xn=且x1>0,又由题设可知对任意n∈N，有xn>0,故xn+1—xn与1-xn2同号，于是应分x1〈1与x1〉1两种情况讨论。(1）若x1<1,用数归纳法证明1—xn2〉0。1°当n=1时，1-x12>0成立。2°假设当n=k时,1—xk2>0成立,则当n=k+1时，1—xk+12=1—［］2=>0,即当n=k+1时，有1-xk+12>0成立。故对任意n∈N,都有1—xn2>0,∴对任意n∈N,有xn+1〉xn.(2）若x1〉1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2〈0,此时有xn+1〈xn.综合（1)、（2)，原问题获证.备选习题10求证：n≥3时,〉1.证明：用数学归纳法.当n=3时，〉1,命题成立。根据归纳假设，当n=k(k≥3)时，命题成立，即>1。①要证明n=k+1时，命题也成立，即>1.②要用①来证明②,事实上，对不等式①两边乘以,就凑好了不等式②的左边。接下来，只需证明>1.③因为（k+1)2k+2=（k2+2k+1)k+1〉(k2+2k）k+1，这就证明了③式.由①②③知对于n≥3，n∈N,命题成立。11设0<a〈1，定义a1=1+a,an+1=+a,求证：对一切自然数n,有1<an〈.证明：用数学归纳法.当n=1时，a1>1,又a1=1+a<，显然命题成立.假设当n=k时,命题成立,即1<ak〈.①要证明n=k+1时，命题也成立，即1〈ak+1<.②要用①来证明②,事实上，由递推公式，知ak+1=+a>（1—a）+a=1,同时,ak+1=+a〈1+a=<，这就证明了②.12设数列{an}满足a1=2,an+1=an+，(n=1，2,3，…）（1)证明an>对一切正整数n都成立；(2）令bn=（n=1，2，3…),判定bn与bn+1的大小，并说明理由。证明：（1）当n=1时，a1=2>,不等式成立.假设n=k时,ak〉成立.当n=k+1时，ak+12=ak2++2>2k+3+〉2（k+1）+1.∴n=k+1时，ak+1〉成立.综上,由数学归纳法可知an>对一切正整数n成立。（2）=（1+)〈(1+)·<1。故bn+1〈bn。13设数列｛an}满足an+1=an2—nan+1,n=1,2，3,…,（1）当a1=2时，求a2,a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1，有①an≥n+2；②.（1)解析：由a1=2,得a2=a12—a1+1=3。由a2=3，得a3=a22—2a2+1=4.由a3=4，得a4=a32—3a3+1=5.由此猜想an的一个通项公式：an=n+1（n≥1)。（2）证明：①用数学归纳法证明：①当n=1,a1≥3=1+2，不等式成立。②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak—k）+1≥（k+2)（k+2-k）+1≥k+3,也就是说,当n=k+1时，ak+1≥(k+1)+2.根据①和②，对于所有n≥1,有an≥n+2。②由an+1=an（an-n)+1及①,对k≥2,有ak=ak-1（ak—1-k+1)+1≥ak—1（k-1+2—k+1）+1=2ak—1+1，…∴ak≥2k—1a1+2k—2+…+2+1=2k-1(a1+1)—1.于是,k≥2..14（2004长春高中毕业班第二次调研测试,理22)已知数列{an}中，a3=a（a〉2),对一切n∈N*，an>0，an+1=。(1）求证：an>2且an+1<an;（2)证明a1+a2+…+an<2(n+a—2）。证明:(1）an+1=〉0,∴an〉1。∴an-2=≥0。∴an≥2.若存在ak=2,则ak-1=2,由此可推出ak-2=2,…,a1=2，此与a1=a>2矛盾，故an>2。∵an+1-an=〈0,∴an+1<an.(2)由题(1）得an-2=,∴an—2<（n≥2）.∴(a1—2)+（a2-2）+…+(an—2)≤(a-2)(1++…+）=（a-2)=2（a-2）（1-)〈2(a—2）.∴a1+a2+…+an〈2(n+a—2）。15已知f(x)=2x3-ax2,g1（x）=f（x），当n≥2且n∈N*时，gn（x）=f［gn-1(x）]。(1）若f（1)=1且对任意n∈N＊,都有gn(x0）=x0，求所有x0组成的集合;（2）若f(1)>3,是否存在区间A,对n∈N＊,当且仅当x∈A时，就有gn（x）〈0？如果存在,求出这样的区间A；如果不存在,说明理由。解析：(1）由f(1)=11=2—aa=1.∴f(x）=2x3—x2。当n=1时,g1(x0)=f（x0)=2x03-x02=x0x0(2x02-x0-1)=0，∴x0=0或x0=1或x0=.由题设,g2（x0)=f[g1（x0）］=f（x0）=x0，假设gk(x0）=x0,当n=k+1时,gk+1（x0）=f[gk（x0）］=f(x0)=x0，∴gn(x0）=x0对n=k+1时也成立.∴当x