数学课后导练：数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1设f(n)=(n∈N＊），那么f（n+1）—f（n）等于（)A.B.C。+D.—解析：f（n+1)—f（n）=答案:D2若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为()A.↓→B.→↓C。↑→D.→↑解析:2002=4×500+2，而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左，上顶点的数.答案:D3凸n边形有f(n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1）为（)A.f（n）+n+1B。f（n)+nC。f（n)+n-1D。f(n)+n—2解析：由n边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线。答案:C4用数学归纳法证明“（n+1）(n+2）·…·（n+n)=2n·1·3·…·（2n—1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为(）A.2k+1B。2(2k+1)C.D。解析：当n=1时，显然成立。当n=k时,左边=（k+1）（k+2)·…·(k+k），当n=k+1时,左边=(k+1+1）（k+1+2）·…·(k+1+k）（k+1+k+1)=（k+2)（k+3)·…·(k+k)（k+1+k)（k+1+k+1）=(k+1）(k+2)·…·(k+k)·=（k+1)(k+2）·…·（k+k)2（2k+1）。答案:B5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有__________个点。解析:观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点；…；依次类推，第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点，故第n个图形中点的个数为n(n—1)+1。答案:n2-n+1综合运用6如果命题P（n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立，则下列结论正确的是（)A。P（n）对n∈N＊成立B。P（n）对n>4且n∈N＊成立C.P（n）对n〈4且n∈N*成立D.P（n）对n≤4且n∈N*不成立解析:由题意，可知P（n）对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P（n）对n=2,n=1也不成立.答案:D7用数学归纳法证明“1+++…+<n（n∈N＊,n>1)”时，由n=k（k>1)不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是(）A。2k-1B.2k—1C。2kD.2k+1解析：左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=,∴应增加的项数为2k。答案：C8观察下表:12343456745678910……设第n行的各数之和为Sn,则=__________。解析:第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n项的各数之和Sn=（2n-1)2,=4。答案：49已知y=f(x)满足f（n—1）=f(n)—lgan—1(n≥2，n∈N）且f(1)=—lga,是否存在实数α，β使f(n）=(αn2+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论。解析:∵f(n）=f（n—1)+lgan—1,令n=2,则f(2）=f(1）+lga=—lga+lga=0。又f（1）=-lga,∴∴f（n）=(n2—n—1)lga。证明如下:(1）当n=1时,显然成立。（2）假设n=k时成立,即f（k)=（k2—k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1）=f(k）+lgak=f(k）+klga=（k2—k—1+k)lga=［(k+1)2-(k+1）-1］lga。∴当n=k+1时，等式成立。综合（1）(2），可知存在实数α，β且α=，β=—,使f（n）=（αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.拓展探究10是否存在常数a,b，c使等式1·(n2-12)+2（n2—22)+…+n(n2-n2）=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论。思路分析:先取n=1,2,3探求a，b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a，b，c所确定的等式都成立。解：分别用n=1,2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时，由上可知等式成立;(2)假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时,左边=1·［(k+1）2—12］+2［(k+1）2-22］+…+k［（k+1）2—k2]+(k+1)[（k+1）2-（k+1）2］=1·(k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）+1·(2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1)=k4+（—)k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k(2k+1)=(k+1）4-（k+1）2。∴当n=k+1时，等式成立。由(1)(2)得等式对一切的n∈N＊均成立.备选习题11如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展"而来（n=1，2，3，…），则第n—2个图形中共有______个顶点.解析:观察规律，第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2);第二个图形有（2+2）2+(2+2）=42+4;第三个图形有(3+2)2+（3+2）=52+5；…第n—2个图形有（n+2—2）2+（n+2-2）=n2+n个顶点.答案：n2+n12下面四个判断中,正确的是（）A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N)，当n=1时恒为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N),当n=1时恒为1+kC.式子+++…+(n∈N)，当n=1时恒为1++D。设f(x)=（n∈N),则f（k+1）=f(k）+答案:C13若n∈N,求证:xn+1+（x+1)2n-1能被x2+x+1整除.证明:(1）当n=1时,命题显然成立.(2）设当n=k时,xk+1+(x+1）2k-1能被x2+x+1整除。法1:(添项)当n=k+1时,xk+2+(x+1)2k+1=(x+1)2(x+1)2k—1+xk+2+（x+1)2xk+1-(x+1）2xk+1=(x+1）2［（x+1)2k-1+xk+1］-(x2+x+1）xk+1,而上面各项都能被x2+x+1整除,即n=k+1时成立.法2：（拆项)当n=k+1时xk+2+（x+1)2k+1=（x+1)2(x+1）2k-1+xk+2=(x2+x+1)（x+1）2k—1+x［（x+1）2k—1+xk+1］,以上各项都能被x2+x+1整除,即n=k+1时成立.由(1)（2）命题得证.14用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时,第二步应是(）A。假设n=k（k∈N)时命题成立,推得n=k+1时命题成立B.假设n=2k+1（k∈N）时命题成立,推得n=2k+3时命题成立C。假设k=2k-1（k∈N)时命题成立,推得n=2k+1时命题成立D。假设n=k（k≥1，k∈N)时命题成立,推得n=k+2时命题成立答案:C15用数学归纳法证明“当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除"的第二步中，为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为（）A。34k+2×81+52k+1×25B。34k+1×243+52k×125C。25(34k+2+52k+1)+56×34k+2D。34k+4×9+52k+2×5答案:C16用数学归纳法证明1+2+…+（2n+1）=（n+1)（2n+1）时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是（)A.1B.1+3C.1+2+3D。1+2+3+4答案:C17用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（n∈N，a≠1)中，在验证n=1成立时,左边应为（）A。1B。1+aC.1+a+a2D。1+a+a2+a3答案:C18求证：1+2+22+23+…+25n—1能被31整除.证明:记f（n）=1+2+22+23+…+25n—1,用数学归纳法。当n=1时，命题显然成立。根据归纳假设，当n=k时，命题成立，即f(k）=1+2+22+23+…+25k-1能被31整除.①要证明n=k