数学课后导练：第一讲第三节相似三角形的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。如图1—4—6,D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC，BD=2AD，那么△ADE的周长∶△ABC的周长等于（）图1-4-6A。1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶9解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∵BD=2AD，∴AB=3AD。∴=。∴==。答案:B2.如图1-4-7，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC且S△ADE：S△四边形DBCE=1∶3,那么AD∶AB等于()图1-4—7A。B.C。D。解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴（）2=.又∵S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3，∴S△ADE∶S△ABC=1:4.∴(）2=，即=.答案：C3.如图1-4—8，Rt△ABC中，∠C=90°,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,则△ACD与图1A。1∶2B。1∶C.1∶D。无法确定解析：∵△ADC∽△ACB，△BCD∽△BAC,∴△ACD∽△CBD。∴△ACD的内切圆直径∶△CBD的内切圆直径=AC∶CB。又∵∠B=30°,∴AC=AB.∵BC=，答案:C4.如图1-4—9,梯形ABCD的对角线交于点O,有以下四个结论：①△AOB∽△COD;②△AOD∽△AOB；③S△DOC∶S△AOD=DC∶AB;④S△AOD=S△BOC.其中始终正确的有()图1-4-9A.1个B。2个C。3个D。4个解析：∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD.∴①正确，②无依据.③∵S△DOC∶S△AOD=OC∶OA，又△AOB∽△COD,∴OC∶OA=DC∶AB。∴S△DOC∶S△AOD=DC∶AB，正确。④∵△ABD与△ABC等底等高，∴S△ABD=S△ABC.∴S△ABD-S△ABO=S△ABC—S△ABO，即S△AOD=S△BOC。综上，①③④正确。答案：C5.如图1—4—10，BDEF是平行四边形,如果CD∶DB=2∶3,那么是S△ABC的（)图1—4—10A.B.C.D。解析：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA.∴=（）2.又∵CD∶DB=2∶3,∴CD∶CB=2∶5.∴=（)2=()2=.∴S△CDE=S△CAB。∵DE∥AB,∴==.∴=。同理，可得S△AFE=S△CAB。∴=S△ABC—S△AFE-S△EDC=S△ABC—S△ABC—S△ABC=S△ABC。答案：D综合运用6.如图1-4—11,ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F，已知BE∶AB=2∶3,S△BEF=4，求S△CDF.图1—4-11解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,∠C=∠FBE,∠E=∠CDF.∴△DCF∽△EBF。又BE∶AB=2∶3，∴BE∶DC=2∶3。∴=（）2=.∴S△CDF=·S△BEF=×4=9。7。如图1-4-12，已知△ABC的面积为60cm2,D为BC上一点，且BD∶DC=1∶3,E、F是AC和AB上的点,四边形EFDC的面积等于△BCE的面积，求△ABE的面积。图1-4—12解析：连结DE，∵S四边形EFDC=S△BCE,∴S四边形EFDC-S△DCE=S△BCE—S△DCE。∴S△DEF=S△BDE。由△DEF与△BDE同底得它们同高，从而DE∥AB.∴==。又==（它们同高）,∴=。∴S△ABE=S△ABC=15cm2。8。如图1—4—13,△PQR∽△P′Q′R′且均为等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形.设这个六边形的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2,DE=b2，EF=a3,FA=b3。图1—4—13求证:a12+a22+a32=b12+b22+b32.证明：易证△APB∽△CQ′B∽△CQD∽△ER′D∽△ERF∽△AP′F，它们的面积比为对应边的平方比,设比例系数为k,则S△APB=AB2·k=a12·k,S△CQ′B=CB2·k=b12·k,S△CQD=CD2·k=a22·k,S△ER′D=ED2·k=b22·k，S△ERF=EF2·k=a32·k，S△AP′F=FA2·k=b32·k。由于两个正三角形未重叠部分应有相等面积，∴(a12+a22+a32）k=(b12+b22+b32)k.∴a12+a22+a32=b12+b22+b32.温馨提示此题巧妙地应用了比例系数k,使得计算量显著降低，应用比例系数k解决比例问题是我们常用的技巧。拓展探究9。已知E、F、G、H分别是正方形的边AB、BC、CD、DA的中点，则(1)求四边形EFGH与正方形ABCD的面积比.（2)若将正方形改为任意四边形，结论还成立吗？若不成立，说明理由；若成立,给出证明。解析：（1）如图1—4-14,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.图1-4—14设正方形边长为2a，则S正方形ABCD=4a2，S△AEH=a2.∴S四边形EFGH=4×a2=2a2。∴S四边形EFGH∶S正方形ABCD=1∶2.（2)结论仍然成立,证明如下：如图1—4—15,连结AC.图1—4—15∵HG是△ADC中位线,∴HG∥AC.∴△HGD∽△ACD.∴=()2=.∴S△HGD=S△ACD。同理，S△BEF=S△ABC。∴S△HGD+S△BEF=(S△ACD+S△ABC）=S四边形ABCD。同理，S△AEH+S△FCG=S四边形ABCD.∴S△AEH+S△BEF+S△CGF+S△HDG=S四边形ABCD.∴S四边形EFGH=S四边形ABCD。10。如图1-4—16,△ABC的面积为16,AB=4，D为AB上任一点,F为BD的中点，DE∥BC，FG∥BC，分别交AC于E、G,设D在AB上移动，请探究当D在何处时,四边形DFGE的面积最大?图1—4-16解析：设AD=x,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=(）2。∴S△ADE=16×（)2=x2。又∵FG∥BC,∴△AFG∽△ABC。∴=（）2.∵F为BD的中点,∴DF=BF=,AF=。∴.∴S△AFG=.∴S四边形DFGE=S△AFG-S△ADE=—x2=x2+2x+4=（x2-x—）=(x2—x+-)=（x—）2+.∴当AD=时,四边形DFGE的面积最大，为.备选习题11.如图1—4—17,在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积.图1-4—17解析：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。又∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC.则有=，=。∴+==1.设S△ABC=x,∴=,=.∴=1.∴=5。∴S△ABC=25cm2。12.如图1—4—18，梯形