数学课后导练：第三讲第二节平面与圆柱面的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。已知平面β与一圆柱斜截口（椭圆)的离心率为，则平面β与圆柱母线的夹角是（)A。30°B。60°C.45°D。90°解析：设β与母线夹角为φ,则cosφ=,∴φ=30°.答案:A2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是（）A.B.C。D。解析：由a=2c，得=，即e=。答案:D3。两圆柱底面半径分别为R、r（R＞r）,平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜90°）,斜截口椭圆的离心率分别为e1、e2,则（）A。e1＞e2B.e1＜e2C.e1=e2解析:∵e1=cosα，e2=cosβ，又∵α＜β＜90°时,cosα＞cosβ,∴e1＞e2。答案:A4.已知圆柱的底面半径为2，平面π与圆柱斜截口的离心率为,则椭圆的长半轴是（）A。2B。4C.解析：由题意知短半轴b=2，==，∴=,解得a=。答案：D5.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截，截口椭圆具有(）A.相同的长轴B。相同的焦点C。相同的准线D。相同的离心率解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Danlin球不同，焦点不同,准线也不同.平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同。答案:D综合运用6。如图3-2—5,已知∠PF1F2=30°，=，OP⊥F1F2,求⊙O1的半径。图3—2-5解析:设椭圆的长半轴为a，短半轴为b,焦距为c。根据题意得解得即OP=1,∴⊙O1的半径为1。7。如图3—2—5,过F1作F1Q⊥G1G2，△QF1FA.B.C。2—D。—1解析:∵△QF1F2∴QF1=F1F2=2c，QF2=22c由椭圆的定义得QF1+QF2=2a,∴e=。答案:D8.如图3-2—6,已知PF1∶PF2=1∶3，AB=12,G1G2图3—2—6解析：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。由已知可得a=10,b=6，c==8，e==.由椭圆定义PF1+PF2=K1K2=G1G2又∵PF1∶PF2=1∶3，∴PF1=5，PF2=15。由离心率定义，∴=.∴PQ=.9。如图3-2-7,已知设两焦点的距离F1F2=2c，两端点G1G2=2a，求证：l1与l2之间的距离为图3-2—7证明:设椭圆上任意一点P，过P作PQ1⊥l1于Q1,过P作PQ2⊥l2于Q2。∵e=,∴PF1=PQ1，PF2=PQ2.由椭圆定义PF1+PF2=2a,∴PQ1+PQ2=2a。∴PQ1+PQ2=，即l1与l2之间的距离为。拓展探究10。如图3-2-8,已知A为左顶点,F是左焦点，l交OA的延长线于点B,P、Q在椭圆上，有PD⊥l于D，QF⊥AO,则椭圆的离心率是①;②；③;④;⑤.其中正确的序号是_______________。图3-2—8解析:①符合离心率定义。②过Q作QC⊥l于C，∵QC=FB，∴=符合离心率定义。③∵AO=a，BO=，∴==。故也是离心率。④∵AF=a-c,AB=-a,∴==。∴是离心率.⑤∵FO=c，AO=a，∴=是离心率.答案：①②③④⑤备选习题11.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为_____________。解析：由（2b）2=2c·2a,得b2=ac.又b2=a2—c2,∴a2-c2=ac.∴a2-c2—ac=0.两边同除ac，∴——1=0.∴-e-1=0.∴e2+e—1=0。∴e=或(舍去）。答案：12.椭圆一轴长为2，离心率为,则另一轴长为_________________.解析：设另一轴长为m,若m＜2，则a2=4，b2=m2,c2=4—m2，e2=,∴m=。若m＞2，同理，e2==,解得m=。答案：或13.已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是_____________.解析：由题意知，椭圆短轴为2b,长轴长2a==4b,∴c=。∴e=或e=cos30°=.设P到F1的距离为d,则=，∴d=b。又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b—PF1=4b-b=b。答案：b14。如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的（）A.9倍B.4倍C.12倍D.18倍