2020-2021学年广西玉林市高一下学期期末数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年广西玉林市高一下学期期末数学试题一、单选题1．关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解集与二次方程的根、二次函数的性质求解．【详解】的两根为1和－1，函数是开口向上的抛物线，∴原不等式的解集为．故选：D．【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握“三个二次”之间的关系是解题关键．2．已知数列，，，，…，，…，则是它的（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项【答案】B【分析】令，求出即可；【详解】解：令，，解得，所以是它的第项.故选：.3．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】设直线的倾斜角是，.直线的斜率为，所以，可得：.故选：.4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】当，，时，与可能平行，也可能垂直，由此可判断；根据面面垂直的判定定理可判断；当，时，与可能平行，也可能相交或异面，可判断；当，时，与可能平行，也可能相交，可判断.【详解】对于，当，，时，与可能平行，也可能垂直，所以错误；对于，当，时，由面面垂直的判定定理得，，所以正确；对于，当，时，与可能平行，也可能相交或异面，所以错误；对于，当，时，与可能平行，也可能相交，所以错误.故选：.5．若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意画出可行域，再根据的几何意义求解即可.【详解】作出变量，满足约束条件表示的平面区域，，即.，表示直线的轴截距的倍.当直线过时，取得最大值，.故选：B6．在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理可得选项.【详解】由正弦定理得，解得.故选：.7．在等比数列中，，若，是方程的根，则的值为（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根据等比数列的性质和一元二次方程根与系数的关系可得选项.【详解】由题意有，，则，所以，所以.故选：.8．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，再利用三视图的数量关系和体积公式，准确计算，即可求解．【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，其中球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，故所求体积为，故选A.【点睛】本题主要考查了几何体的三视图的应用，以及组合体的体积的计算，其中解答中根据给定的几何体的三视图得出几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，利用三视图的数量关系和体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题．9．已知数列的首项为1，第2项为3，前项和为，当整数时，恒成立，则等于（）A．210 B．211 C．224 D．225【答案】D【分析】利用已知条件转化推出，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合可知，，得到，故数列为首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，所以，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．10．已知为圆：的内接等边三角形，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理求出三角的边长，再根据计算可得；【详解】解：由正弦定理知，，，即.的面积.故选：.11．如图，正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，重合于点.则二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，再证平面，即可得到，再利用锐角三角函数计算可得；【详解】解：如图，取中点，连接，，可得，，则为二面角的平面角，又，，，平面.平面，平面.所以在中，.设正方形的边长为，则，，,，，即二面角的余弦值为，故选：.12．设为直线：的一个动点，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据切线的性质求出，，利用数量积的定义求，利用对勾函数求最值.【详解】设，，，点到直线的距离，，在时取到最小值为.故选：.二、填空题13．圆心为，半径为的圆的标准方程为________.【答案】【分析】根据圆的标准方程的定义，即可求解.【详解】根据题意，要求圆的，则要求圆的标准方程为；故答案为：.14．已知三个顶点的直角坐标为分别为，，，则边上的中线所在的直线方程为______.【答案】【分析】由中点坐标公式求得的中点的坐标，结合的坐标写出边上的中线所在直线的两点式，化为一般式得答案．【详解】，，的中点的坐标为，又，由直线方程的两点式得边上的中线所在直线方程为．整理为一般式为．故答案为：．【点睛】本题考查了中点坐标公式的应用，直线方程的两点式，训练了两点式与一般式的互化，是基础题．15．在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为________.【答案】【分析】设AB的中点为O，连接OD，OC，可得与均为直角三角形，进而可得O为外接球球心，再由球的表面积公式即可求解.【详解】解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即与均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故答案为：2π．16．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，则的值为________.【答案】【分析】根据同角三角函数的平方关系求得，再运用正弦定理求得，由余弦定理可求得答案.【详解】因为，所以，又，所以得，所以，由，得，故答案为：.三、解答题17．已知两直线：，：.（1）求和平行时的值；（2）求和垂直时的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据两直线平行对应的直线方程的系数关系得到关于的方程，由此求得的值，注意验证直线是否重合；（2）根据两直线垂直对应的直线方程的系数关系得到关于的方程，由此求得的值.【详解】（1）因为，所以，解得或，当时，均为，两条直线重合，不符合.故.（2）因为，所以，解得或.当，垂直时，或.18．在锐角中，，，分别是角，，所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出；（2）由余弦定理可得，结合三角形面积公式代入计算即可【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，则又因为是锐角，故；（2）由余弦定理，得，所以又因为，所以则．【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的计算，属于中档题．19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）；（2）万箱.【分析】（1）分和两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）分和两种情况分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润的最大值及其对应的值，综合可得出结论.【详解】（1）当时，；当时，.所以，；（2）当时，，当时，取得最大值，最大值为万元；当时，，当且仅当时，即时，取得最大值，最大值为万元.综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为万元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．20．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取得中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明线面平行；（2）连接交于点，根据线面垂直的判定定理，由题中条件，得到平面，过作，为垂足，连接，由平面，推出平面，得到为直线与平面所成角，根据题中数据，求出，，进而可得线面角的正弦值.【详解】（1）证明：取得中点，连接，，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）证明：连接交于点，四边形为菱形，，，，又，平面，又平面，平面平面.过作，为垂足，连接，平面平面，平面，因此直线在平面的射影为，即为直线与平面所成角.四边形为菱形边长为，，，，由题意可知为直角三角形，易得，又，，，由平面，∴为直角三角形，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查证明线线垂直，考查求线面角的正弦值，关键是要熟练掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质，进行空间直线的平行、垂直的转化.21．等差数列的前项和为，已知，公差为整数，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由等差数列的通项公式结合为整数即可求解；（2）利用裂项求和即可求解.【详解】（1）设数列的公差为，在等差数列中，由，，又，，解得：，为整数，，数列的通项公式为.（2）由（1）知：，，.22．已知圆，点，其中．（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若在圆上存在点，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）求出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求出直线的方程；（2）求出以为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆有公共点即可求