2020-2021学年福建省龙岩市长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下学期期中联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年福建省龙岩市长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定六校（一中）高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A．零向量与任意向量都不平行B．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量C．平行向量就是共线向量D．长度为0的向量叫做零向量【答案】A【分析】根据零向量与单位向量及共线向量的定义判断可得；【详解】解：模为的向量叫做零向量，规定：零向量与任意向量平行，长度为个单位长度的向量，叫做单位向量，故A错误，BCD正确．故选：A2．已知向量，则（）A．0 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】利用平面向量数量积运算求解即可.【详解】，所以．故选：B.3．（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用复数的乘方求得，代入利用复数的除法运算求解即可.【详解】因为，所以．故选：D.4．已知棱长为6的正方体的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方体的体对角线长是其外接球的直径求解.【详解】因为正方体的棱长为6，所以正方体的体对角线长度为，又因为正方体的体对角线长是其外接球的直径，所以球O的半径为，所以球O的表面积为．故选：B5．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先求出，再由余弦定理求解即可【详解】由题意可知：，，，由余弦定理得故选：C6．如图所示的是一个四边形用斜二测法画出的直观图，它是一个底角为，腰和上底边长都为4的等腰梯形，则原四边形的周长为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直观图还原成原图是一个如图所示的直角梯形，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度加倍，所以由已知的数据可得，从而可求得答案【详解】原图是一个如图所示的直角梯形，其中，则周长为．故选：D7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的外接圆半径为R，若，则（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据题设条件和正弦定理，得到，进而求得，由余弦定理列出方程，求得，再由，得到，利用面积公式，即可求解．【详解】在中，满足，由正弦定理可得，即，因为，可得，所以，可得，又由，可得，因为，所以，又因为，且，所以，解得或（舍去），由，所以，所以．故选：A.8．已知平行四边形中，点E，F分别在边上，连接交于点M，且满足，则（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据，得到，再由E，F，M三点共线求解.【详解】因为，所以，所以．因为E，F，M三点共线，所以．故选：B二、多选题9．若一个多面体共有5个面，则这个多面体不可能是（）A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．四棱台【答案】ABD【分析】根据多面体的概念判断即可；【详解】解：由多面体的概念知，三棱锥有4个面，四棱柱和四棱台有6个面，三棱台有5个面．故选：ABD10．已知复数在复平面内对应的点为P，则（）A．P在第二象限 B．P在第四象限C． D．z的虚部为【答案】AC【分析】根据复数的运算，求得，结合复数的几何意义和共轭复数的概念，以及复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数，所以其对应的点位于第二象限，所以A正确，B错误；由复数的虚部为，所以D错误；又由共轭复数的概念，可得，所以C正确.故选：AC11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值可能是（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】CD【分析】根据，由求解.【详解】，，，，因为，所以的取值范围是．故选：CD12．在中，，则（）A．当时，B．不可能是直角三角形C．A的最大值为D．面积的最大值为【答案】AD【分析】A选项结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理即可判断；B选项，举出反例即可判断；C选择结合余弦定理表示出，然后利用均值不等式即可求出最值；D选项利用余弦定理表示出，进而表示出，结合三角形的面积公式，利用函数求最值即可.【详解】在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由，可得，又，当时，，解得，A正确；当时，，满足，为直角三角形，B错误；，当且仅当时等号成立，所以A的最大值为，C错误；，设，，当时，S取最大值，且最大值为，D正确．故选：AD三、填空题13．已知非零向量满足，且，则向量的夹角是_______．【答案】【分析】由向量垂直得到，即可得到，再根据及计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以．因为，所以，因为，所以．故答案为：14．如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别为的中点，则过D，P，Q三点的平面截正方体所得截面的面积为________．【答案】【分析】由过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形求解.【详解】如图所示：过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因为，所以之间的距离为，所以梯形的面积为，故答案为；．15．《列子·汤问》记有古代传说：“渤海之东，不知几亿万里，有大壑焉，实为无底之谷，其下无底，名曰归墟．”现代研究发现海洋蓝洞是海底突然下沉的巨大“深洞”，从海面上看蓝洞呈现出与周边水域不同的深蓝色，我国西沙群岛的“三沙永乐龙洞”为世界最深的海洋蓝洞，深达．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，且A，B，C，D四点共面，测得，，则A，B两点间的距离为________．【答案】【分析】在中易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】如图所示：在中，因为，所以，所以，则．在中，因为，所以由正弦定理，得．在中，因为，所以由余弦定理得，故．故答案为：四、双空题16．若，则________，__________．【答案】【分析】先利用复数的除法求得，然后利用复数的求模公式和共轭复数的概念求得和.【详解】因为，所以．故答案为：；.五、解答题17．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，，M，N，P分别是的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可求证；（2）由于，由体积公式计算三棱锥的体积即可求解.【详解】（1）因为M，N，P分别是的中点，所以．又平面平面，所以平面．同理平面，又，所以平面平面．（2）三棱锥的体积等于三棱锥的体积，因为底面为正方形，且，所以，所以三棱锥的体积为.18．已知向量．（1）若，求与的夹角的余弦值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据向量结合，利用平面向量的夹角公式求解；（2）由，化简得到，再由，利用二倍角的余弦公式求解.【详解】（1）因为，所以，．又因为，所以．（2）若，则．所以，即，所以．因为，所以，解得．因为，所以．19．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．（1）若_______，求实数m的值；（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案【详解】解：（1）若选择①因为，所以解得．若选择②因为z的实部与虚部互为相反数，所以，解得或．若选择③因为z为纯虚数，所以解得．（2）因为，所以，所以．因为m为整数，所以为平方数，为奇数．因为或，所以验证可得，即．因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．20．如图，平面四边形是某公园的一块草地，为方便市民通行，该公园管理处计划在草地中间修一条石路（不考虑石路的宽度），．（1）求该草地的面积；（2）求石路的长度．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）连接．在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得CD，然后草地的面积由和的面积和求解.（2）由，结合求解.【详解】（1）如图所示：连接．在中，由余弦定理可得，即，则．在中，由余弦定理可得，则，解得或（舍去）．的面积，的面积，故该草地的面积．（2）因为，所以，所以．由余弦定理可得，，即，解得，故，即石路的长度为．21．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F在棱AB上，且AF=2FB，设直线BD1、DE相交于点G.（1）证明：GF平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接AD1，根据等比例关系易得FGAD1，根据线面平行的判定即可证GF平面AA1D1D；（2）若正方体的棱长为6，求、GE、，由余弦定理求可得，进而求、及G到平面BEF的距离，由等体积知VB﹣GEF=VG﹣BEF即可求B到平面GEF的距离.【详解】（1）证明：连接AD1，则，∴FGAD1，又AD1平面AA1D1D，FG平面AA1D1D，∴GF平面AA1D1D；（2）由题意，若正方体的棱长为6，则，GE=DE=×，，在△GEF中，由余弦定理可得cos，则sin，∴，，且G到平面BEF的距离为2，设B到平面GEF的距离为h，由等体积法有VB﹣GEF=VG﹣BEF，∴，解得，故B到平面GEF的距离为.【点睛】关键点点睛：第二问，应用等体积法有VB﹣GEF=VG﹣BEF求点面距离.22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（