2024-2025学年广东省深圳市南山区育才教育集团九年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市南山区育才教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一元二次方程x2−3x=0的解是(

)A.x1=0，x2=−3B.x=−3C.x=32.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为(

)A.8 B.12 C.0.4 D.0.63.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是(

)A.B.C.D.4.关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是A.k≤−94 B.k≤−94且k≠0 C.k≥−95.下列命题中，为真命题的是(

)A.三个角相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直相等的四边形是正方形

C.正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形

D.若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是(

)A.16(1+x)2=23B.23(1−x)2=167.如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是(    )米．A.5B.6

C.7D.88.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=221，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则CF的长为(

)A.8

B.425

C.172

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.已知ab=32，那么10.一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是____．11.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为2cm，那么BP的长度为______cm.(结果保留根号)12.如图，由点P(14,1)，A(a,0)，B(0,a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，则a的值为______．

13.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC边上一点，且BD=AB.E是AB延长线上一点，连接ED交AC于F，若∠ADE=∠B，则EF的长度为______．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

解下列方程：

(1)(x−3)2=4x(x−3)；

15.(本小题8分)

某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛.把甲、乙两组的成绩进行整理分析(满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x<90为网络安全意识比较强，x<80为网络安全意识一般).收集整理的数据制成了如下统计图表：

平均数中位数众数甲组a8080乙组83bc根据以上信息回答下列问题：

(1)填空：a=______，b=______，c=______；

(2)已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．16.(本小题7分)

如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,−1)、B(4,−3)、C(4,−1)．

(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；

(2)在第一象限内，画出△A1B1C1以点O为位似中心并扩大到原来的17.(本小题8分)

龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？18.(本小题8分)

如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE/​/AC交AB于点E，作DF/​/AB交AC于点F，连接AD．

(1)下列条件：

①D是BC边的中点；

②AD是△ABC的角平分线；

③点E与点F关于直线AD对称．

请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程．

(2)若四边形AEDF是菱形，且AE=4，CF=2，求BE的长．19.(本小题10分)

【阅读理解】

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根均为整数，则称方程为“快乐方程”.通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2−4ac一定为完全平方数.现规定F(a,b,c)=4ac−b24a为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”x2−3x−4=0的两根均为整数，其“快乐数”F(1,−3,−4)=4×1×(−4)−(−3)24×1=254，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r=0(p≠0)的“快乐数”F(p,q,r)，且满足r⋅F(a,b,c)=c⋅F(p,q,r)，则称F(a,b,c)与F(p,q,r)互为“开心数”．

(1)“快乐方程”x2−2x−3=0的“快乐数”为______；20.(本小题12分)

综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点．证明过程如下：连接CH，

∵正方形ABCD沿CE折叠，

∴∠D=∠B=∠CGH=90°，①______，

又∵CH=CH，

∴△CGH≌△CDH，

∴GH=DH．

由题意可知E是AB的中点，设AB=6(个单位)，DH=x，则AE=BE=EG=3，

在Rt△AEH中，可列方程：②______，(方程不要求化简)

解得：DH=③______，即H是AD边的三等分点．“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN/​/AD．

【过程思考】

(1)“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

①：______，②：______，③：______；

(2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；

【拓展提升】

如图3，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D′，射线ED′与菱形ABCD的边交于点F，请直接写出D′F的长．

参考答案1.D

2.B

3.C

4.D

5.A

6.B

7.D

8.B

9.1210.4911.512.3或12

13.1614.解：(1)(x−3)2=4x(x−3)；

(x−3)2−4x(x−3)=0，

(x−3)(x−3−4x)=0，

x−3=0或x−3−4x=0，

所以x1=3，x2=−1；

(2)x2+8x−9=0，

(x+9)(x−1)=015.解：(1)83，

85，

70；

(2)500×2+1+3+220=200(人)．

∴估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人．

(3)由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为A，乙组满分人数为2人，分别记为B，C，

画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，

∴抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为416.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作；

(2)如图，△A2B217.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，

依题意，得50(1+x)2=72，

解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，

答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)设该品牌头盔每个售价为y元，

依题意，得(y−30)[500−10(y−40)]=8000，

整理，得y2−120y+3500=0，

解得y1=50，y2=70，

因尽可能让顾客得到实惠，18.解：(1)选择条件②：

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE/​/AC，DF/​/AB，

∴四边形AFDE是平行四边形，∠EAD=∠FDA，

∴∠FDA=∠FAD，

∴AF=D