2024-2025学年上海市某中学高三数学上学期10月考试卷及答案解析

敬业中学2024学年第一学期10月考试高三数学试卷

（完卷时间：120分钟满分:150分）

考生注意：

1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上

的解答一律无效；

2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3.本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟.

一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）

1.若集合2={月》—1<2”叫，则ZCN=.

【答案】{0,1,2}

【解析】

【分析】首先化简集合A,再根据交集的定义计算可得，

【详解】因为N={x|x-l<2,xeR}={x|x<3,xeR},N为自然数集，

所以」nN={0,l,2}.

故答案为:{0,1,2}

2.若复数z满足一!一=工（i为虚数单位），贝”=_______.

z-12

【答案】l+2i

【解析】

【分析】处理方程，即可求得z

1

【详解】因为一^二—，所以2—1=2九即z=l+2i

z-12

故答案为：l+2i

【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题

3.已知圆=/2与直线3》—4y+10=0相切，则圆C的半径井=.

【答案】2

【解析】

【详解】试题分析：圆与直线相切，等价于圆心到直线的距离等于半径，所以d=Ilo,+o+iolI=2=尸

考点：直线与圆相切

4.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：上—片=1的右焦点重合，则抛物线C的方程是

72

【答案】y=12x

【解析】

【详解】试题分析：由于双曲线：工—匕=1中a2=7H=2,所以c=3,

72

从而它右焦点为（3,0）,

所以抛物线C的方程是y2=12x.

故答案为V=12x.

考点：圆锥曲线的方程.

5.在二项式（——2）5的展开式中，x的一次项系数为.（用数字作答）

x

【答案】-80

【解析】

2

【详解】试题分析二项式的通项=G（X）*（——）'=（—2），。3°曰，令10—3r=l/=3,此时X的

X

一次项系数为（一2）3以=-80.

考点：二项式定理.

6.已知一个圆柱的高为1,底面半径若，则它的侧面积的大小为

【答案】2G兀

【解析】

【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.

【详解】因为圆柱的高为1,底面半径后，

所以其侧面积S=2x兀xGx1=2A/3TI.

故答案为：2百兀

7.若a为第四象限角，且sina=-L则tana的值是

3

【答案】一注

4

【解析】

【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.

【详解】由a为第四象限角，sina=-；,得cosa=Jl-sin2a=

ll,、，sina1v2

所以tana=-----=----产=-----.

cosa2V24

故答案为：_受

4

71兀

8.函数/(x)=sin二-,n的单调递增区间为.

2L2一

【答案】［3,兀］

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性求法结合给定闭区间求解.

TTTT7T

【详解】令2E<—x<2kn+~,keZ,

222

71

得4左一14XV4k+1,左eZ,又xe—,71,

2

故单调递增区间为［3,兀］.

故答案为：［3,兀］.

9.如图：在AABC中，若48=ZC=3,cos/A4C=；,~DC=2BD，则赤•瓦公

【解析】

【分析】用基底存、式表示向量而和灰，然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出

通.瓦的值.

1—.,19

【详解】VAB=AC=3,cosZBAC=-,AB-COSZBAC=32X-=-

222

UUUIUUU即〃-力=2(而-益)，:.AD=^AC+^AB,BC=AC-AB-

QDC=2BD，

)

因此，ADBCJLAC+-AAB=^+^AB.AC-^

(33

=-1x3—+-x—92[23

33232

3

故答案为：—

2

【点睛】本题考查三角形中数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量，考

查计算能力，属于中等题.

10.若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为

【答案】380

【解析】

【分析】分有1门相同、2门相同、3门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计

算可得.

【详解】若甲、乙所选的课程有1门相同，则有C>xC；xC；=18()种情况；

若甲、乙所选的课程有2门相同，则有©卜心、仁=180种情况；

若甲、乙所选的课程有3门相同，则有C：=20种情况;

综上可得甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为180+180+20=380.

故答案为：380

11.设a>0,函数/(x)=x+2(l-x)cos(ax),xe(O,l),若函数y=2x—l与y=/(x)的图像有且

仅有一个公共点，则。的取值范围是.

2兀4TI

【答案】

T!T

【解析】

【分析】函数图形交点问题转化为方程解的问题，由余弦函数图像的性质即可得到参数的取值范围.

【详解】由题意得2x-l=x+2(l-x)cos(ax)由且只有一个解,

则+2cos（ax）］=0,又rxe（0,1）,

cos（ox）=有一个解,

2

127t4n

——=cos一=cos——

233

•••xe（0,l）,oxe（0,a）

2n47r

故答案为:

T!T

12.已知aeR,若存在定义域为R的函数/(x)满足下列两个条件:

①对任意/cR,/(Xo)e{x|x=g，左eN*},②关于x的方程/(x)=。无实数解,

则。取值范围为

【答案】(―”,0)口(0,1)口(1,+。)

【解析】

【分析】通过条件分析得出a70且a/1,构造一个满足其要求的函数，即可得出答案.

【详解】考虑/(a),由关于x的方程/(x)=a无实数解，则/(a)=/wa,

故awO且a/1,注意此为必要条件.

同时构造出/("=d2_是满足条件的函数，

x,x—a

故ae(-oo,0)u(0,l)O(l,+oo).

二.选择题(本题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，第15、16每题5分)

13.已知。、beR,若a<6,贝ij()

A.a<2bB./</c.ab<b2D.a-1<b^

【答案】B

【解析】

【分析】利用特殊值判断A、C、D,根据不等式性质判断B.

【详解】因为。、beR且a<6,

对于A：当。=一2,6=-1时，满足a<6,但是a=26,故A错误；

对于B：因为y=/在定义域R上单调递增，所以/<〃，故B正确；

对于C：当。=一1,6=0时，满足a<6,但是ab=Z?2=0，故C错误;

对于D：当a=l,6=2时，满足a<6,但是aT〉"1故D错误.

故选：B

14.关于直线/,机及平面a,广，下列命题中正确的是（）

A.若/〃a,£口/?=机，贝1|/〃相B.若/〃加||a,则/〃相

C若/_Ltz,m\\a,贝！D.若/〃a,mA.I,则加_La

【答案】C

【解析】

【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.

【详解】A选项：I"a,lu°,a[}/3=m,贝腹〃相，故A选项错误；

B选项：若/〃a,m\\a,存在/Pl机=Z,/与机不一定平行，故B选项错误；

C选项：若/_Ltz,则Vbua,/J_b；m\\a,则北口a,机〃c,_Lc,c〃掰，二/J_〃z,故C选项正

确；

D选项：若/〃a,mLI,存在加ua或%||a,则加J_a不成立，故D选项错误.

故选：C

15.“X=E+；（左eZ）”是"tanx=1”成立的（）

A.充分非必要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当》=射1+7（左GZ）时可得tanx=tan[而+ij=tanz=l,故充分性成立；

由tanx=1可得x=E+；（左eZ）,故必要性成立；

所以"x=E+£（左eZ）”是“tanx=1”成立的充要条件.

故选：C

16.已知函数/(x)的定义域为。，值域为A,函数/(x)具有下列性质：(1)若则

(2)若则/(x)+/(#eN.下列结论正确的是()

JJ

2021

①存在xe。，使得/(X)=与垢

②对任意xe。，都有72(x)eZ.

A.①②都正确B.①正确、②不正确C.②正确、①不正确D.①②都不正确

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得/(x)wO,从而推出le/,即可得至!J2020eN,2021e即可判断①；再由

1

€4,即可推导/2(x)eZ,从而判断②.

f(x}

【详解】由(1)可知/(x)wO,令y=x则94=1-

f(x)

/(x)

/(X。)1=f2(x)eA

不妨令/(x0)=l,则A即再eN,所以1')，故②正确;

/(x)

/(x)

由(2)若则/(x)+/(y)e/,所以+=2eN,

同理可得3,4,5,L,2020,2021均属于A,

/、/、

fM2021,

故存在西©。，马使得/(石)=2020,/(x2)=2021,所以=而不©幺

/IJitINU/U

所以存在xe£>,使得/(x)而，故①正确・

故选：A

三.解答题(本大题共有5题，满分78分)

17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,AD||BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上

一点，AM=2MD,N为PC的中点.

p

（I）证明MN||平面PAB;

（ID求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

o工

【答案】（D详见解析；（H）52.

25

【解析】

【详解】（D由已知得2川=2幺。=2.

3

取AP的中点T,连接AT,TN,由N为尸C中点知刀TN=-BC=2.

2

又ADHBC,故TN11AM,TN=AM,四边形㈤WT为平行四边形，干是MN"AT.

因为NTu平面尸48,平面尸45,所以〃N//平面尸4g.

（II）取5c的中点E,连结ZE.由4B=ZC得从而/EJL4D,

SLAE=^AB2-BE-=

以A为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系|幺-孙z.

由题意知，

C/7)

尸(0,0,4),Af(0,2,0),C(V5,2,0),N*,1,2,

I2)

PA/=(0,2,-4),两=卓1,_2)，衣=(布,2).

设〃=（XJ,2）为平面RI数的一个法向量，则

2y-4z=0,

n-PM=0,

即W5

元而=0,2.x+-2z—0,

可取”=(0,2,1).

I-----------In-AN8亚

于是卜os〈〃,ZN〉=行」=子.

11i^AN25

【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形

的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐

标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理.

18.已知V4SC的内角4民。的对边分别为见"c,已知a=3,b=2c.

（1）若/=m2IT，求V4SC的面积；

（2）若2sin5-sinC=l,求sinZ.

【答案】（1）巫

14

（、4A/2+V54A/2—A/5

（2）---------或^---------

99

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理解得/的值，代入三角形面积公式即可的结果.

（2）由正弦定理得到sinB,sinC的关系，解出sinB,sinC的值，分类讨论角5是否为锐角，利用和差角

公式计算出sinZ的值.

【小问1详解】

.b2+c2-a21

cosA=----------=——

2bc2

29

c=—,

7

L./2.9V39V3

Sc--bcsmA=csm/4=—x——=-----

△AABnCr27214

【小问2详解】

b=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

.1,2

•・,2sin5-sinC=1,sinC=—,sm5=y,

•.》=2c,5可能为锐角可能为钝角，。为锐角,

Ck•2厂2A/2

cosC=vl-smC=------

3

当B为锐角，cosB=Vl-sin2B-

3

1V527224V2+V5

sinA=sin[兀一(C+5)]=sin(C+5)=sinCcosB+cosCsinB=—X--------1----------X—=-----------

33339

当8为钝角，cos5=-Vl-sin25=-—

3

2V221V54V2-V5

sin4=sin[兀一(C+■)]=sin(C+5)=sinCcosB+cosCsinB=----x-----x---=---------

33339

，sinZ=4夜+2米或4后飞

99

19.已知双曲线。以>(一2,0)、鸟(2,0)为焦点,且过点尸(7,12)

(1)求双曲线C与其渐近线的方程

(2)若斜率为1的直线/与双曲线C相交于48两点，且)而(。为坐标原点)，求直线/的方程

2

【答案】(1)双曲线C的方程为V—1_=1；渐近线方程为y=±6x.(2)1方程为y=x土

【解析】

【分析】(1)设出双曲线C方程，利用已知条件求出c,a,解得b,即可求出双曲线方程与渐近线的方程;

2

(2)设直线1的方程为y=x+t,将其代入方程——匕=1,通过△>(),求出t的范围，设A(xi，yi),

3

B(X2,y2),利用韦达定理，通过X1X2+yiy2=0,求解t即可得到直线方程.

22

【详解】(1)设双曲线C的方程为1-云=1(40,心0),半焦距为C,

2222

则c=2,2a=|-|11=|A/9+12-A/5+12=2,a=i,

所以b2=c2-a2=3,

2

故双曲线c的方程为2L=1.

3

双曲线C的渐近线方程为y=±Gx.

2

(2)设直线1的方程为y=x+t,将其代入方程——21=1,

3

可得2x2-2tx-t2-3=0(*)

222

△=4t+8(t+3)=12t+24>0,若设A(xpyi),B(x2,y2),

/+3

则X”X2是方程(*)的两个根，所以玉+%2=心再％2=------

又由况_L无，可知xiX2+yiy2=0,

即X1X2+(Xi+t)(X2+t)—0,可得2%]%2+，+%2)+/=°，

故-(t2+3)+t2+t2=0,解得/=±百，

所以直线1方程为y=x土石.

【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应

用，考查计算能力.

20.已知函数其中。是常数.

(1)若。＞0,判断函数/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若a21,且函数/(x)在(1,+s)严格单调减，求实数。的最大值;

(3)若/⑴=3

且不等式对一切实数。恒成立，求实数f的取值范围.

【答案】(1)非奇非偶，理由见解析

(2)2(3)30720^^/3

【解析】

【分析】(1)当a=l时，根据奇偶函数的定义和/(1)。/(一1)、+即可判断/(x)的奇

偶性;

(2)根据单调函数的定义可得依产即解之即可求解;

(3)由题意可得/(0=三匚，由(1)(2),结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【小问1详解】

当。=1时,/(x)=——->则/(—x)=---~~-=-/U)-

X।1X十1

所以/(X)是奇函数；

当a〉0且"1时，/⑴。/(T，

且/(I)+/(T)手0,此时/(x)是非奇非偶函数.

【小问2详解】

任取%>石>1,

因止匕alOzx产(司恒成立，即依1为@(^00(田。,

因为。21,XjX2>1,%,+x2>2,只需即l<q<2,

因此。的最大值为2;

【小问3详解】

/⑴="=:，因此0=1,贝=

1+a2x+1

由⑴(2)知/(X)是奇函数，且在(7-1)、。,+⑹上单调递减，在上单调递增，

所以此时/(x)的值域为-g，g，所以

又因为

所以不等式

由于cos0最小值为-1,

所以亳*>，解得■ooa/r

21.若函数/'(x)=0,xeR的导函数y=/'(x),xeR是以T(TWO)为周期的函数，则称函数

J=/W,xeR具有“T性质”.

(1)试判断函数y=/和y=sinx是否具有“2兀性质”，并说明理由；

(2)已知函数y="(x),其中人(无)=加+乐+25亩为(0<6<3)具有“兀性质”，求函数J=/z(x)在［0,兀］上的

极小值点；

(3)若函数y=/(x),xeR具有“T性质”，且存在实数儿f>0使得对任意xeR都有|/(刈<四成立，

求证：y=/(x),xeR为周期函数.

(可用结论：若函数y=/(x),xeR的导函数满足/'(x)=0,xeR,则/(x)=C(常数).

【答案】(1)>=/不具有“2兀"，y=sinx具有，理由见解析；

、2兀

(2)—；

3

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】⑴求出导数分别计算/'⑼、/'(2兀)、g，(X)=COSX,g，(X+27T)即可判断；

f77r

(2)根据h(x)具有“兀性质”，得到"(x+兀)=1(x),从而得到cosbx-COS6(X+TT)=不对xeR恒成立，可

7T

以通过赋值》=0和工=巴或者利用和差化积公式，得到关于。和b的关系式解出。、b,从而得到h(x)的

b

解析式，进而通过分析导数的正负得到h(x)在［0,兀］上的极小值点；

⑶设g(x)=f(x+T)~/(x),因为函数/(x)具有，T性质”，所以g(x)=f(x+T)-/(x)=c，分c=0

和CW0两种情况讨论，当c=0时/(x)为周期函数，当CW0时，由/(〃T)=/(0)+〃c,令“2.一/⑼

C

或〃=.+1,都能推出|/(刈之拉，与|/(刈</矛盾，从而得到/(X)为周期函数.

【小问1详解】

/(x)=/不具有“2兀性质”.因为/3=2%,广(2兀)一((0)=4兀—0=4"0,所以/(2兀)H/(0)；

g(x)=sinx具有“2兀性质”.因为g'(x)=cosx,g'(x+2无)=cos(x+2K)=cosx=g'(x).

【小问2详解】

法一*；hr(x)=2ax+b+2bcosZ?x(0<Z?<3),

因为h(x)具有“兀性质"，所以h'(x+兀)=h\x),即2。(x+兀)+b+2bcosb(x+兀)=2ax+b+2bcosbx,

cm

整理得cos6x-cosb(x+7i)=——对x£R恒成立.

b

令x=0,得l—cosZ)7i=竺①；令％=得一l+cos/m=e②.

bbb

由①+②得2竺=0,因此4=0,从而35云=(：05(加+6兀)恒成立.