北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次学情考试试题（含答案）

2024〜2025学年度第一学期九年级数学第一次质量监测试题

考试范围：第一章到第二章第4节；考试时间：120分钟；

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）一、单选题（每小题只有一个最符号要求的答案，请将答案填

涂在答题卡上，注意题号，每小题3分，本题共计24分）

1.下列属于一元二次方程的是（）

A.x2-3x+=0B.x—2=一

x

C.x2+5x=0D.ax2+for+c=0

2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.四边都相等D.对角线相等

3.对于方程一一4=0,它的一次项系数是（）

A.-4B.0C.-1D.1

x-l<l

4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（

2x+3>1

5.下面说法正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.矩形的对角线相等D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

6.现定义运算“※”：对于任意实数。、b,都有。※6=/-〃,如3X4=3?一不=-7,若

尤※3=16,则实数x的值为（）

A.4或一4B.7或一1C.19或-13D.±5

7.如图，在/MCW的两边上分别截取。2,使。4=02,分别以点4,8为圆心，以。/

的长为半径作弧，两弧交于点C,再连接NC,BC,AB,OC,若48=10,04=13,则四边

形498C的面积是（）

试卷第1页，共6页

M

A.240B.130C.120D.65

8.如图，四边形48c。为矩形纸片，把纸片/BCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E

处，折痕为4尸.若AD=2拒,CD=4,则£尸等于（）

FC

473

A.4拒B.3出C.4母

,亍

第II卷（非选择题）二、填空题（请将填空题的答案填写在答题卡的对应题号

的横线上，只填最终结果，每小题3分，本题共计15分）

9.若关于x的方程（加-4）/日+2工-5=0是一元二次方程，则加=.

10.如图，将矩形纸片/BCD折叠，使边48、C8均落在对角线2。上，得折痕8£、8尸,

则____°.

D-----------------7FT_———C

11.方程f=3x的解是—.

12.如图所示，在四边形4BCD中，对角线NC1AD,垂足为。，点E,F,G,8分别为边4D,

AB,BC,CD的中点.若NC=8,8。=6,则四边形的面积为一.

试卷第2页，共6页

13.如图，在正方形48CD中，点、E,点尸分别是BC,4B上的点，且AB=4,

AE1DF,垂足为尸，则8尸的最小值为.

三、解答题（请将解题过程工整的写在答题卡相应的题号的区域内）

14.计算：V?—（—5）°+3x（-1）

15.先化简，再求值.（x+y）2-（x+y）（x-y）,其中x=l,y=-2.

16.解方程：x2-2x=8.

17.如图，在△NBC中，/A4c=90。，分别在/8、BC、NC上求作一点。、E、F,使得

连接。石和斯后，四边形/OE尸是正方形.（要求用尺规作图法完成，保留作图痕迹，不写

作法）

18.《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索

尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺

木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根

部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？

19.如图，在矩形N8CD中，点E,尸是8c所在直线上的两点，且BE=CF.求证：

AF=DE.

20.已知关于x的一元二次方程无2+（3俏+l）x+3%=0.

试卷第3页，共6页

(1)求证：方程总有实数根；

(2)取一个适当的”?的值，使上述方程有两个不等实数根，并解这个方程.

21.在放△/8C中，NA4c=90。，。是3c的中点，£是/。的中点，过点N作/川山C交

CE的延长线于点尸.

(1)求证：四边形NO8尸是菱形；

(2)若/2=8,菱形4DAF的面积为40,求/C的长.

22.为了鼓励大家节约用电，某电力公司采取按月用电量分段收费，居民每月应交电费y

(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图像解答下列问题：

y/阮)"

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)若某用户某月用电80度，则应缴电费多少元？

23.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有650人，现

从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计：

七年级86,94,79,84,71,90,76,83,90,87

八年级88,76,90,78,87,93,75,87,87,79

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级84a9044.4

八年级8487b36.6

根据以上信息，回答下列问题：

⑴填空：«=_;/同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断

他是一年级的学生；

试卷第4页，共6页

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学

生总人数；

(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由.

24.如图，在正方形ABC。中，E为对角线/C上一点，连接。E,过点E作EE,交

5c延长线于点尸，以DE,即为邻边作平行四边形DEFG,连接CG.

(1)求证：四边形。MG是正方形.

(2)连接/G,若/8=3,AE=4,求/G的长.

25.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已

知x可取任何实数，试求二次三项式/+2x+3的最小值.

：%2+2x+3=+2,x+1+2=(x+1)?+2；

・•・无论X取何实数，都有(X+1)220,

(x+1),+222,gpX2+2X+3的最小值为2.

(1)请直接写出2/+4X+1的最小值;

(2)如图，在四边形48C。中，ACJ.BD,若/C+BO=10,求四边形的面积最大

值.

26.问题提出

(1)如图1,在菱形/5CD中，ZB=60°,AB=6,则菱形的面积为

问题探究

(2)如图2,在四边形/BCD中，AD=CD,ZABC=ZADC=90°,连接80.已知

试卷第5页，共6页

BD=8,求43+8C的值.

问题解决

(3)如图3,四边形/BCD是一块空地，其中，AD//BC,ZADC=90°,ZABC=60°,

/。=14米，5c=28米，开发商计划在四边形4BCD内修建一个四边形花园49CD,且要

求//OC=90。，Z5OC=120°,请求出四边形/OC〃的面积.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未

知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断.

【详解】解：A.x2-3x+.y=0是二元二次方程，不符合题意；

B.无-2=工是分式方程，不符合题意；

X

C.一+5》=0是一元二次方程，符合题意；

D.当时，嫉2+/+0=0是一元二次方程，不符合题意；

故选：C.

2.D

【分析】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩

形和菱形的性质进行判断是解此题的关键.根据矩形及菱形性质判断即可.

【详解】解：A、对角线互相平分是矩形、菱形都具有的基本性质，故本选项不符合题意；

B、对角线互相垂直是菱形的基本性质，矩形不具有，故本选项不符合题意；

C、四边都相等是菱形的基本性质，矩形不具有，故本选项不符合题意；

D、对角线相等是的矩形基本性质，菱形不具有，故本选项符合题意.

故选：D.

3.B

【分析】根据一元二次方程的定义即形如◎2+云+。=0(0*0)的整式方程，其中反叫做一

次项判断.

本题考查了一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c=Q(a*0)的整式方程，熟练掌握定义是

解题的关键.

【详解】解：•••方程/+0x-4=0是关于x的一元二次方程，

••・一次项系数为0,

故选B.

4.A

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集；

分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法得出答案.

答案第1页，共17页

【详解】解：1年一+1341>①1②,

解不等式①得：x42,

解不等式②得：x>-l,

所以在数轴上表示正确的如图所示:

-2-1012

故选：A.

5.C

【分析】根据菱形，矩形，正方形的性质和判定定理，逐个进行判断即可.

【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A不正确，不符合题意；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，故C正确，符合题意；

D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关定

理和性质.

6.D

【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关

键.

【详解】解：由新定义可知，XX3=/-33=16,

3=25

x=±5,

故选：D.

7.C

【分析】根据作图可得四边形/05C是菱形，勾股定理，求得0C的长，进而根据菱形的面

积公式即可求解.

【详解】解：根据作图可得。4=NC=02=2。，

四边形/08C是菱形，

•••AB10C,AD=BD,OD=OC,

答案第2页，共17页

•.•45=10,04=13,

AD=-AB=5,

2

在RtzX/0。中，OD=yjOA1-AD2=12>

0C=20D=24,

四边形/OBC的面积为：-^5xOC=-xl0x24=120.

22

故选：C.

【点睛】此题考查了菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键.

8.D

【分析】本题考查矩形的性质，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关

键.

根据矩形和折叠的性质，易得FC=BC-BF=2拒-EF,CE=2,再利用勾股定理可得

EF2=FC2+EC2,代入数值求解即可.

【详解】解：,••四边形/BCD为矩形，点£为。)中点，

.-.AD=BC=2yl3,CE=-CD=2,ZC=90°,

2

根据折叠的性质可得BF=FE且BC=2也,

•••FC=BC-BF=2^-EF,

根据勾股定理可得所2=+EC?,即£>=(26一所『+2',

解得EF=述,

3

故选D.

9.0

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进

答案第3页，共17页

行计算解答即可.

【详解】解：根据题意可得机-4片0,帆-2|=2,

解得机=0,

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

10.45

【分析】本题考查折叠问题.根据折叠后，折痕为角平分线，进行求解即可.掌握折叠的性

质，是解题的关键.

【详解】解：••・四边形/BCD是矩形，

:.NABC=90°,

,折叠,

...NABE=NEBD=-ZABD,/DBF=NFBC=-ZDBC,

22

•••NABE+AEBD+/DBF+NFBC=AABC=90°,

ZEBD+ZDBF=45°,

BPZEBF=45°,

故答案为：45.

11.再=0,x2=3

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关

键.

把方程化为--3x=0,再利用因式分解的方法解方程即可.

【详解】解：:X2=3X,

x?—3x=0,

x(x-3)=0,

;x=0或x-3=0,

解得：演=3*2=0.

故答案为：*=0,%=3.

12.12

【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形.利用中位线定理可得出四边形MG"矩形,

答案第4页，共17页

根据矩形的面积公式解答即可.

【详解】解：,•,点£、尸分别为四边形/BCD的边的中点，

:.EFHBD,5.EF=-BD=3.

2

同理求得即/A4C//GF,S.EH=GF=-AC=4,

'2

又AD,

:.EF//GH,FG//HEaEFLFG.

二四边形EFG”是矩形.

二四边形EFG/7的面积=EGE"=3x4=12,即四边形EFGE■的面积是12.

故答案是：12.

【点睛】本题考查的是中点四边形，解题的关键是利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形

的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是

矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

13.275-2

【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等知识，取4。的中点

M,连接PM,BM,利用直角三角形斜边中线可得W===最后根据

BP>BM-PM求出的最小值.

【详解】解：取力。的中点连接尸Af,BM,

•••48CD是正方形，

AD=AB=4,

又•・•AELDF,

：・/APD=9（）。,

.-.PM=AM=-AD=2,

2

•••BM=yjAM2+AB2=A/22+42=275，

■­BP>BM-PM=1y[5-2,

即BP的最小值为2港-2,

故答案为：2旧-2.

答案第5页，共17页

D

14.-2

【分析】本题考查了零指数幕，算术平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键.

先计算算术平方根，零指数幕，再计算乘法，最后加减即可.

【详解】解：原式

=2—1—3,

=—2.

故答案为：-2.

15.2xy+2y2,4

【分析】本题考查整式的混合运算一化简求值，先利用完全平方公式以及平方差公式将原式

展开，合并后得到最简结果，再将x与y的值代入计算即可求出值.熟练掌握运算法则及公

式是解题的关键.

【详解】解：

(x+j)2-(x+y)(x-y)

=*+2xy+j,2-(x2-y2)

=x2+2xy+y2-x2+y2

=2xy+2y2,

当x=1,y=—2时，

原始=2x1x(-2)+2x(-2)

=—4+8

=4

16.Xi=4,X2=-2.

答案第6页，共17页

【分析】方程整理为一般式后利用因式分解法进行求解即可得.

【详解】方程整理得：X2-2x-8=0,

因式分解得：（x-4）（x+2）=0,

解得：x,=4,x2=-2.

【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的系数特点灵活选

用恰当的方法求解是解题的关键.

17.图见解析.

【分析】本题考查了作图-基本作图，正方形的判定与性质，作/A4C的角平分线交3C于

点、E,再作“£的垂直平分线，分别交/8、NC于点。，F,连接。E,即即可，掌握基

本的作图方法是解题的关键.

【详解】解：作/&4C的角平分线交3c于点E,再作/£的垂直平分线，分别交43、AC

于点。，F,连接DE,EF,则四边形4DE尸就是所求的正方形，如图：

【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长.

【详解】设绳索长为x尺

・•・根据题意得：（X-3）2+8W

解得x=[73.

6

••・绳索长为7多3尺.

6

【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问

题.

19.见解析

【分析】根据矩形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可.

本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等式性质，熟练掌握性质是解题的关

答案第7页，共17页

键.

【详解】证明：•・•矩形

AB=DC,/ABF=ZDCE=90°,

•；BE=CF,

・•.BC+BE=BC+CF,

：,CE=BF,

AB=DC

•：<AABF=/DCE=90°

BF=CE

△Z即四△OC£（SAS）,

・•・AF=DE.

20.⑴见解析

（2）取机=0,西=0,x2=-l（答案不唯一）

【分析】本题考查了根的判别式.熟练掌握根的判别式是解题的关键.根的判别式：一元二

次方程加+法+c=0S/0）的根与A=62一4ac有如下关系：当/>0时，方程有两个不相等

的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程无实数根.

（1）计算判别式得出（3加-以N0即可得出结论；

（2）在满足4>0时，取加=0,然后解方程即可.

【详解】（1）证明：：A=（3m+1）2-4x3mxl=9m1+6m+\—\2m=9m2-6m+l=（3/77-1）",

AA=（3/W-1）2>0,

，原方程总有实数根.

（2）解：A=（3m+1）2—4x3mx1=9m2+6m+1—12m=9m2—6m+1=（3m—l）-,

方程有两个不等实数根，则1>0,即（3%-厅>0.

所以mw-g即可.

现取机=0,则有/+x=o,

解得：再=0,x2=-l.

答案第8页，共17页

21.(1)见解析

⑵10

【分析】(1)证A4£7WADEC(AAS),^AAEF=/\DEC(AAS),再证四边形4D2尸是平

行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证即可由菱形判

2

定定理得出结论；

(2)连接。/交45于O,由菱形面积公式S切刈澄尸=!48•。厂=40,求得8长，再由

2

菱形性质得04=05,证得。。是三角形的中位线，由中位线性质求解可.

【详解】(1)证明：•・・£是力。的中点，

・・・AE=DE

-AF//BC,

；.UFE=3CE,

在AAEF和ADEB中，

ZAFE=ZDCE

<ZAEF=/DEC,

AE=DE

•.AAEF=ADEC(AAS),

：.AF=CD,

•・•。是5c的中点,

:・CD=BD,

:・AF=BD,

・•・四边形ADBF是平行四边形，

・44090。，

•・•。是5c的中点，

：.AD=BD=LBC,

2

・•・四边形厂是菱形；

(2)解：连接。尸交45于。，如图

答案第9页，共17页

A

由(1)知：四边形/ObF是菱形，

：.AB].DF,OA=-AB=-x8=4,S^ADBF=-ABDF=40,

222

.•.—DFx8=40,

2

：.DF=10,

■■.OD=5,

•••四边形ND2尸是菱形，

・••O是4B的中点，

••,D是2C的中点，

.■.OD是△B/C的中位线,

■.AC=2OD=2x5=10.

答：NC的长为10.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角

三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关

键.

0.65x,(0<x<100)

22.(l)y=

0.8x-15,(x>100)

⑵应缴电费52元.

【分析】本题考查一次函数的基本应用，能够通过函数图像确定一次函数函数关系式是解题

关键.

(1)当OWxVIOO时，设了=履，将点(100,65)代入解出发即可；当xN100时，设

y=kx+b,将点(100,65)与(130,89)代入,解出左与6值即可得到函数关系式；

(2)根据80<100,所以将x=80代入第一小问得到的函数关系式即可

【详解】(1)解：当OWxWlOO时，函数为正比例函数，故可设函数关系式为了=履，

答案第10页，共17页

将点(100,65)代入可得到65=100人

k=0.65

・•.此时函数关系式为y=0.65x(04x4100)

当x>100时，函数为一次函数，故可设函数关系式为>=辰+6,

100左+6=65

将点(100,65)与(130,89)代入可得到

130左+6=89

左=0.8

解得

b=-15

・•.此时函数关系式为V=0.8x-15(x>100)

0.65x,(0<x<100)

"0.8x-15,(x>100)

(2)解：当用电量为80度时，因为80<100,所以代入y=0.65x

当x=80时，y=80x0.65=52

.•・应缴电费52元.

23.(1)85,七

(2)715人

(3)八年级的总体水平好，理由见解析

【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概

念的内涵和计算方法是解题的关键.

(1)根据中位数和众数的定义即可求出答案；

(2)分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；

(3)两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可.

【详解】(1)解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71,76,79,83,84,

86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知中位数。=H1^=85分；

由于/同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，又因为七年级中位数为85分,

八年级中位数为87分，由此可判断他是七年级的学生；

故答案为：85,七；

答案第11页，共17页

(2)解:由题意可知，样本中七年级的优秀率是\xl00%=50%,八年级的优秀率是

—xl00%=60%,

10

所以该校七八年级达到优秀等次的学生估计有650*+650x2=715(人)；

(3)解：我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，

理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年

级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的

总体水平较好.

24.⑴见解析

(2)AG=y/34

【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识

点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键.

(1)如图：过点E作£0，8c于点0,作EPJLC。于点P,证明AOE尸也得到

DE=EF,可说明口。EFG为菱形，根据/D斯=90。，即可证明结论；

(2)根据正方形性质得出NEUC=N4CO=45。，AD=CD=AB=3,NADC=90。,根据

勾股定理求出/C=^AD2+CD2=3收，再证明ADAEdDCG可得NDAE=ZDCG=45。、

CG=AE=4,进而得至l]N/CG=N4CQ+NOCG=90°,最后根据勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：如图：过点£作于点。，作EP_LCZ)于点P,则

ZEQC=NEPC=90°,

ZACB=ZACD=45°,ZBCD=90°,

...ZEQC=ZEPC=ZBCD=90°,

四边形CPE。为矩形，

答案第12页，共17页

VZECQ=45°,ZEQC=90°,

为等腰直角三角形，

：.CQ=EQ,

・•・四边形CP£0为正方形，

：.EP=EQ,ZPEQ=90°9

-EFIDE,

ZDEF=90°,

ZDEP+ZPEF=ZFEQ+ZPEF=90°,

:./DEP=/FEQ,

vZDPE=ZEQF,EP=EQ,

^DEP=^FEQ,

DE—EF,

"OE尸G为菱形，

ZDEF=90°,

••・四边形。ERG为正方形.

(2)解：如图：连接/G,

•••四边形为正方形，

ZDAC=ZACD=45°,AD=CD=AB=3,ZADC=90°,

•••AC=YIAD2+CD2=3V2，

•.•四边形N8CD为正方形，

•••AD=CD,/ADC=90°,

•••四边形。斯G为正方形，

：.DE=DG,

NEDG=90°,

ZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDG=90°,

答案第13页，共17页

・•.ZADE=ZCDG,

丝△OCG(SAS).

ZDAE=ZDCG=45°,CG=AE=A,

ZACG=ZACD+ZDCG=90°,

-AG=y)AC2+CG2=V34•

25.(1)-1

25

(2)当x=5时，四边形/BCD的面积最大，最大值为5

【分析】本题考查了配方法的应用.利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和

是解题的关键.

(1)利用配方法把2/+4尤+1变形为2(x+l/T,然后根据非负数的性质确定代数式的最

小值；

(2)利用三角形面积公式得到四边形N33)的面积的代数式，再利用配方法将四边形

的面积的代数式改写成一个完全平方式和常数的和的形式,然后根据非负数的性质即可解答.

【详解】(1)解:2X2+4X+1

=2(X2+2X+1-1)+1

=2x~+4x+2—2+1

=2(X2+2X+1)-1

=2(X+1)2-1,

・•・无论x取何实数，都有2(x+l『N0,

2(x+l)2-1>-1,即—+2x+3的最小值为-1.

故答案为：T.

(2)解:AC±BD,

：.四边形ABCD的面积=

2

•••AC+BD=W,

BD=10-AC,

答案第14页，共17页

四边形A8CZ)的面积=；/C-(10-NC)

1

=——AC27+5AC

2

=-；(如-)25

52+一.

2

19

:-](/C-5)<0,

25

.•.当/C=5时，四边形N8CD的面积最大，最大值为

2

26.(1)186；(2)AB+BC=8后;(3)S酮电的=210G平方米.

【分析】(1)过点A作/〃_LC8于点解直角三角形求出/〃，可得结论；

(2)过点。作。于点M