2025年高考数学专项复习训练：圆的方程【八大题型】

专题8.3圆的方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1求圆的方程】.........................................................................3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】..........................................................4

【题型3圆过定点问题】.......................................................................4

【题型4点与圆的位置关系的判断】............................................................5

【题型5与圆有关的轨迹问题】.................................................................5

【题型6与圆有关的对称问题】.................................................................6

【题型7圆系方程】...........................................................................7

【题型8与圆有关的最值问题】.................................................................7

►考情分析

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2022年全国乙卷（文数）：

第15题，5分

（1）理解确定圆的几何要

2022年全国甲卷（文数）：从近几年的高考情况来看，高考对

素，在平面直角坐标系中，

第14题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

掌握圆的标准方程与一般

2023年全国乙卷（文数）：填空题的形式考查，难度不大；有时也

方程

第11题，5分会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

⑵能根据圆的方程解决

2023年上海卷：第7题，5分复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵

一些简单的数学问题与实

2024年北京卷：第3题，4分活求解.

际问题

2024年天津卷：第12题，5

分

►知识梳理

【知识点1圆的定义和圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程（x—。尸+3—6）2="&＞（））叫作以点5力）为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母（待定），因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程1+V+Dx+4+尸=0(。2+—4尸>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心:9，-5卜弋入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程/+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

A=C#0

_,B=0

二元二次方程4》2+代^+02+m+3+尸=0表示圆的条件是,.

用+(9一哈)>0

5.圆的参数方程

圆(X—"尸+⑶一人)2="&>0)的参数方程为<其中6为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若己知条件与圆心(0力)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出0,6,，的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

【知识点2点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆/有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆/的标准方程为(x—0)之+3—瓦)2=/,圆心为/(2玲，半径为厂(厂>0)；圆N的一般方程为

X2+y2+Dx+Ey+F—Q(D2+E2—4F>0').平面内一点加(曲,“)).

位置关系判断方法

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上22

\MA\=r(xo-a)2+(y0-b)=r

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

22

点在圆内\MA\<r(Xo-Q)2+(y0-/7)<r加+必+Dx0+Ey0+F<0

222

点在圆外\MA\>r(XQ-O)+(yo-b)>rXQ+yoDXQ+Ey。+F>0

【知识点3轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于X)的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点伊口不符合题意的点)；

(5)作答.

【方法技巧与总结】

1.以A(xi,yi),8(x242)为直径端点的圆的方程为(x-%)(x-X2)+(了一乃)(了一%)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

►举一反三

【题型1求圆的方程】

【例1】(2024•辽宁大连•一模)过点和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为()

A.%2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(%—2)2+y2=10

【变式1-1](2024•河南•模拟预测)圆心在射线丫=和(>30)上，半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为

().

A.x2+y2—8x—6y—0

B.x2+y2—6x—8y=0

C.x2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6x+8y=0

【变式1-2]（2024•北京•模拟预测）圆心为（2,1）且和x轴相切的圆的方程是（）

A.（X—2）2+（y-l）2=1B.（x+2/+（y+1）2=1

C.（x-2）2+（y-1）2=5D.（久+2）2+（y+=5

【变式1-3]（2024•全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于四点，其中4（—2,0）

出（0,-3）,点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形4BCD的面积为当，则圆E的方程为

（）

QQ4

A.xz+yz+x+-y=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y-12

D.%2+y2++2y=3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】

【例2】（2024•贵州•模拟预测）已知曲线C的方程2%2+2y2+4x+8y+F=0,则“F210”是“曲线C是圆”

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-1]（23-24高二下•上海•期中）方程x2+y2+4„ix—2y+56=0表示圆的充要条件是（）

A.<m<1B.m>1C.D.巾<；或771>1

【变式2-2]（23-24高二上•福建厦门•期中）若ae{-2,-l,0（,l},则方程/+/+2ay+2a2+a—1=0

表示的圆的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3]（23-24高二上•广东•期末）已知方程/+、2+2万―2即+2（1+4=0表示一个圆，则实数a取值

范围是（）

A.（―8,—1]U[3,+8）B.[—1,3]

C.（-00-1）U（3,+00）D.（-1,3）

【题型3圆过定点问题】

【例3】（23-24高二上•湖北荆州•期末）圆C:/+必+a久一2ay-5=0恒过的定点为（）

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【变式3-1](23-24高二上•浙江温州•期中)点P(x,y)是直线2x+y—5=0上任意一点，。是坐标原点，贝U

以。P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【变式3-2](2024高三•全国•专题练习)当加变化时，圆/+/+(%+2)x+y—2=0恒过定点.

【变式3-3](23-24高三上•上海徐汇・期末)已知二次函数f(x)=%2+2%+b(x6R)的图像与坐标轴有三个

不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(其坐标与b无关)

【题型4点与圆的位置关系的判断】

【例4】(2024•河北沧州,二模)若点4(2,1)在圆尤2+y2-2ni久-2y+5=0(m为常数)外，则实数m的取

值范围为()

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—2,+8)

【变式4-1](2024•甘肃定西•模拟预测)若点(2,1)在圆好+必一%+y+a=。的外部，则。的取值范围是

()

A.G，+8)B.(一8,；)C.(―44)D.(―8,—4)UG，+8)

【变式4-2](24-25高三上•广东•开学考试)“1<6<2”是“点B(0力)在圆C:(xT)2+(y-2)2=2内”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【变式4-3](2024高三・全国•专题练习)若点(2a,a+1)在圆N+(j—1)2=5的内部，则实数a的取值范围

是()

A.{a|-l<a<l}

B.{a|0<a<l}

C.{a|a<—1或41}

D.{a|-l<a<0}

【题型5与圆有关的轨迹问题】

【例5】(24-25高二上•上海•课后作业)点P(4,-2)与圆*2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是

()

A.Q—4尸+(y+2尸=4B.(x+2)2+(y—I)2=1

C.（%+4）2+（y-2）2=4D.（%—2）2+（y+l）2=1

【变式5-1］（23-24高二上・广东东莞•阶段练习）已知线段的端点B的坐标（4,3）,端点/在圆％?+y2=4

上运动，求线段的中点M的轨迹所围成图形的面积（）

A.4TlB.V2nC.TTD.?

q

【变式5-2］（2024•山东淄博•一模）在平面直角坐标系xOy中，己知向量万5与被关于x轴对称，向量3

=（0,1）,若满足瓦?2+2.屈=0的点/的轨迹为E,贝U（）

A.£是一条垂直于x轴的直线B.£是一个半径为1的圆

C.£是两条平行直线D.E是椭圆

【变式5-3］（2024•山东德州•三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距

离之比为常数k（k〉O,k力1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,

4（一4,0）,B（2,0）,点M满足制=2,则点M的轨迹方程为（）

A.(%+4)2+y2-16B.(x—4/+y2-16

C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y—铲=16

【题型6与圆有关的对称问题】

【例6】(2024・浙江•模拟预测)圆C：(比一1)2+(y-2)2=2关于直线x-y=0对称的圆的方程是()

A.(x-1)2+(y+2尸=2B.(x+l)2+0+2)2=2

C.(x-2)2+(y—l)2=2D.(x+2)2+(y+1)2=2

【变式6-1］（23-24高二上・安徽黄山•期末）圆2）2+（y—1尸=1与圆N关于直线x—y=0对称，则圆

N的方程为（）

A.(x+l)2+(y+2/=1B.(x-2)2+(y+l)2=l

C.(%+2)2+(y+1)2=1D.(x—l)2+(y-2)2=1

【变式6-2](23-24高二下•云南昆明,阶段练习)已知圆M:(x+I)2+(y+l)2=1与圆N:(x-4)2+(y+3)2

=1关于直线1对称，贝〃的方程为()

A.10x—4y-23=0B.10%+4y—23=0

C.2x—5y—7=0D.2%+5y4-7=0

【变式6-3](2024•陕西宝鸡•一模)已知圆％2+y2_2x+4y+4=0关于直线2a%-by-2=0(a>0fb>0)

对称，则山?的最大值为()

A.2B.1

【题型7圆系方程】

【例7】（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）过圆%2+必一刀+}/_2=0和久2+}72=5的交点，且圆心在直

线3尤+4y-1=0上的圆的方程为（）

A.x2+y2+2x—2y—ll=0B.x2+y2—2%+2y—11=0.

C.x2+y2—2x—2y—ll=0D.x2+y2+2x+2y-11=0

【变式7-1]（2024高二•辽宁•学业考试）过圆*2+}/2-23/一4=0与/+）72一4%+2）/=0的交点，且圆心在

直线1:2久+4y-l=。上的圆的方程是.

【变式7-2]（23-24高一下•江西九江•期中）经过两圆/+/+6%一4=0和％2+y+6}7-28=0的交点，且

圆心在直线久-y-4=0上的圆的方程为.

【变式7-3]（2024高三下•全国・专题练习）求过圆：久2+,2一2久+2y+1=0与圆：%2+y2+4x-2y—4=0

的交点，圆心在直线：x-2y-5=0圆的方程.

【题型8与圆有关的最值问题】

【例8】（2024•西藏拉萨•二模）已知点”（3,-3）,N（3,0）,动点P在圆。：/+必=1上，则|PM|+g|PN|的最

小值为（）

ABCD

・3・3•9•9

_-1A.

【变式8-1]（2024•河南•模拟预测）已知点PQ,y）在以原点。为圆心，半径r=77的圆上，则用+/石的

最小值为（）

A.?B.亨C.\D.1

【变式8-2]（2024・湖北黄石•三模）已知在等腰直角三角形28c中，C4=CB=4,点M在以C为圆心、2为

半径的圆上，则|MB|+J"*的最小值为（）

A.375-272B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【变式8-3]（2024•广西贵港•模拟预测）已知圆C：（%-2尸+（y-2）2=4,直线/：（zn+2）%-zny-4=0,

若/与圆。交于B两点,设坐标原点为O,则|。川+2|。用的最大值为（）

A.4V3B.6V3C.4V15D.2V30

►过关测试

一、单选题

1.(2024・吉林长春•三模)经过力(1,1),B(-l,1),C(0,2)三个点的圆的方程为()

A.(%+1)2+(y—1)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.x2+(y—1尸=1D.%2+(y+I)2=1

2.(2024•浙江•一模)圆。％2+必_2*+4、=0的圆心。坐标和半径r分别为()

A.C(1,-2),r=V5B.C(1-2),r=5

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

3.(2024•江西•模拟预测)若点(1,1)在圆*2+y2—x—a=0的外部，则。的取值范围为()

A.(-pl)B.&1)C.(—8,1)D.(l,+8)

4.(2024・陕西铜川•三模)已知圆。(久一或2+0—6)2=1经过点4(3,4),则其圆心到原点的距离的最大值

为()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024•河南信阳•模拟预测)已知圆。：%2+y2=2,点A(m,n)和点B(p,q)在圆。上,满足mp+nq

=-1＞则m+n+p+q最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上•广西玉林•期末)若直线/在x轴、y轴上的截距相等，且直线I将圆/+产一2久+4y=0的

周长平分，则直线/的方程为()

A.x+y+1=0B.x+y-1=0

C.x+y+1=0或2x+y=0D.%+y—1=0或2x+y=0

7.(2024・四川成都•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点M(2,0),直线=k(x-2)+1,点M关于直

线I的对称点为N,则△0MN面积的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

222

8.(23-24高三上•辽宁大连•阶段练习)已知圆的:(%—2)2+(y-3)=1,0C2:(%-3)+(y-4)=9,M,N

分别是圆Ci,C2上的动点，尸为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2V2D.5V2-4

二、多选题

9.(2024・广西•模拟预测)若点尸(1,0)在圆aN+yZ+Zx-w+mn。的外部，则小的取值可能为()

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024•山西临汾•三模)已知E,F是以C(l,2)为圆心，鱼为半径的圆上任意两点，且满足CE1CF,P是EF

的中点，若存在关于(3,0)对称的4B两点，满足西♦丽=0,则线段长度的可能值为()

A.3B.4C.5D.6

11.(2024•辽宁丹东•模拟预测)己知曲线E:久2+>2一2田一2仅|=0,贝|()

A.曲线E围成图形面积为8+4兀

B.曲线E的长度为4或兀

C.曲线E上任意一点到原点的最小距离为2

D.曲线E上任意两点间最大距离4金

三、填空题

12.(2024・湖南邵阳•三模)写出满足“点(3,-2)在圆/+外一2%+4)7+6=0外部”的一个根的值：m=

13.(2024・贵州毕节•三模)已知直线Sx+ty—5=0,直线%：tx—y—3t+2=0,、与一相交于点，,则点4

的轨迹方程为.

14.(2024•天津河西•模拟预测)已知点4为圆C：(x-m)2+(y-m-l)2=2上一点，点B(3,0),当小变化时线

段N2长度的最小值为.

四、解答题

15.(2024•广东深圳•模拟预测)已知过点(1,0)的动直线/与圆的：X2+丫2一4刀=0相交于不同的两点区B.

(1)求圆Ci的圆心坐标；

(2)求线段的中点M的轨迹C的方程.

16.(23-24高二上•湖南永州•期末)△4BC的顶点是4(0,0),B(-l-l),C(3,l).

(1)求边4B上的高所在直线的方程；

(2)求过点/,B,C的圆方程.

17.(23-24高二上•湖北十堰,期末)已知直线Lx+2y+3=0,圆C:N+7一6y—6=0.

(1)求与2垂直的C的直径所在直线小的一般式方程；

(2)若圆E与C关于直线Z对称，求E的标准方程.

18.(23-24高二上•山东济南•期末)已知圆心为C的圆经过。(0,0),4(0,2旧)两点，且圆心C在直线

l-.y=V3%±.

(1)求圆C的标准方程；

(2)点尸在圆C上运动，求|PO|2+|PA|2的取值范围.

19.(23-24高二上•湖南•期末)已知四边形48CD的三个顶点4(1,0),B(3,—2),C(4,-l).

(1)求过/,B,C三点的圆的方程.

(2)设线段4B上靠近点/的三等分点为E,过£的直线/平分四边形2BCD的面积.若四边形ABCD为平行四

边形，求直线/的方程.

专题8.3圆的方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1求圆的方程】.........................................................................3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】..........................................................5

【题型3圆过定点问题】.......................................................................6

【题型4点与圆的位置关系的判断】............................................................8

【题型5与圆有关的轨迹问题】.................................................................9

【题型6与圆有关的对称问题】................................................................11

【题型7圆系方程】..........................................................................12

【题型8与圆有关的最值问题】................................................................14

►考情分析

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2022年全国乙卷（文数）：

第15题，5分

（1）理解确定圆的几何要

2022年全国甲卷（文数）：从近几年的高考情况来看，高考对

素，在平面直角坐标系中，

第14题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

掌握圆的标准方程与一般

2023年全国乙卷（文数）：填空题的形式考查，难度不大；有时也

方程

第11题，5分会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

⑵能根据圆的方程解决

2023年上海卷：第7题，5分复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵

一些简单的数学问题与实

2024年北京卷：第3题，4分活求解.

际问题

2024年天津卷：第12题，5

分

►知识梳理

【知识点1圆的定义和圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程（x—。尸+3—6）2="&＞（））叫作以点5力）为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母（待定），因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程1+V+Dx+4+尸=0(。2+—4尸>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心:9，-5卜弋入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程/+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

A=C#0

_,B=0

二元二次方程4》2+代^+02+m+3+尸=0表示圆的条件是,.

用+(9一哈)>0

5.圆的参数方程

圆(X—"尸+⑶一人)2="&>0)的参数方程为<其中6为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若己知条件与圆心(0力)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出0,6,，的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

【知识点2点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆/有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆/的标准方程为(x—0)之+3—瓦)2=/,圆心为/(2玲，半径为厂(厂>0)；圆N的一般方程为

X2+y2+Dx+Ey+F—Q(D2+E2—4F>0').平面内一点加(曲,“)).

位置关系判断方法

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上22

\MA\=r(xo-a)2+(y0-b)=r

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

22

点在圆内\MA\<r(Xo-Q)2+(y0-/7)<r加+必+Dx0+Ey0+F<0

222

点在圆外\MA\>r(XQ-O)+(yo-b)>rXQ+yoDXQ+Ey。+F>0

【知识点3轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于X)的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点伊口不符合题意的点)；

(5)作答.

【方法技巧与总结】

1.以A(xi,yi),8(x242)为直径端点的圆的方程为(x-%)(x-X2)+(了一乃)(了一%)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

►举一反三

【题型1求圆的方程】

【例1】(2024•辽宁大连•一模)过点(—1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为()

A.x2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(x—l)2+y2=5D.(x—2)2+y2=10

【解题思路】借助待定系数法计算即可得.

【解答过程】令该圆圆心为(a,0),半径为r,则该圆方程为(%-或2+必=产，

则有，解得C益，

故该圆方程为(x-2)2+y2=io.

故选：D.

【变式1-1](2024・河南•模拟预测)圆心在射线旷=2(％40)上，半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为

().

A.x2+y2—8x—6y=0

B.x2+y2—6x—8y=0

C.x2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6X+8y=0

【解题思路】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出

圆的方程.

【解答过程】因为圆心在射线y=%(xW0)上，故设圆心为(a,9a)(aW0),

又半径为5,且经过坐标原点，所以J(a)2+©a)2=5,解得a=-4或a=4(舍去),

即圆的圆心坐标为(—4,—3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,

即7+y2+8%+6y—0.

故选：C.

【变式1-2](2024•北京•模拟预测)圆心为(2,1)且和久轴相切的圆的方程是()

A.(x—2)2+(y-l)2=1B.(x+2产+(y+1)2=1

C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(久+2)2+(y+1)2=5

【解题思路】由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程.

【解答过程】解：圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1,

故它的的方程是。一2)2+(y-1)2=1,

故选：A.

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于45&D四点，其中4(—2,0)

凤0,-3),点C在%轴正半轴上，点。在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为弓，则圆E的方程为

()

A.+y2+%+gy=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y=12

1

D.%2+y2+-%+2y=3

【解题思路】根据题意几何条件分别求出c、D坐标，然后求出圆心E坐标及半径r,从而求解.

【解答过程】设C（c,0）,D（0,d）（c>0,d>0）,贝=*c+2）（d+3）=合

又因为OA-OC=2c=OB-OD=3d,解得c=3,d=2（负值舍去），

因此圆心喏,后）/=耕圆E的方程为（%—乡2+（y+^2=卷，

即/-X+y2+y=6,故B正确.

故选:B.

【题型2二元二次方程表示圆的条件】

【例2】（2024•贵州•模拟预测）已知曲线C的方程2久2+2y2+4x+8y+F=0,则“FW10”是“曲线C是圆”

的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.

【解答过程】2/+2*+4久+8y+F=0,即/+/+2%+4y+g=0,

・•・曲线C是圆Q22+42-4彳>0=F<10,;.“尸W10”是“F<10”的必要不充分条件.

故选：A.

【变式2-1］（23-24高二下•上海•期中）方程%2+y2+47nx-2y+5血=0表示圆的充要条件是（）

A.<m<1B.m>1C.mV：D.mV；或

【解题思路】根据圆的一般式方程的充要条件为。2+5-4尸>0,代入运算求解即可.

【解答过程】由题意可得：（4m）2+4-20m>0,解得mV；或?n>l,

所以方程第2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是m或6>1.

故选：D.

【变式2-2］（23-24高二上•福建厦门•期中）若则方程7+y2+。％+2。丫+2a2+。-1=。

表示的圆的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数Q的取值范围，即可判断.

【解答过程】若方程久2+y2+。％+2ay+2次+a-l=0表示圆，

则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0n(3a-2)(a+2)<0,

7

解得—2<a<-,

又ae{—所以a=—l或a=0,

即程必+y2+ax+2ay+2a2+a—l=0表示的圆的个数为2.

故选：B.

【变式2-3](23-24高二上•广东•期末)已知方程久2+川+2%-2ay+2a+4=0表示一个圆，则实数a取值

范围是()

A.(—oo,—l]U[3,+oo)B.[—1,3]

C.U(3,+oo)D.(—1,3)

【解题思路】根据方程表示圆的条件可得结果.

【解答过程】因为方程/+y2+2x-2ay+2a+4=0表示一个圆，

所以22+(―2a)2—4x(2a+4)>0,

HPa2—2a—3>0,所以a>3或a<—1,

故选：C.

【题型3圆过定点问题】

【例3】(23-24高二上•湖北荆州•期末)圆C:Y+;/+ax-2ay-5=0恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)B.(一1,一2),(2,1)

C.(―1,—2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.

【解答过程】圆。/+y2+必_2叼-5=0的方程化为a(K-2y)+(%2+y2-5)=0,

由t%2+y乙5=0倚ty=1或ty=-1>

故圆C恒过定点(一2,—1),(2,1).

故选：D.

【变式3-1](23-24高二上•浙江温州•期中)点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则

以。P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【解题思路】设点P(t,5-2t),求出以。P为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.

【解答过程】设点P(t,5-2t),则线段。P的中点为知6，与竺)，

圆M的半径为|0M|==—产+25,

所以，以OP为直径为圆的方程为(%-£)2+(y_由2=5/一2：+25,

即％2+y2-tx+(2t—5)y=0,即(/+y2_5y)+t(2y—x')=0,

由曝浮3°=。，解得旗网力,

因此，以。P为直径的圆经过定点坐标为(0,0)、(2,1).

故选：D.

【变式3-2](2024高三・全国•专题练习)当加变化时，圆/+产+(人+式x+v—2=0恒过定点(0,一

2)和(0,1).

【解题思路】根据题意，进行求解即可.

【解答过程】方程/+y2+(加+2)x+y—2=0可化为(N+y2+2x+y—2)+mx=0.

j,fx2+y2+2x+y-2=0徂fx=0

田t%=0，侍〔y=_2或y=]，

所以定点坐标是(0,-2)和(0,1).

故答案为：(0,-2)和(0,1).

【变式3-3]⑵-24高三上•上海徐汇•期末)已知二次函数/(%)=x2+2x+b(xGR)的图像与坐标轴有三个

不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为一(0,1)和(—2,1).(其坐标与b无关)

【解题思路】设出/(久)的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求

出系数，得圆的方程(含有b),分析此方程可得圆所过定点.

【解答过程】二次函数人为=/+2久+b(xeR)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为

M(m,0),/V(n,0),B(0,b),易知匕40,小,71满足巾+?1=-2,m^n,m2+2m+b=0,n2+2n+b=0,设圆

C方程为/+y2+Dx+Ey+F=0,贝！]

m2+Dm+F=0(T)

n2+Dn+F=0@,

.Z?2+附+F=0@

(T)—n2+D(m—n)—0,D——(m+n)—2,.-.n2+2n+F-0,从而尸=b,

代入③得后=一匕一1,

.•.圆C方程为N+y2+2x-(b+l)y+b=0,

整理得%2+y2+2x—y+b(—y+1)—0,

小仁厂。得｛潸阈I).

・••圆C过定点(0,1)和(一2,1).

故答案为：(0,1)和(一2,1).

【题型4点与圆的位置关系的判断】

【例4】(2024,河北沧州•二模)若点4(2,1)在圆久2+y2-2m久-2y+5=0(m为常数)外，则实数m的取

值范围为()

A.(